第八章随机变量及其概率分布

1、第八章随机变量及其概率分布§ 8.1离散型随机变量及其分布律一.随机变量我们注意到这样的现象：(1)随机试验的结果往往表现为数量，如：击中次数、潮位数值、投掷骰子等。(2)若不表现为数量，可使其数量化，如： 抽牌时，将牌张编号等。以X表示试验的数值结果，则 X是随机变量。(解释“随机”)即取值是随 机的变量叫随机变量。举例：(1)掷币： X为“出现正面的次数” ，X的可能取值为1、0。即X = 1= "正面朝上"，X = 0= "反面朝上”，并且PX = 1= PX = 1= 0.5(2)抽牌： X为“抽得牌张编号“， X的可能取值为1, 2, 3,，5

2、2。 14wXw 26= "抽到红心”随机变量用大写字母 X、Y、Z等表示。特别注意：随机变量的取值或取值范围表示随机事件， 而我们研究 随机变量最主要的就是随机变量的取值或在某个范围内取值的概率 (随 机变量X本身不是事件)。即PX =k或 Pa MX <b二.离散型随机变量如果X的取值(可以有限也可以无限)可以一一列出，即可以排队的，则称X是离散型的随机变量。设X的可能取值为xk( k = 1,2,，n),并且相应的概率 PX = xk = pk 都知道，则该随机变量的规律就完全搞清楚了。X的规律是指弄清可能取值知道概率。写成矩阵形式：G X2 HI Xk I")

3、X ,(,<Pi P2 III Pk III J这个表格称为分布律(分布列)。分布律应满足以下条件(性质)(1) 1 之 Pk 之 0(k=1,2,|)； (2) E Pk=1 k分别叫做概率的 非负性和概率的完备性。/ 1 k求a的值，使X的分布律为PX =k=3a- j (k =1,2,|) o2解：:1乙 3a.一k 1213 3a2 =112【注】分布律可以列表，也可用公式表示，本质都是以概率为函数值的一种特殊的函数，仅仅是表示的形式不同而已。例2现有10件产品中，其中有 3件次品，现任取两件产品，记X是“抽得的次品数”，求X的分布律。解 X可能取值为0, 1, 2,（这是关键步

4、骤，常被忽视而致思维受阻）。概率为px =0=4/, px =i=c3c7/C12）, px = 2=段/薪roi2、则分布律为X 771（15 15 15【注】求分布律，首先弄清X的确切含义及其所有可能取值。例3 一种有奖储蓄，20万户为一开奖组。设特等奖 20名，奖金4000元； 一等奖120名，奖金400元；二等奖1200名，奖金40元；末等奖4万名，奖金 4元。求一户得奖额 X的分布律。解 X的可能取值为4000, 400, 40, 4, 0 （最后一值易漏，要特别注意， 绝大多数是不中奖的），易求分布律4 40004004040）X0.0001 0.0006 0.006 0.2 0.

5、7933,以下讨论三种常见的分布：两点分布、二项分布、泊松分布X的可能取值仅两点0和1,且PX =1= p,则分布律为<p q)其中q =1 - p ,则称X服从参数为p的两点分布（0-1分布）。例4 袋中装6只白球和4只红球，任取一只, 分布律。X为“取得白球数”，求X的解PX = 1 = 0.6 ,则X的分布律为X<0.6 0.4；【注】任何随机试验都可与两点分布相联系：设A是试验中某一事件，X是“一次试验中 A出现的次数”，若P（A尸p,则X的分布律为（X = 0表示A未 出现）0q;四.二项分布1,贝努里（Bernoulli）试验将随机试验在相同条件下独立地重复n次，观察事

6、件A出现的次数，称为贝努里试验，或n次重复独立试验。如：射击n次，中几次？有放回的抽样（ 抽牌、模球、检验产品）。事件 A 出现k次的概率记为 Pn（k）。例5 产品次品率为0.2,有放回地抽5次，求出现2次次品的概率（可见贝 努里试验Flash动画演示）。解 即求P5(2),出现次品为 A, 5次抽样情况可以是AAAAA , AAAAA , AAAAA | ,这样的情况共有 C52种，互不相容，其概率都是0.22 x 0.83,所以由加法定理得 _ 223P5(2) =C50.2 0.8。一般地，在贝努里试验中，A出现的概率是p, q=1- p ,则Pn(k)=C；pkqi = Ck 1-p

7、 kqn" (k= 0, 1J2,n , 这种概率模型称为贝努里概型。2.二项分布X是n次重复独立试验中 A事件出现的次数，P(A) = p,则P(X =k) =C：(1 p jqn*(0<k<n)称X服从参数为n, p的二项分布(或贝努里分布)，记X B (n,p )。例6,产品次品率为10%,任意抽取5件样品，求最多有 2件次品的概率。解：产品量很大时，不放回近似于放回，所以这是贝努里概型且 p= 10% = 0.1, 现在求PX<2：pIx £2 ； = p1x =0)PiX =1)PiX =2= C；p0(1-p)5 C5P1(1-p)4 C；p2

