初中函数综合试题(共38页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上二次函数与其他函数的综合测试题一、 选择题：（每小题3分，共45分）1已知h关于t的函数关系式为，（g为正常数，t为时间），则函数图象为（ ） （A） （B） （C） （D）2在地表以下不太深的地方，温度y（）与所处的深度x（km）之间的关系可以近似用关系式y35x20表示，这个关系式符合的数学模型是（ ）（A）正比例函数 （B）反比例函数（C）二次函数 （D）一次函数3若正比例函数y（12m）x的图像经过点A（，）和点B（，），当时，则m的取值范围是（ ）（A）m0 （B）m0 （C）m （D）m 4函数y = kx + 1与函数在同一坐标系中的大致图象是（）（A）

2、（B）（C）（D）5下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数yaxc的大致图像，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） （A） （B） （C） （D）6抛物线的顶点坐标是（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）7函数y=ax+b与y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则下列选项中正确的是（） A ab>0， c>0 B ab<0， c>0 C ab>0， c<0 D ab<0， c<08已知a，b，c均为正数，且k=，在下列四个点中，正比例函数 的图像一定经过的点的坐标是（ ） A（l，） B（l，2） C（l，） D（1，1）

3、9如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过P作EFAC，与平行四边形的两条边分别交于点E，F设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象为（ ）10如图4，函数图象、的表达式应为（）（A），（B）， ，（C），（D），11张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（ ）12二次函数y=x2-2x+2有 （ ）A 最大值是1 B最大值是2 C最小值是1 D最小值是213设A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两点，若x1<x2

4、<0，则y1与y2之间的关系是（ ）A y2< y1<0 B y1< y2<0 C y2> y1>0 D y1> y2>014若抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上，则c的值是 ( )A 9 B 3 C-9 D 0x第3题图yPDO15二次函数的图象与轴交点的个数是（）A0个B1个C2个D不能确定二、 填空题：（每小题3分，共30分）1完成下列配方过程： ；2写出一个反比例函数的解析式，使它的图像不经过第一、第三象限：_3如图，点P是反比例函数上的一点，PD轴于点D，则POD的面积为 ；4、已知实数m满足，当m=_时，函数的图象与x轴无交

5、点5二次函数有最小值，则m_；6抛物线向左平移5各单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为_；7某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可 盈利40元为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价_；8某学生在体育测试时推铅球，千秋所经过的路线是二次函数图像的一部分，如果这名学生出手处为A（0，2），铅球路线最高处为B（6，5），则该学生将铅球推出的距离是_；9二次函数的图像与x轴交点横坐标为2，b，图像与y轴交点到圆点距离为3，则该二次函数的解析式为_；10如图，直线与双曲

6、线在第一象限内的交点R，与x轴、y轴的交点分别为P、Q过R作RMx轴，M为垂足，若OPQ与PRM的面积相等，则k的值等于 三、 解答题：（13题，每题7分，计21分；46题每题8分，计24分；本题共45分）1已知二次函数的图像经过A（0，1），B（2，1）两点（1）求b和c的值；（2）试判断点P（1，2）是否在此函数图像上？2已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P(4，n)（1）求n的值（2）求一次函数的解析式3看图，解答下列问题（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象4已知函数y=x2+bx-1的

7、图象经过点（3，2）（1） 求这个函数的解析式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x>0时，求使y2的x的取值范围5某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表所示：每件销售价（元）506070758085每天售出件数30024018015012090假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律（1）观察这些统计数据，找出每天售出件数与每件售价（元）之间的函数关系，并写出该函数关系式（2）门市部原设有两名营业员，但当销售量较大时，在每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行，设营

8、业员每人每天工资为40元求每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大（纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计）6如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状（1） （2）（1）一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；（2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳长正好各为2米，木板与地面平行求这时木板到地面的距离（供选用数据：1.8，1.9，2.1）7已知抛物线yx2mxm2 （）若抛物线与x轴

9、的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB，试求m 的值；（）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 MNC的面积等于27，试求m的值参考答案：一、 选择题： 1A 2D 3D 4B 5D 6A 7D 8A 9A 10C 11D 12C 13C 14A 15C二、填空题：1， 2 y= 3 1 42或1 5 6 710元或20元 86 9 或 10 三、解答题：12解：（1）由题意得：， （2）由点P（4，2）在上， 一次函数的解析式为3解：（1）由图可知A（1，1），B（0，2），C（1，1）设所求抛物线的解析式为yax2bxc依题意，得解得 y2x2x2（2

