CH4拉普拉斯变换

1、第四章拉普拉斯变换、连续系统第四章拉普拉斯变换、连续系统S S域分析域分析 拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯逆变换微分方程的S域求解 S域元件模型连续时间系统的S域分析 连续时间系统的信号流图一、拉普拉斯变换1、傅里叶变换在应用上的局限性： （1）实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，就难从傅里叶变换式求得傅里叶变换，例如单边增长的指数信号； （2）利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。 4.1 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换引入得te2、拉普拉斯变换称te为收敛因子。 dtetfFtj0)()(傅里叶变换deFtftj)(21)(dtetfdtee

2、tfFtjtjt0)(01)()()(（1）单边拉普拉斯变换jjsjddsjs:,:, dtetfsFst0（2）双边拉普拉斯变换 F(s)称为f(t)的像函数，f(t)称为F(s)的原函数，一般记为 F(s)= f(t) dtetfsFst（3）拉普拉斯逆变换 一般记为 sFtf tfsF傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。jjsjddsjs:,:,11 ( )( )( )2jstBjF sf tF s e dsj 3 3、复频率平面、复频率平面（1）左半开平面；（2）右半开平面；（3）轴是左半开平面与右半开平面的分界轴。 0sResjjIm左半开

3、平面右半开平面图 5-14、拉普拉斯变换存在的条件与收敛域、拉普拉斯变换存在的条件与收敛域 0limttetf0收敛条件： 通过点0的直线称为收敛轴， 0称为收敛坐标。 收敛轴以右的区域(不包括收敛轴在内)即为收敛域， 收敛轴以左的区域(包括收敛轴在内)则为非收敛域。 即只有在收敛域内取值,F(s)才能存在，且一定存在。 收敛区收敛区收收敛敛轴轴收收敛敛坐坐标标10j例4.1.1：求下列各单边函数拉普拉斯变换的收敛域(即求收敛坐标0)。 )(cos)()5()()()4()()()3()()()2()()() 1 (022tuttftuetftuetftutfttftt 0limttet0解：

4、解：(1) ，其收敛域为全s平面。此处 (2) ，须有 0。故其收敛域为s平面的右半开平面，如图 所示， 0=0。 sResjIm0收敛域0)(limttetu(3) ， ，须有 2 0,即-2 。故其收敛域为s平面的右半开平面，如图所示， 0-2。 0lim0lim22ttttteee0lim0lim22ttttteee(4) ，须有2 0,即2 。故其收敛域为s平面的右半开平面，如图所示， 02。 0limlim22ttttteeesResjIm0收敛域-2sResjIm0收敛域2(5) ，须有 0,即0 。故其收敛域为s平面的右半开平面，如图所示， 00。 0coslim0tttesRe

5、sjIm0收敛域二、二、 常用信号的拉普拉斯变换常用信号的拉普拉斯变换) 0(1)(00ssedtetustst1、阶跃信号)(tu1)()(00tststedtett)0()()(00000tedtettttstst2、冲激函数( ) t4、tnu(t) (n为正整数)1000( )nnnststnsttnt u tt edtetedtss ()001( ), ()s tttsteeu teedtss 3、指数信号( )teu t1( )( )nnnt u ttu ts01dtetsnstn1!( )nnnt u ts三、三、 拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质1、 线性特性线性特性)(s

6、in)(ttutf例4.1.2 求 的拉氏变换F(s)()(11sFtf)()(22sFtf)()()()(22112211sFKsFKtfKtfK若则jstuejstuetjtj1)(,1)(解：解：)(21sintjtjeejt22111sin( )2tu tj sjsjs同理同理22)(cosssttu2、 时域微分特性) 0 ()()()(101rnrrnnnnfssFsdttfd)()(sFtf) 0 ()()(fssFdttdf若若则则应取应取 )0(f)0(f) 0 () 0 ()()(222fsfsFsdttfd应取应取)0()1(f)0()1(f3、 时域积分特性)()(sF

7、tf若若sfssFdft)0()()()1(则则其中其中0)1()()0(dff4 4、 延时特性延时特性)()(sFtf)()()(000sFettuttfst若若则则)0(0t)()()(0ttutuEtf)1 ()(00ststesEesEsEsFt0 tf(t)EEG：5 5、 s s域平移特性域平移特性)()(sFtf)()(asFetfat若若则则22sinst22)(sinasteat22)(cosasasteat同理：的拉氏变换。和teteatatcossinEg:6、 尺度变换特性)()(sFtf)(1)(asFaatf若若则则)0(a例例4.1.44.1.4)()(, 0,

8、 0),()(batubatfbasFtf求若解法一：bsesFbtubtf)()()(先延时：解法二：先尺度：先尺度：)(1)()(asFaatuatf再延迟：再延迟：sabeasFaabtauabtafbatubatf)(1)()()()(sabeasFabatubatf)(1)()(再尺度：7、 s域微分特性)()(sFtf,)()()(dssdFtft若若则则nnndssFdtft)()()(8、 s域积分特性)()(sFtfsdFttf)()(若若则则9、 初值定理、终值定理)(lim)0()(lim0ssFftfst)()(sFtf若若则初值定理：应用条件：、初值初值f f（t t

