顺风向结构风致响应一般计算方法

1、顺风向结构风致响应公式推导0引言近些年来，由于全球气候变暖，风灾变得更为频繁，在所有自然灾害中，风灾 造成的经济损失已经跃居各种自然灾害之首。 每年造成全球经济损失达数百亿甚 至千亿美元，而我国东南沿海地区又是受风灾影响比较严重的区域。同时，随着 土木工程结构向着高、大跨、柔、轻质和低阻尼方向发展，结构对风的敏感性大 大增强，与结构损坏有关的风灾屡见不鲜，风荷载正在逐渐成为结构设计时的控 制荷载之一，国内外工程技术人员对建筑物的抗风设也计越来越重视。在研究风对结构的作用时，一般将其分为平均风和脉动风。本文主要讨论顺 风向的结构风致响应。顺风向的结构风致响应是在平均风和脉动风共同作用下产 生的。

2、我国建筑和在规范规定，对于高度高于30m且高宽比大于的房屋结构，对于基本自振周期不大于的塔架、 桅杆、烟囱等高耸结构，应考虑到风压脉动引 起的结构动力效应。由于脉动风的卓越周期在一分钟左右，而高、柔、大跨度结 构的基本周期也只在几秒这个数量级，因此结构愈柔，基本周期愈长，顺风向的风致响应就愈大。目前关于结构顺风向风致响应的计算方法一般是基于加拿大Davenport在20世纪60年代提出并不断发展完善的。依据该方法，顺风向的结 构总风致响应由平均风响应、脉动风响应组成，其中脉动风响应包括背景响应和 共振响应。图0-1（ A）表示了时域内的平均响应r、背景响应rB和共振响应rR， 图0-1（ B）

3、表示了频域内的背景均方响应rB、前三阶共振均方响应r；、rR2和rR3。 下面主要探讨下单自由度和多自由度结构的顺风向风致响应。LOG FREQUEMCT f图0-1平均、背景和共振响应1单自由度结构顺风向风振响应结构的自由度数等于确定其各部分位置所需参数的数目。有很多结构，将其假定为单自由度结构，在计算其顺风向动力响应时能获得合力准确的计算结果。 在计算结构的顺风向响应时，仅考虑顺风向部分的湍流速度分量 u，其他湍流分 量对结构的振动响应影响不显著。一般单自由度结构可视为点状结构，计算模型可假定为质量为 m的质点支 承在刚度系数为k的弹簧上，同时与弹簧平行的方向有阻尼系数为 c的黏滞阻 尼。

4、位移u的运动方程为：mu cu ku Ftot（）式中，Ftot为作用在结构上的顺风向荷载。荷载 Ftot的表达式为：1 . 2Ftot 2°dA （U v u）2（）式中，Cd为空气阻力系数；A是垂直平均风方向的结构受荷载面积。顺风 向荷载取决于风与结构的相对速度，即与结构振动的速度u有关系。因为，一般情况下平均风速U比纵向湍流的速度v要大得多，所以有如下近似：（U v u）2 U2 2Uv 2U u（）全部的风荷载可分为三部分：平均风荷载Fq、由湍流产生的脉动荷载Ft及气动阻尼所产生的荷载Fa :FtotFq Ft Fa（）FqCd AU2（）2FtCd AUv（）FtCdAUu

5、Ca u（）CaCd aU（）气动阻尼常数ca与结构自身阻尼c相加可得合租尼Co :所以有平均风位移响应：丄CdA U2k结构位移的自谱S (n)表达式为:2S(n) |H(n)| SF(n)式中，H (n)为结构的频率响应函数；SF(n)为函数自谱。风荷载自谱可由下式确定:S(n) (CaA U)2Su(n)4Fq2U2Su(n)()()()因此，位移U的方差可通过对式()中的自谱积分求得:S (n)dn4Fq2k2|H( n) |2 晳dn()再将湍流强度Iuu .U代入上式，并利用式()，可得：2()0uk2U20所以，总的风致响应：J2 Iu k2|H(n)|2 Su(n)dno顺风向