10、）y2x2x22（x）2顶点坐标为（，），对称轴为x（3）图象略，画出正确图象4解：（1）函数y=x2+bx-1的图象经过点（3，2）9+3b-1=2，解得b=-2 函数解析式为y=x2-2x-1 （2）y=x2-2x-1=(x-1)2-2 ，图象略， 图象的顶点坐标为（1，-2） （3）当x=3 时，y=2， 根据图象知，当x3时，y2当x>0时，使y2的x的取值范围是x3 5解：（1）由统计数据知，该函数关系为一次函数关系，每天售出件数与每件售价之间的函数关系为： （2）当时， ， 解得：；设门市部每天纯利润为 当时， 当时， 当时， 时，随的增大而减少时， 时，纯利润最大为5296

11、元6（1）（2）解：（1）如图，建立直角坐标系， 设二次函数解析式为yax2c D（0.4，0.7），B（0.8，2.2）， 绳子最低点到地面的距离为0.2米（2）分别作EGAB于G，FHAB于H，AG（ABEF）（1.60.4）0.6在RtAGE中，AE2，EG1.92.21.90.3（米）木板到地面的距离约为0.3米7解： (I)设点（x1，0），B(x2，0) ， 则x1 ，x2是方程 x2mxm20的两根x1 x2 m ，x1·x2 =m2 0 即m2； 又ABx1 x2，m24m3=0 解得：m=1或m=3(舍去) ，m的值为1 （II）设M(a，b)，则N(a，b) M、

12、N是抛物线上的两点，MNCxyO得：2a22m40 a2m2 当m2时，才存在满足条件中的两点M、N 这时M、N到y轴的距离均为， 又点C坐标为（0，2m），而SM N C = 27 ，2××（2m）×=27 解得m=7 。中考试题分类汇编-函数综合题1. 如图，已知点A（tan，0），B（tan，0）在x轴正半轴上，点A在点B的左边，、 是以线段AB为 斜边、顶点C在x轴上方的RtABC的两个锐角（1）若二次函数yx2kx（22kk2）的图象经过A、B两点，求它的解析式；（2）点C在（1）中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由解：（1），是RtABC的两个锐角，

13、tan·tan1tan0，tan0 由题知tan，tan是方程x2kx（22kk2）0的两个根，tanx·tan（22kk2）k22k2，k22k21解得，k3或k1 而tantank0，k0k3应舍去，k1故所求二次函数的解析式为yx2x1 （2）不在 过C作CDAB于D令y0，得x2x10，解得x1，x22A（，0），B（2，0），AB tan，tan2设CDm则有CDAD·tanADAD2CD又CDBD·tan2BD，BDCD2mmmADC（，） 当x时，y点C不在（1）中求出的二次函数的图象上AMyxNQO2已知抛物线经过点（1）求抛物线的解析式

14、（2）设抛物线顶点为，与轴交点为求的值（3）设抛物线与轴的另一个交点为，求四边形的面积解：（1）解方程组得， （2）顶点 （3）在中，令得，令得或， 四边形（面积单位）3如图9，抛物线y=ax2+8ax+12a与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点在第一象限，满足 ACB为直角,且恰使OCAOBC.(1) 求线段OC的长.(2) 求该抛物线的函数关系式(3) 在轴上是否存在点P，使BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）；（2）；（3）4个点：4已知函数y=和y=kx+l(kO) (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，

15、求a和k的值； (2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?解；(1) 两函数的图象都经过点(1，a)， (2)将y代人y=kx+l，消去y得kx2+x一2=0 kO，要使得两函数的图象总有公共点，只要0即可 18k， 1+8k0，解得k一 k一且k05已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将AOC沿AC翻折得APC。（1）填空：PCB=_度，P点坐标为（ ， ）；（2）若P，A两点在抛物线y= x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的

16、坐标；若不存在，请说明理由.（1）30,（,）;（2）点P（,），A（，0）在抛物线上，故 -× +b× +c=,-×3+b× +c=0, b=,c=1. 抛物线的解析式为y=-x2+x+1,C点坐标为（0，1）. -×02+×0+1=1， 点C在此抛物上.6.如图，二资助函数的图象经过点M（1，2）、N（1，6）.（1）求二次函数的关系式.（2）把RtABC放在坐标系内，其中CAB = 90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5。将ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求ABC平移的距离.解：（