8、(1-p)3= 0.5905 0.3281 0.0729 =0.9914【注】要重视应用二项分布的现成结论。常见的二项分布实际问题：有放回或总量大的无放回抽样；打枪、投篮问题 (试验n次发生k次)；设备使用、设备故障问题 。例7螺丝次品率为0.05,十个一包出售，多于一个次品可退货，求退货率。解 螺丝量大，近似于有放回抽样，次品数 XB(10,0.05),求PX >1。 但直接求很繁，可先求不多于一个次品的概率P(X M1) = R0(0) R0(1) = 0.9510 10 0.05 0.959 -0.9139(可以查表计算)。所以退货率为 1- 0.9139 = 0.0861 = 8

9、.6 %。五.泊松(Poisson)分布若X的可能取值为0,1,2,|,k,| (无穷)且kP(X =k) = -e'('0, k =1,21l)k!则称X服从参数为X的泊松分布，记为X P (力一)。利用哥级数知识可以证明：，k, k' P(X ' k)八 一 e-' - e、一: e- e' =1 k =ek =e k !k =0 k !泊松分布来自于“排队现象”，刻画稀有事件出现的概率。如某时间段内的电话呼叫、纱线断头、顾客到来、车辆通过等。当n很大时，二项分布近似于泊松分布，即.k kk k n -k(np)-npPn(k)e (np =

10、 ')Cn p qek!k!§ 8.2连续型随机变量及其概率密度.连续型随机变量1 .概率密度,就是连续型随机变量。如 零件尺寸、电池X的取值连成一片(成为一些区间) 寿命、降雨量等。图3:-:-WP a<X<b 是连续和，应是定积分(a, b可不同，但被积函数相同)bP：a<X <b?= f(x)dxa(注意大、小写勿相混)这里函数f ( x )称为随机变量 X的概率密度函数，简称密度。密度f ( x )决定了 X的变化规律，不同的随机变量有不同的密度。定积分的几何意义是面积，所以概率的几何意义是密度函数曲线下方的面积(见图3)。2 .密度的性质连续

11、型的概率非负性和概率完备性表现为-bo(1) f (x) >0(2) f(x)dx=1 (P*<X <s= 1 ).JtJO例1设下列函数是概率密度，求 k及P1 wXw 3, P X< 1一 2一k(4x-2x ) 0_x_2f(x)二0其他解：由完备性(注意分段函数的积分处理)二2-21f(x)dx = k(4x-2)xdx= 一二02Pl1-X_3j= f(x)dx= -(4x - 2x2)dx = -P ：X 1?=-11 8223 .单点概率 aP：X =a) = Pia Wx Mb： = f(x)dx = 0a这说明单点概率为零。概率为零的事件不一定是不可能

12、事件。于是P 1a 三 X 三 b) = P la X 三 b) = Pa X b) = P la 三 X b) 进一步的考虑是当 Ax很小时a，xP IX =a，： P 匕4X : a x;= f (x)dx : f(a)Lxa即单点概率是和密度函数值成正比的无穷小量。4 .概率的几何意义b- 7PiawxMb)= f(x)dx f(x)dx 1a -二二表明(1)概率的几何意义是曲线 y = f (x)下方的面积。(2)并且整个曲线下方的面积等于1。又P IX = x> = f (x)dx说明密度f ( x)本身并不是概率，但它表示各点概率(无穷小)之间的比例。 以下讨论三种常见的分

13、布：均匀分布、指数分布、正态分布。二.均匀分布各点的概率(比仞0相同，即f (x)恒等于常数。若 X的概率密度为1.I a Mx Wbf (x) = b -a0其他则称X服从区间a, b上的均匀分布，；I记为 XU( a, b )。(见图 4)7-均匀分布是最简单的连续型分布。问： “图4(1)常数为何是区间长度的倒数？(2)均匀(概率)分布的概率如何简单求得？三.指数分布Lq'X x _ 0若X的密度为f(x)=44 A 0邮称X服从参数为0 x :二 0九的指数分布。显然有-bo-bof (x) >0 并且 J f (x)dx = j Ke'xdx =e.x 0”=1

14、.一二二0指数分布也来自于“排队现象”，与泊松分布紧密联系。四.正态分布最重要的分布，在后面着重讨论。§ 8.3 分布函数与函数的分布 一.分布函数1 .概念设X是随机变量，x是一个数，则P Xwx与x有关，随x的变化而变化， 从而是x的函数。称f (x) = PXwx为X的分布函数。F(x)是在区间(-8, x)内的“累积概率”，不要与单点概率混淆。2 .性质(1) 0 < F(x) <1(2) F(x)单调不减(3) F(y) = lim F(x) =1lim F(x) =F(-«) =0x二x >-：(4) Pa <xMb = F(a)F(b)