9、）为）为t=0+t=0+时刻的值，而不是在时刻的值，而不是在t=0-t=0-时刻的值，无论拉氏变换时刻的值，无论拉氏变换F(s)F(s)是采用是采用0-0-系统，还是采用系统，还是采用0+0+系统，所求得系统，所求得S S初值总是初值总是f(0+)f(0+)、F(s)F(s)必须是真分式，若不是真分式则必须应用除法将必须是真分式，若不是真分式则必须应用除法将F(s)F(s)化成一个整式化成一个整式与一个真分式与一个真分式F F0 0(s)(s)之和，即之和，即F(s)=K+FF(s)=K+F0 0(s)(s)函数函数f(t)f(t)的初值的初值 。、物理解释：物理解释：s , js , j相当

10、于接入信号的突变高频分量，可以给出相当于接入信号的突变高频分量，可以给出相应的初值相应的初值f(0+)f(0+)。、由上式也说明，根据象函数由上式也说明，根据象函数F(s)F(s)判断原函数是否包含冲激函内其各阶导数判断原函数是否包含冲激函内其各阶导数存在。存在。终值定理：终值定理：0tts若f(t)F(s)且 limf(t)存在则lim f(t) limsF(s)说明：说明：、 存在条件等价于限制存在条件等价于限制F(s)F(s) 的标点在的标点在S S左半平面内和原点仅有左半平面内和原点仅有 一阶极点。一阶极点。 、物理解释：、物理解释： s0 j0s0 j0相相 当于直流状态而得到电路稳

11、态的当于直流状态而得到电路稳态的 终值。终值。)(limtft解：解：,12231)(2sssssF)(lim)0()0(00ssFffs,12231)(2sssssF31223lim)0()0(20ssssffs例例4.1.54.1.5 已知32221( ),21sssF sss求求(0 )f1010、 时域卷积定理时域卷积定理若)()(22sFtf)()(11sFtf)()()()(2121sFsFtftf则复频域卷积定理复频域卷积定理jjdzzsFzFsFsF)()()()(2121其中：)()(21)()(2121sFsFjtftf则)()(),()(21tutftuetft例例4.1

12、.64.1.6：已知已知求求)()(21tftf解：解： ssFssF1)(,1)(21111)(1)()(21sssssFsF)()1 (1)()()()(21121tuesFsFtftft4.2 4.2 拉普拉拉普拉斯逆变换斯逆变换11011011012.( )( )( ).()()()mmmmnnnnmmmmnna sasaA sF sB sb sbsba sasab spspsp式中，系数ai和bi都为实数，m和n是正整数， pi为 的极点。( )F s一、查表法（一、查表法（p181表表4-1）二、部分分式展开法（要求二、部分分式展开法（要求F(s)F(s)是有理函数）是有理函数）1

13、、分母多项式的根为n个实数单根，无重根 (m0，使函数f(z)在去心邻域0|z-z0|内，处处解析，则称Z0为f(z)的孤立奇点。即f(z)在Z0点不解析（不可导），则Z0为f(z)的奇点。结论： 多项式函数P(s)在全S平面上处处解析。 有理分数函数 在分母不为0的区域上处处解析，在极点为孤立奇点。)()(sBsA)()(),(Re000zfzzimzzfszz)()() 1(1),(Re01100zfzzdzdimmzzfsmmmzz3、留数计算方法： Z0为f(z)的一阶极点， 则 Z0为f(z)的m阶极点， 则 4、如何用留数定理求拉普拉斯逆变换 1( )( )02jstjf tF s

14、 e dssj 逆变换：为求此积分，可从积分限1-j到1+j补足一条积分路径以构成一闭合曲线（*）积分等于围线中被积函数F(s)est所有极点的留数之和。nistesFssFtf极点的留数11)(Re)(L)(极点1,)(Re221iistpesFsjjipsstkikkiiesFpsdsdkrKp)()()!1(111阶极点为ipsstiiiesFpsrp)()(为一阶极点。求f（t）3s2)(s1617s4s(s)例4.2.4：F22 3Re2Re,)(Re)(21sspesFstfiist22223)2(16174)2()!12(12Resstesssssdsds)()23(22tute

15、ett)(3)2(16174)3(3Re3322tueesssssstsst)()23()(322tueteetfttt解：4.3 用拉普拉斯变换法分析电路例4.3.1：已知22( )( )( )56 ( )28 ( )d y tdy tdx ty tx tdtdtdt( )( ),tx te u t起始条件为：(0 )3,(0 )2,yy求 y(t)解：对微分方程两边取拉氏变换：)() 82 ()(6)0 ()( 5)0 ()0 ()(2sXssYyssYysysYs) () 82 () ( 6)0 () ( 5) 0 () 0 () (2sXss YyssYysys Y s一、微分方程的一