17、1）M（1，2），N（1，6）在二次函数y = x2+bx+c的图象上， 解得二次函数的关系式为y = x24x+1. （2）RtABC中，AB = 3，BC = 5，AC = 4， 解得 A（1，0），点C落在抛物线上时，ABC向右平移个单位.7.如图，在平面直角坐标系中，两个函数的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQx轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与OAB重叠部分的面积为S.（1）求点A的坐标.（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式.（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最

18、大值，并求出最大值；若没有，请说明理由.（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是_.解：（1）由 可得 A（4，4）。 （2）点P在y = x上，OP = t，则点P坐标为点Q的纵坐标为，并且点Q在上。，即点Q坐标为。 当时，。当， 当点P到达A点时，当时， 。（3）有最大值，最大值应在中，当时，S的最大值为12. （4）.8已知一次函数y=+m(O<m1)的图象为直线，直线绕原点O旋转180°后得直线，ABC三个顶点的坐标分别为A(-，-1)、B(，-1)、C(O，2) (1)直线AC的解析式为_，直线

19、的解析式为_ (可以含m)； (2)如图，、分别与ABC的两边交于E、F、G、H，当m在其范围内变化时，判断四边形EFGH中有哪些量不随m的变化而变化?并简要说明理由； (3)将(2)中四边形EFGH的面积记为S，试求m与S的关系式，并求S的变化范围； (4)若m=1，当ABC分别沿直线y=x与y=x平移时，判断ABC介于直线，之间部分的面积是否改变?若不变请指出来若改变请写出面积变化的范围(不必说明理由)解： (1)y= +2 y=-m (2)不变的量有： 四边形四个内角度数不变， 理由略； 梯形EFGH中位线长度不变(或EF+GH不变)，理由略 (3)S= 0<m1 0<s (

20、4)沿y=平移时，面积不变；沿y=x平移时，面积改变，设其面积为，则0<9 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A<OB)是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD (1)求点C的坐标； (2)求直线AD的解析式； (3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)OA=6，OB=12 ， 点C是线段AB的中点，OC=AC. 作CEx轴于点E OE=OA=3，CE=OB=6 点C的坐标为(3，6).

21、 (2)作DFx轴于点F OFDOEC，=，于是可求得OF=2，DF=4 点D的坐标为(2，4). 设直线AD的解析式为y=kx+b 把A(6，0)，D(2，4)代人得， 解得， 直线AD的解析式为y=-x+6 . (3)存在 Q1(-3，3)； Q2(3，-3)； Q3(3，-3) ；Q4(6，6) .10. 在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(4,0),设P、Q分别是线段AB、OB上的动点,它们同时出发,点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运动,点Q以每秒1个单位的速度从点B向点O运动.设运动时间为t(秒).(1)用含t的代数式表示点P的坐标;(2)当t为何值时,OPQ为直角三角形?

22、(3)在什么条件下,以RtOPQ的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线?选择一种情况,求出所确定的抛物线的解析式.解:(1)作PMy轴,PNx轴.OA=3,OB=4,AB=5.PMx轴,.PM=t. PNy轴,.PN=3-t.点P的坐标为(t,3-t). (2)当POQ=90°时,t=0,OPQ就是OAB,为直角三角形. 当OPQ=90°时,OPNPQN,PN2=ONNQ.(3-t)2=t(4-t-t).化简,得19t2-34t+15=0.解得t=1或t=. 当OQP=90°时,N、Q重合.4-t=t,t=. 综上所述,当t=0,t=1,t=,t=时,OPQ

23、为直角三角形. (3)当t=1或t=时,即OPQ=90°时,以RtOPQ的三个顶点可以确定一条对称轴平行于y轴的抛物线.当t=1时,点P、Q、O三点的坐标分别为P(,),Q(3,0),O(0,0).设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x-0),即y=a(x2-3x).将P(,)代入上式,得a=-.y=-(x2-3x).即y=-x2+x. 说明:若选择t=时,点P、Q、O三点的坐标分别是P(,),Q(,0),O(0,0).求得抛物线的解析式为y=-x2+x,相应给分.11已知：抛物线（m>0）与y轴交于点C，C点关于抛物线对称轴的对称点为C点.（1）求C点、C点的坐标（可用含m的

24、代数式表示）Oyx（2）如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求Q点和P点的坐标（可用含m的代数式表示）（3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长.12抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是（ A ）A（1，1） B（-1，1） C（-1，-1） D（1，-1）13如图，OAB是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在轴正方向上，将OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A，折痕为EF.（1）当AE/轴时，求点A和E的坐标；（2）当AE/轴，且抛物线经过点A和E时，求抛物线与轴的交点的坐标；（3）当点A在OB上运动，但不与点O、B重合时