6、的结构总风致响应由平均风响应、脉动风响应组成，其中脉动风响应包括背景响应和共振响应。一、平均风响应在顺风向，平均风致响应可通过平均风荷载与影响函数得到-H r（z） 0 P（Zi）i（z,zJdZj （ 1）式（1）中：r（z）表示在结构z高度处的某一响应均值p（Zi）表示作用于结构高度Zi处的线平均风力i（z, z）表示在乙高度处作用一单位力在z高度处产生的某一响应值，也称影 响函数，包括位移、剪力和弯矩影响函数等，其任意高度z的表达式如下：j（z八（z）第j阶位移 Kji（z, zi）1或0剪力（当乙z时，取1；当zi z时，取0）（2）zi -z或0弯矩（当zi z时，取zi - z；当

7、zi z时，取0）式（2）中，j（z）和j（z）表示某高度处的第j阶阵型坐标，K*代表第j阶广义刚度。在竖向悬臂结构中，一般考虑第一阶阵型的影响。在(2)中，最为关心的是顶部(z=H)位移、底部(z=0)剪力与弯矩的影响函数。二、脉动风响应一竖向悬臂结构，在与风垂直的迎风表面xz 上, M1点和M2点的坐标分别为(x,z)和(x,z)，准定常假定成立，作用于迎风面上这两点的脉动风压分别 为w(x, z,t)和w(x'zt)，其表达式为w(x,z,t)Cd(MJ (z) (z,t) (a)w(x,z,t) Cd(M2)(z) (z,t) (b)由强风观察结果分析得出，式(a)和式(b)中

8、的流脉动风速(z,t)和(z,t)大 体上服从正态分布规律，脉动风速的均值 E( )0,并且由前述脉动风的记录可近似作为平稳各态历经的随机过程。1、运动方程工程中受风敏感的高层建筑或高耸结构， 属竖向一维悬臂结构，这类结构沿 竖向的质量和刚度分布可以不均匀， 随高度发生变化，现将其抽象为一维悬臂的 无限自由度体系。由随机振动的振型分解方法，任意高度 z处的水平位移yd(z,t)可表示为yd(z,t)ydj(z,t)j(z)qj (z)( 3)j 1j 1式中ydj(z,t)第j振型的动位移；j(z)第j振型z高度处的坐标；qj(z)第j振型的广义坐标。假设振型j(z)对质量分布和刚度分布正交，

9、阻尼项采用瑞雷阻尼，可得第j振型的运动方程：q(t) 2 j(2 nj)qj(t) (2 內 Fj (t)( 4)亠宀1 H B(z)式中，Fj(t) 匸 0 0 w(x, z,t) j(z)dxdz (5)IVI j式中 w(x, z,t)脉动风压；Bz 建筑物z高度处的迎风面宽度；H建筑物总高；M j 建筑物第j振型的广义质量，其表达式如下：H*nM j m（z） j （z）dz （6）0式中，m（z）为建筑物z高度处单位长度的分布质量2、位移响应根方差由维纳-辛钦关系式，第j振型和第k阶振型广义力互谱密度SFjFk（n）由其互相关函数Rf.f, （x, x ,z,z,）得到:SnFk(n

10、)RFjFk(x,x',z,z, )ei2ndF.(t)Fk(t) e i2 n d(7)由式(5)和(7)可进一步写作SFjFk (n)H B(z)H B(z)'''''0 0 w(x,乙 t) j (z)dxdz 0 0 w(x,z,t ) k(z)dxdzi2 n；?*edM .M .HHB(z)0 0 0i2 nB(z.' w(x,z,t)w(x,z,t ) ed''j (z) k (z)* *dxdxdz dz0MjMj1H H B(z) B'''''j. 0 0 00 j

