虹口区高二下期中(2019.4)

1、虹口区高二下期中数学试卷2019.04一、填空题1 .过点（1,0）且与直线x y 0平行的直线方程是 2 .将边长分别为1cm和2 cm的矩形，绕边长为 2 cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为 cm2. 3 .以A（1,1）, B（3, 1）为直径的端点的圆的方程是 .4 .正方体的外接球体积为V1 ,其内切球体积为 V2 ,则V1的值为.V25 .椭圆的长轴长是短轴长的 2倍，它的一个焦点为（展,0）,则椭圆的标准方程是6 .已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长是旗,则该正四棱锥的全面积为 .227 .双曲线、y- 1（a 0）的一条渐近线方程为 y 2x,则a的值为

2、.a 48 .点P是棱长为a的正方体 A BCD A1B1c1D1棱A1B1上的动点，则四棱锥 P ABC1D1的体积为. 22229 .已知椭圆Jy-1（m 0）和双曲线xyy-1（n 0）有相同的焦点Fi、F2,点P为椭m 9n 4圆和双曲线的一个交点，则|PFi | |PF2 |的值是.10. 正方形铁片的边长为 4cm ,以它的一个顶点为圆心，一边长为半径圆弧，剪下一个顶角为一的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于23cm .11. （A组题）在棱长为a的正方体ABCD AiBCQi中，M、N、P分别是正方形 ABCD、正方形BBiGC和正方形ABBiAi

3、的中心，则过点 M、N、P的平面截正方体的截面面积 为.12. （B组题）在棱长为a的正方体ABCD A1BCQ1中，M、N分别是正方形 ABCD和 正方形BB1C1C的中心，则过点 A、M、N的平面截正方体的截面面积为13. （A组题）在平面直角坐标系 xOy中，C为直线y 5上的动点，以C为圆心的圆C截 y轴所得弦长恒为6,过原点O作圆C的一条切线，切点为P ,则点P到直线3x 4y 25 0 的距离的最小值为.14. （B组题）如果直线3x 4y a 0被圆（x 1）2 （y 3）2 16截得的弦长最长时，实数 a的值等于、选择题15. 直线m 平面 ，下面判断错误.的是()A .若直线

4、n m ,则n /C.若直线n II ，则n m14.已知直线l:2x y 2 0被双曲线C:x2线被双曲线C所截得的弦长不等于 3后(A. l:2y x 2 0C. l:2x y 2 015.有一把三角尺 ABC , A 30 , CB.若直线n ，则n / mD.若直线n / m ,则n21截得的线段长等于 3/5,下面哪一条直12)B. l: 2x y 2 0D. l:2x y 2 090 ,把边BC放置在桌面上，当三角尺与桌子所在的平面成60。的时候,AB边所在的直线与桌面所成的角等于(-10 -D. arcsiJ4A .3A . arcsin 416 . (A组题)阅读材料：在空间直

5、角坐标系O xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为rn (a,b,c)的平面的方程为 a(x x°) b(y y°) c(z z0) 0 ；过点 P(x0,y0,z。)且一个方向向量为u (u,v,w)(uvw 0)的直线l的方程为 土 U° z_0 .根据上面结论，u v w解决下面问题：已知平面的方程为x 2y 2z 4 0,直线l是两平面3x 2y 7 0与2y z 6 0的交线，则直线l与平面所成角的大小为()a . -14A . arcsin14B.4 arcsin 21C.5 14 arcsin42D. a.应37716. (B组题)直线x

6、 3y2 0与直线x 3y2 0的夹角等于(B.C.三、解答题17 .抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，抛物线C过点A (4,4),过抛物线C的焦点F作倾斜角等于45。的直线l ,直线l交抛物线C于M、N两点.(1)求抛物线C的方程；(2)求线段MN的长.18 .如图，AB是异面直线a、b的公垂线，长度为2点C、D分别在直线a和b上，且CD长为4.过线段AB的中点M作平面 ，使得A B 平面 ，线段CD与平面 交点为N .(1)求异面直线 AB和CD所成的角的大小;(2)求证：直线a II 且CN DN .21的右焦点F且与x轴不重合的直线交双曲线 2C于A、B两个点,219 .过双曲线

7、C: 2、，37E点 D (,0). 2(1)当直线AB垂直于x轴时，求直线 AD的方程；(2)设直线 AD与直线x 1相交于点E ,求证：FD II BE .20.在三锥A BCD中，4ABC和4ABD都是以AB为斜边的直角三角形， AB CDAB 10, CD 6.(1)问在AB上是否存在点E ,使得A B 平面ECD ?(2)如果SAabc Saabd 30,求二面角C AB D的大小；(3) (A组题)求三棱锥 A BCD体积的最大值.(B组题)如果SA abc SA abd 30 ,求三棱锥 A BCD体积.2X 221.已知椭圆C:一 y 1,直线l:y kx b与椭圆C相交于A、

8、B两点. 2,E1 (1)如果kb ,求动直线l所过的te点； 41(2) (A组题)记椭圆C的上顶点为D ,如果 ADB ,证明动直线l过定点P(0,);23，一一 ，I 一，,， E1(B组题)记椭圆C的上顶点为D,如果k 0, b ,证明 ADB ; 32，E1(3) (A组题)如果b ,点B关于y轴的对称点为B ,向直线AB是否过定点？如 2果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.(B组题)如果b 1 ,是否存在实数 m,使得线段AB中点的横坐标等于 m?如果存在， 22求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由.、填空题1.x y 1 02.4136. 127. 18. -a参考答