25、，能否使AEF成为直角三角形？若能，请求出此时点A的坐标；若不能，请你说明理由.解：（1）由已知可得A，OE=60o , A，E=AE由AE/轴,得OA，E是直角三角形，设A，的坐标为（0，b）AE=A，E=,OE=2b所以b=1，A，、E的坐标分别是（0，1）与（，1） （2）因为A，、E在抛物线上，所以所以，函数关系式为由得与x轴的两个交点坐标分别是（，0）与（，0） （3）不可能使AEF成为直角三角形.FA，E=FAE=60o,若AEF成为直角三角形,只能是A，EF=90o或A，FE=90o若A，EF=90o,利用对称性,则AEF=90o, A，、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；

26、同理若A，FE=90o也不可能所以不能使AEF成为直角三角形. 14.已知抛物线y=x²4x+1.将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线.求平移后的抛物线解析式;若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点,求实数m的取值范围;若将已知的抛物线解析式改为y=ax²+bx+c(a0，b0)，并将此抛物线沿x轴方向向左平移 -个单位长度，试探索问题(1)解：配方，得， 向左平移4个单位，得 平移后得抛物线的解析式为 (2)由(1)知，两抛物线的顶点坐标为(2，3)，(2，3) 解，得 两抛物线的交点为（0，1） 由图象知，若直线ym与两条抛物线有且只有四个交

27、点时，m3且m1 （3）由配方得， 向左平移个单位长度得到抛物线的解析式为 两抛物线的顶点坐标分别为， 解得，两抛物线的交点为（0，c） 由图象知满足（2）中条件的m的取值范围是：m且mc 15.直线分别与轴、轴交于B、A两点求B、A两点的坐标；把AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平面上的点C处，以BC为一边作等边BCD求D点的坐标 解：如图（1）令x=0，由 得 y=1令y=0，由 得 B点的坐标为（，0），A点的坐标为（0，1） （2）由（1）知OB=，OA=1tanOBA= OBA=30°ABC和ABO关于AB成轴对称BC=BO=，CBA=OBA=30° CBO=60

28、° 过点C作CMx轴于M，则在RtBCM中CM=BC×sinCBO=×sin60°=BM=BC×cosCBO=×cos60°=OM=OBBM=C点坐标为（，） 连结OCOB=CB，CBO=60°BOC为等边三角形 过点C作CEx轴，并截取CE=BC则BCE=60°连结BE则BCE为等边三角形作EFx轴于F，则EF= CM=，BF=BM=OF=OB+BF=+=点E坐标为（，） D点的坐标为（0，0）或（，）16已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x0时，其图象如图所示(1)求抛物线的解析式，

29、写出抛物线的顶点坐标；(2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象；(3)利用抛物线y=ax2+bx+c,写出x为何值时，y>0(第25题)解：(1)由图象，可知A(0,2)，B(4,0)，C(5,-3)，得方程组 解得抛物线的解析式为顶点坐标为(2)所画图如图(3)由图象可知，当-1<x<4时，y>0(第28题)17如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B(5，0)，M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD=BC=2，DMC=DOB=60°(1)求直线CB的解析式：(2)求点M的坐标；(3)DMC绕点M顺时针旋转(30°<&l

30、t;60°)后，得到D1MC1(点D1，C1依次与点D，C对应)，射线MD1交直线DC于点E，射线MC1交直线CB于点F，设DE=m，BF=n求m与n的函数关系式解：(1)过点C作CAOB，垂足为A在RtABC中，CAB=90°，CBO=60°，0D=BC=2，CA=BC·sinCBO=, BA=BC·cosCBO=1(第(1)小题)点C的坐标为(4，)设直线CB的解析式为y=kx+b，由B(5，0)，C(4，)，得 解得直线CB的解析式为y=-x+5(2)CBM+2+3=180°，DMC+1+2=180°，CBM=DMC=

31、DOB=60°2+3=1+2,1=3(第(2)小题)ODMBMCOD·BC=BM·OMB点为(5，0)，OB=5设OM=x，则BM=5-xOD=BC=2，2×2=x(5-x)(第(3)小题图)解得x1=1，x2=4M点坐标为(1，0)或(4，0)(3)(I)当M点坐标为(1，0)时，如图，OM=1，BM=4DCOB，MDE=DMO又DMO=MCB,MDE=MCBDME=CMF=a,DMECMF.(第(3)小题图)CF=2DECF=2+n，DE=m，2+n=2m，即m=1+(0<n<4)()当M点坐标为(4，0)时，如图OM=4,BM=1.同理