11、(z) k(z曲x,x,z,z,n)dxdxdzdz（8）式（8）中，Sw（x, x',z,z', n）为两点脉动风压互谱密度，为''''i2 nSw(x,x,z,z,n)Rw(x,x ,z,z, )e d,( 9)w(x,z,t)w(x ,z ,t ) e i2 n d式（9）中，Rw（x,x',z,z',）为两点脉动风压互相关函数由式（a）和（b）,可写出：'' '''i 2 nSw(x,x,z,z,n)Cd(MJ (z) (x,z,t) Cd(M2) (z) (x,z,t ) e d2

12、Cd(MJCd(M2)(z) (z )S(x,x,z,z,n)(10)引入脉动风相干函数的平方根 Rxz(M1, M 2,n)后，S (x,x',z,z',n) Rxz(Mi,M2,n). S (x,z,n)S (x',z,n) (11)Rxz(Mi,M2,n)；S (n)S (n) 想(皿1,皿2,n)S (n)1 HSFjFk(n) 0HB(z)B(z')0 0 0将式(10)连同式(11)带入式(8)中，可得：' n'''j(z) k(z) Cd(MJCd(M2)(z) (z)S (n)Rxz(M1,M2,n)dxdxdzd

13、z（忽略交叉项后，式（12）写为SFj(n)2Cd(MJCd(M2)S (n) H*2m j)'zz''j (z) k(z)(2 )Rxz(M1,M 2, n)dxdxdzdzH2 2*nM j2Cd(M1)Cd(M2)S (n) H J(n)(13)式（13 ）中，Cd（MJ和Cd（M2）M1和M 2的平均压力系数，H（自，吒），这里，H为来流在建筑物顶部高度的平均风速。按阵型分解随机振动理论，结构水平动位移响应的功率谱密度Sy（z, n）为Sy(z, n)j(z) k(z)Hj(-in)Hk(in)n)(14)j 1 j 1Hj(-i n)Hk(i n)1(2 nj

14、)21 (卫)2i2 j-njnj12 n 2n(2 nk)21 (-)2 i2 l响应y的方差为2y(z)0 Sy(z,n)dnm m0j(z) k(z)Hj(-in)Hk(in)SFjFk(n)dnj 1 j 1当忽略交叉项后，第j阶振型响应的方差为:2(15)式( 16)2(z)0 Hj(in) Sf(n)dn( 16)中，频响函数为Hj(i n)1(2 nj)41 (丄)2 (2 j-)2njn(17)式( 16)可分为三段积分，写作:2(z)2H j(in) SFj(n)dn2Hj(in) SFj(n)dn2nj njj(z)0nj njnj nj2(Z) njnjH j(in) S

15、Fj(n)dn( 18)式(18)可进一步改写如下:12,、 njnj02 2 2yj(Z) (2-T j(Z)0SFj(n)dn SFj( n) j(z)(2 nj)1 2(2-T j(z)oSFj(n)dn 希(2 nj)2nj njnj nj2Hj(in) dnj2(z) 0 H j(in)2dn(19)式(19)右端第一项，背景风响应b(z)为mm1b(z) Bj(z) 4 j2(z) 0 SFj(n)dnF(20)j 1j 1 (2 nj)0右端第二项，共振响应Rj(Z)为2Rj(z) SFj(nj) 2(z) 0 Hj(in) dn (21)风致响应谱在结构自振频率处具有与结构传递函数类似的尖峰，由此可将自振频率附近的响应谱值按白噪声假定简化计算。2 2 2Rj(z) SFjg) j(z) H j(i n)j( 22)式（22）中，j为假定的白噪声带宽。比较（21）和（22）得2jnj(23)H j(in) dnHj(i n)由式（23）,可得H j (in) dn H j (in)o1 2(2 )jnjj(2 nj)4Hj(i n)jnj13-64 nj j(24)由式（21）和（24）得(25