9、案23. (x 2)2 y224. 3用5. y2 149. 1310.- 15311. (A 组题)W3a2; (B 组题)22a212. （A组题）1; （B组题）9【第9题解析】不妨设IPF1 | |PF2 |,则由椭圆及双曲线的定义，一.|PF1 I |PF2 12m2222可知 |PF I |PF I 9n(IPF1I IPF2I) (IPF1I IPF2I) 4IPF1IIPF2I 4(m n),| PF1 | | PF 2 | 2n. |PFi | |PF2| m2 n2,又椭圆与双曲线的焦点相同，m2 9 n2 4,即m2 n2 13 , IPFiI |PF2| 13.【第10

10、题解析】设圆锥底面小圆的半径为r、母线为l、高为h ,其中l 4.由底面小圆的周长等于侧面展开图中扇形的弧长及扇形的弧长公式,可知 2 r l r 1 ,从而 hr V15 , ''' V圆锥r 2h ( cm3)233【第11题解析】（A组题）截面即等边 ABiC ,其面积为 多扃2 a2;（B组题）截面即矩形 AiACG,其面积为 夜a2.【第12题解析】（A组题）设圆C的圆心C（a,5）,半径为r（r 0）,圆C被y轴所得弦长恒为6, ,由弦长公式2,2 d2 6及d |a|,可得r2 a2 9 , 从而 |OP| J|OC|2 r2 4 , 点 P 为圆 O:x

11、2 y2 16 上的一点，所求的距离的最小值为O到直线3x 4y 25 0的距离减去半径4,答案为1.（B组题）当直线经过圆心 （1, 3）时，弦长最长（即圆的直径），解得a 9 .、选择题13. A 14. A 15. D16. （A组题）B; （B组题）C【第16题A组题解析】平面3x2y 7 0与2yz 6 0的方程可分别改写为与丁",直线l的方程可以是 J22y 2 z 2uyN其方向向量为d (2,3,6),36u r r Id n I 4平面 的法向量为n （1,2, 2）,记直线l与平面所成角为，则sin-rd一L 一,Id I In I 21B.,43arcsin,选

12、 21三、解答题17. (1) y2 4x; (2) MN 8 (抛物线的焦点弦的弦长为 % X2 I p ).18. ( D(2) A B 平面 且 M F u 平面，. AB MF , AB AC , AC u 平面 ABC , M F u 平面 ABC , M 为 AB 中点，AC / MF 且 F 为 BC 中点，又 AC 口平面 ，M F u平面 ，.二AC II平面，即a /,类似，可证 BD II FN且N为CD中点，. CN DN .19. (1) A (2,衣，kAD 2夜，由点斜式，可得直线 AD的方程为y kAD (x -)2即2岳 y 3品 0或2伍 y 372 0；(

13、2)设直线 AB 的方程为 x my 2 , A(x1,y1)、B(x2,y2),欲证FD II BE ,即证yE V2 ,联立直线与双曲线方程，可得,2,、24m(m 1)y"y 2 °，则“% k ”2m2 1直线AD的方程为x13一J令x 1,则yE弋x1 一2(1-), 23 2x1y1yE y23 2x1y2y1 y2(32x1) y1 y23 2(my1 2)3 2x13 2x12myy2 y V23 2x1将（*）式代入，可得yEV20 ,得证.20. 【说明】由于SAabcSa ABD且它们的最大值均为25,本题中的（2）及（3）白BB组题均为错题！（1）过

14、点C作CE AB ,垂足为E ,联结DE , CE AB且AB CD ,，AB 平面ECD ,，AB上存在点E ,满足条件；（2）由（1）的证明，二面角 C ABD的平面角为 CED ,由$. ABC Sa ABD30,可得 CEDE6, 4CED为等边三角形,即二面角C AB D的大小为-;(3) (A组题)显然，CE DEVaBCD1c “ cSacde A B ,3CE2 AE BEAE (10 AE)(AE52) 25W 25 , CE 的最大值为 5,当且仅当CE、DE取得最大值5时，等腰4CDE的面积SAcde取得最大值12,此时Va bcd取得最大值40 ；（B组题）此时, CE

15、D为边长为6的等边三角形,VaBCD 1 Sa cde321. ( 1) y kx13AB -( 341kx 一 4(2) ( A 组题)设 A(x1,y1)、联立直线l与椭圆方程可得（1ADBuuu uuu,DA DB 262) 10 30 73 .1k(x 1) 一4BN.),uuu uuuDA DB(X1,y1 1) (X2,y2(k2 1)x 1x 2 k(b 1)(x1 1，动直线l过定点P（0,-）31，动直线l过7E点（1, 一）；42k2)x2 4kbx 2(b2 1) 0,贝U0且b 1 （当b 1时，直线l过点1) (X1,kX1X2) (b 1)21（B组题）证明当b 1

16、时,3uuur uuuDA DB体过程略;（3） （A组题）由对称性可知,XiX2X1X2D ),0,(k21) (X2,kX2 b 1)由（*）1)X1X2若存在定点，则定点必在设 A(X1,y1)、B(X2,y2)，则 B ( x2*)联立直线l与椭圆方程可得（1 2k2）x22kx 30,k(b 1)(X1y轴上,XiX2X1X2可得X 2)直线AB的方程为y y1y2 y1 (xX2 XiXi),4kb2(b2112k2 r(b2k21 2k232(1 2k2)22k1）2 0即可，具(*),11、vvx(vv)XvXvxi(kx23)x2(kxi-)y2 y1x1 (y2 y1)x1y2x 2y122( xi)y1x2 xixi x2 xi x2xi x2kx8 i一?xi