32、可得DMECMF，DE=2CF.CF=2-n，DE=m，m=2(2-n)，即m=4-2n(<n<1)18如图，边长为1的等边三角形OAB的顶点O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，动点D在线段OA上移动(不与O，A重合)，过点D作DEAB，垂足为E，过点D作DFOB，垂足为F。点M，N，P，Q分别是线段BE，ED，DF，FB的中点。连接MN，NP，PQ，QM。记OD的长为t .(1) 当时，分别求出点D和点E的坐标；(2) 当时，求直线DE的函数表达式；(3)如果记四边形MNPQ的面积为S，那么请写出面积S与变量t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，是否存在s

33、的最大值？若存在，求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由。 19如图，在中，点，在直线上运动，设，（1）如果，试确定与之间的函数关系式；（第22题图）（2）如果的度数为，的度数为，当满足怎样的关系式时，（1）中与之间的函数关系式还成立，试说明理由解：（1）在中， 又， 又， 即，所以 （2）当满足关系式时，函数关系式仍然成立 此时， 又， 又仍然成立 从而（1）中函数关系式成立 BAMPCO（第23题图）20如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为，动点分别从同时出发，以每秒1个单位的速度运动其中，点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于，连结，已知动点运动了秒（1）

34、点的坐标为（，）（用含的代数式表示）；（2）试求面积的表达式，并求出面积的最大值及相应的值；（3）当为何值时，是一个等腰三角形？简要说明理由解：（1）由题意可知，点坐标为 （2）设的面积为，在中，边上的高为，其中 的最大值为，此时 （3）延长交于，则有BAMPCO（第23题图）若， 若，则， 若，则，在中， 综上所述，或，或21. （2006·北京市海淀区）已知抛物线的部分图象如图1所示。图1 图2（1）求c的取值范围；（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线的解析式；（3）若反比例函数的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中

35、抛物线的图象，并利用图象比较与的大小.22. 解：（1）根据图象可知 且抛物线与x轴有两个交点所以一元二次方程有两个不等的实数根。所以，且所以 （2）因为抛物线经过点（0，-1）把代入得故所求抛物线的解析式为 （3）因为反比例函数的图象经过抛物线上的点（1，a）把代入，得把代入，得所以 画出的图象如图所示.观察图象，除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为和把和分别代入和可知，和是的两个交点 根据图象可知：当或或时， 当时， 当时，22已知抛物线yax2bxc经过点（1，2）.（1）若a1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B、C，且ABC为等边三角形，求b的值.（2）若abc4，且abc，求|

36、a|b|c|的最小值.解：由题意，abc2，a1，bc1 抛物线顶点为A（，c）设B（x1，0），C（x2，0），x1x2b，x1x2c，b24c0|BC| x1x2|ABC为等边三角形， c 即b24c2·，b24c0，2c1b，b24b160，b2±2所求b值为2±2 abc，若a0，则b0，c0，abc0，与abc2矛盾.a0 bc2a，bcb、c是一元二次方程x2(2a)x0的两实根（2a）24×0， a34a24a160, 即（a24）(a4)0，故a4. abc0，a、b、c为全大于或一正二负若a、b、c均大于，a4，与abc2矛盾； 若a、

37、b、c为一正二负，则a0，b0，c0,则|a|b|c|abca(2a)2a2， a4，故2a26 当a4，bc1时，满足题设条件且使不等式等号成立故|a|b|c|的最小值为6 yxO23. 已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式 y=-x+2并且线段CM的长为（1） 求抛物线的解析式。（2） 设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。（3） 若以AB为直径作N，请你判断直线CM与N的位置关系，并说明理由。（1）解法一：由已知，直线CM：y=x2与y轴交于点C（0,2）抛物线 过点C（0,2），所以c=2，抛物线的顶点M在直线C

38、M上，所以 若b0，点C、M重合，不合题意，舍去，所以b2。即M过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在所以，解得，。所求抛物线为： 或 以下同下。（1）解法二：由题意得C(0 , 2),设点M的坐标为M（x ，y）点M在直线上，由勾股定理得，=，即解方程组 得 M（-2，4） 或 M （2，0）当M（-2，4）时，设抛物线解析式为，抛物线过（0，2）点， 当M（2，0）时，设抛物线解析式为抛物线过（0，2）点，NMyOA BD（G）CM所求抛物线为： 或 （2）抛物线与x轴有两个交点，不合题意，舍去。抛物线应为： 抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，得 （3）AB是N的直径，r = ， N（2，