15、, PX >a = 1 F(a)这是累积概率之差额。可见利用分布函数计算概率也很方便。3 .求法注意对于离散型，F(x)是概率之和；对于连续型，F(x)是积分。计算公式分x别是F(x)=" pkF (x) = f(x)dxxk _x-二二分布函数对于连续型随机变量比较有用：F(x)连续，且F<x)= f(x)在连续点成立。例1,设XU( a, b )(均匀分布)求分布函数F(x)。P'：X < x?解：当xe ( a, b )时，利用概率的几何意义(面积)得(见图5)0 x <ax - aF (x) = a _ x ： b| b - a1 x _bF(

16、x)的图形连续，尖点处无导数，恰为f ( x) 的间断点。二.函数的分布12已知X的分布，求 Y = g( X )的分布。如动能对速度 Y = mX 2 ,面积对2半径Y = nX 2。1. X为离散型随机变量。例2,已知X的分布律如下，求 Y=X2 Y = X 2的分布律。广-101251X<0.1 0.2 0.3 0.1 0.3；解：事件 Y =4)=a=2匕概率也相等，但丫="=仅=士0，所以' 01425)Y<0.2 0.4 0.1 0.3；即Y = g( X )的可能取值为yk=g(xk) (k =1,2,3，)，概率不变。2. X为连续型随机变量已知X

17、的分布密度 设fX(x),求Y = g( X )的密度fY(y)o先要求出Y的分布函数FY(y) = PN Wy,(与y有关)，再通过求导得到 fY(y) =FY'(y),由于计算比较复杂，此处从略。§ 8.4 正态分布.正态分布的定义与性质1 .定义若X的概率密度为 Gauss函数f(x)=, 27 -则称X服从参数为N,灯的正态分布，记为 X N（此仃2）。正态分布是最重要的分布。一方面在自然界中，取值受众多微小独立因素综合影响的随机变量一般都服从正态分布，如测量的误差、质量指数、农作物的收获量、身高体重、用电量、考试成绩、炮弹落点的分布等。因此大量的随机变量都服从正态分

18、布；另一方面，许多分布又可以用正态分布来近似或导出，无论在 理论上还是在生产实践中，正态分布有着极其广泛的应用。正态曲线：正态密度函数的图象，是钟形曲线（见图6）。2 .正态曲线的性质2 U2 du = 1（1）关于直线X = N对称（偶函数 平移）；，一 1（2） X = N时，达最大值., 2二二（最高点），两侧逐渐降低，有渐近线y=0（x轴），x = N 士仃 对应拐点；（3）曲线之下的面积为1,即I22 02 dx（计算过程略）。这个积分称为概率积分，又称高斯积分（高斯曲线）（4）注意到X=R 土。对应拐点，所以仃固定而N变动时，曲线左、右平 移，形状不变；口不变而O变动时，因面积恒定

19、为 1,故仃越大（小）,曲线越平坦（陡峭）。3.标准正态分布当R = 0,。=1时，称为标准正态分布，记为X N（ 0, 1 ）,概率密度为1-（x） = 1 e 22（邛（x）是专用记号）对称性、最高点、拐 点、渐近线、面积（积分）情况见上。二.正态分布的概率计算1 .标准正态分布X N（ 0,1）,其分布函数的图形见图 7,表示曲线下方、x左侧的面积，其函数表达式为:，（x）x=.(t)dt-joOt2e%dt已编制了数值表(附表1),但表中只有x*0的数值。利用图形的对称性和完备性，即：.：，(_x) =1 一中(x)，可以查表求出各种概率。例1,设X N(0,1),求以下概率(1) P

20、1<X <2； (2) P1 <X E2; (3) PX>2(4) PX a”；(5) PX a 2.5; (6) PX<1.3解：(1) P1 <X <2=6(2)6(1) = 0.97720.8413=0.1359(2) P-1 <X E2=(2) (19(1) = 0.9772+0.84131 = 0.8185(3) PX <1 = P-1 <X <1=(1) (1 中) =2 0.8413-1 =0.6826(4) P(X| >2=2P仅 >2 = 2(1 -6(2) =0.0456(5) PX2.5=中(2.5) =0.9938(6) PX c-1.3 =1-6(1.3) = 1-0.9032 = 0.0968(7)已知 PX >a=0.05 ,求 a。由 PX >a=0.025 倒查表得 a =1.96.。2. 一般正态分布的概率计算对于非标准正态分布，可通过线性变换化为标准正态分布来处理。设 2一 一 一X N （坨仃2）,则有重要结论X - 1X JY N（0,1）