39、0），又M（2，4），MN = 4设直线与x轴交于点D，则D（2，0），DN = 4，可得MN = DN，作NGCM于G，在= r 即圆心到直线CM的距离等于N的半径，直线CM与N相切 24 已知：抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A、B两点(A点在B点的左侧)，顶点为P(1)求A、B、P三点坐标； (2) 在下面的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零； (3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由.解：(1)求得A(1，0)，B (3，0)， P (2，1) (2)作图正确 当1x3时，y>0 xOy12345-1-2-1-2

40、123-3(3)由题意列方程组得： 转化得：x2-6x+9=0 0，方程的两根相等， 方程组只有一组解 此抛物线与直线有唯一的公共点25 已知：如图，A（0,1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在OAB的外部作BAEOAB ，过B作BCAB，交AE于点C.(1)当B点的横坐标为时，求线段AC的长；(2)当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x，试求y与x的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）； (3)设过点P（0，-1）的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，且x12+x226(x1+x2)=8，求直线l的解析

41、式解：(1)方法一：在RtAOB中，可求得AB yAOBxCDGHOABBAC，AOBABC=Rt ，ABOABC ，由此可求得：AC 方法二：由题意知：tanOAB= (2)方法一：当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D，过C作CHx轴，交x轴于点H，则可证得ACAD，BD-4 AOOB，ABBD，ABOBDO，则OB2AO×OD-6，即化简得：y=，当O、B、C三点重合时，y=x=0，y与x的函数关系式为：y= 方法二：过点C作CGx轴，交AB的延长线于点H，则AC2(1y)2+x2=(1+y)2，化简即可得。(3)设直线的解析式为y=kx+b，则由题意可得：，消去y得：x2-4

42、kx-4b=0，则有，由题设知：x12+x22-6(x1+x2)=8，即(4k)2+8b-24k=8，且b=-1，则16k2-24k -16=0，解之得：k1=2，k2=，当k1=2、b=-1时，16k2+16b=64-16>0，符合题意；当k2=，b=-1时，16k2+16b=4-16<0，不合题意（舍去），所求的直线l的解析式为：y=2x-1 26如图，已知抛物线与x轴交于A（m，0）、B（n，0）两点，与y轴交于点C（0， 3），点P是抛物线的顶点，若m-n= -2，m·n =3（1）求抛物线的表达式及P点的坐标；（2）求ACP的面积SACP解： （1）设抛物线的表

43、达式为y=ax2+bx+c，抛物线过C（0，3），c=3， 又抛物线与x轴交于A（m，0）、B（n，0）两点，m、n为一元二次方程ax2+bx+3=0的解， m+n=- ，mn=， 由已知m-n= -2，m·n =3，解之得a=1，b=-4；m=1，n=3， 抛物线的表达式为y=x2-4x+3，P点的坐标是（2，1） （2）由（1）知，抛物线的顶点P（2，-1），过P作PD垂直于y轴于点D，所以，SBCP =S梯形CBPD-SCPD=SCOB+ S梯形OBPD- SCPD， B（3，0），C（0，3），SBCP =SCOB+ S梯形OBPD- SCPD=×3×3+

44、×1×（3+2）-×2×4=3 27已知抛物线：（，为常数，且，）的顶点为，与轴交于点；抛物线与抛物线关于轴对称，其顶点为，连接，注：抛物线的顶点坐标为（1）请在横线上直接写出抛物线的解析式：_；（2）当时，判定的形状，并说明理由；（3）抛物线上是否存在点，使得四边形为菱形？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由解：（1） （2）当时，为等腰直角三角形 理由如下：如图：点与点关于轴对称，点又在轴上， 过点作抛物线的对称轴交轴于，过点作于当时，顶点的坐标为，又点的坐标为，从而，由对称性知，为等腰直角三角形 （3）假设抛物线上存在点，使得四边形为菱形，

45、则由（2）知，从而为等边三角形 四边形为菱形，且点在上，点与点关于对称与的交点也为点，因此点的坐标分别为，在中，故抛物线上存在点，使得四边形为菱形，此时ADLBC101010图1028如图10（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合。设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y.（1）写出y与x的关系式； （2）当x2，3.5时，y分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？ （1）y2x2（2）8；24.5（3）5秒29、 如图，已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点，（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式； （2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上； （3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由.解：设l2的解析式为y=a(x-h)2+k l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4