16、、微分方程的S域求解域求解116582)(6582)(22sssssXssssYzs28341(1)(2)(3)123sssssss)()43()(32tueeetytttzs22( )( )28(5) (0 )(0 )( )( )5656zsziYsYsssyyY sX sssss 28341(1)(2)(3)123sssssss118( )23ziYsss23( )118ttziytee)0( t22(5) (0 )(0 )317118( )235656zisyysY sssssss22( 5) (0 )(0 )3 17118( )235 65 6zisyysY sssssss 23( )

17、( )( )(377)tttzsziy tytyteee)0( t)()() () (sIRsUt i Rtu电阻电阻 R RR)(ti)(tuR)(sI)(sU二、电路元件的二、电路元件的S S域模型域模型)()() () (sIRsUt iRtu)0 () () () () (uCsU sCs Idtt u dCt iC)(ti)(tu2 2、电容、电容C C)(sI)(sUsu)0(sc1)0(uC)(sI)(sUsc1并并联联模模型型串串联联模模型型)0(1)(1)(ussIsCsU复频域复频域容抗容抗)0 ()()() () (uCsUsCsIdttudCt i3 3、电感、电感 L

18、 L 并并联联模模型型串串联联模模型型)0 () () () () (i LsI s LsUdtt i dLt u)0(1)(1)(issUsLsIL)(ti)(tusL)(sI)(sU)0(iL)(sI)(sUsi)0(sL复频域复频域感抗感抗)0 ()()() () (i LsI s LsUdtt i dLtu三、电路定理的三、电路定理的S S域形式域形式1、 KCL的复频域形式 时域形式的KCL方程为：对上式进行拉普拉斯变换： nktinkk.2 , 1,0)(100 )(11nkknkksIti）（即得：说明了电路中任一节点的所有流入（流出）的电流像函数的代数和等于零。 2、 KVL的

19、复频域形式 时域形式的KVL方程为： 对上式进行拉普拉斯变换： 00 )(11nkknkksUtu）（即得：nktunkk.2 , 1,0)(1说明了任一回路中所有支路电压降（升）像函数的代数和等于零 。 四、 线性系统的S域分析方法 一般步骤如下： (1) 求iL(0-)和uC(0-)；(2) 求电源的拉普拉斯变换；(3) 画出电路的复频域电路模型；(4) 应用节点法、网孔法、及电路的各种等效变换、电路定理等，对复频域电路模型列写KCL，KVL方程组，并求解此方程组；(5) 对所求得解的像函数进行拉普拉斯逆变换。例例4.3.24.3.2 如图(a)所示电路， ，求全响应u2(t)。，VuAt

20、uetit41)0()()(222，10)0(Ri，Attuti)()(1FCHL11，+-1(a)C1F1+-RRR1L1H)(1ti)(2tu)(ti)(2ti解：该电路的s域电路模型如图 (b)所示。 故可列出节点方程为： 节点1： 2111121ssUsUs节点2： 411)()() 11(212SSUSUs联立求解并化简，即得：)2() 1(84)2)(4)(12()(22322sssssssSU故得： 2111891145121222sssssU根据拉普拉斯逆变换得： 根据拉普拉斯逆变换得：p1=0时， K111/2， K120；p2=1时，K219/8，K225/4；p3=-2时

21、， K31 例例4.3.34.3.3 如图 (a)所示电路， uC(t)为响应。(1) 求单位冲激响应h(t)；(2) 求电路的初始状态i(0-),uC(0-) ，以使电路的零输入响应uCzi(t)=h(t); (3) 求电路的初始状态i(0-),uC(0-) ，以使电路对u(t)的全响应uC(t)仍为u(t)。)(tf+-2+-1 F)(tUC(a )(ti1 H解：(1) 该电路在单位冲激(t)激励下的s域电路模型如图 (b)所示，其中H(s)=Lh(t)， L(t) =1。故得： 22111211121sssssssH+-+-)(sUC(b)(sI1ss1经拉普拉斯反变换得：(2) 在零

22、输入条件下电路的s域模型如图 (c)所示。故得CziUCzi(S) sHUCx依题意要求，应使 1211200222ssssiusc即： 10020iusucc故得 ： 故有： 100200iusucc00cu Ai10解得 ： Czi+-2+-)(sUC(d)0(iss1+-suC)0(+-ssF1)( 120021221120021210111201012222ssiusssssssiussssussssusissUccccc tUtf(3) 当激励时， ，其s域电路模型如图 (d)所示。故得 120021221120021210111201012222ssiusssssssiussssu

23、ssssusissUccccc 120021221120021210111201012222ssiusssssssiussssussssusissUccccc按题意要求，应使 ssUC1即 sssiusssssc112002122122 01200212222ssiussssc2002siusc即 20020siusucc即 20020iussucc故有 Vuc1000i故得4 44 4 连续时间系统的连续时间系统的S S域分析域分析 一、系统函数1、定义： )()()(tethtrZS)()()(sEsHsRZS故有： )()()(sEsRsHZSH(s)称为复频域系统函数，简称系统函数。

24、H(s)与系统的激励和响应无关,只与系统本身的结构与元件参数有关,充分、完整地描述了系统本身的特性。 e(t)rzs(t)2、系统函数的一般表达式 由于t0时e(t)=0: )()(.)()()()(.)()(011)1(1)(011)1(1)(tebdttdebdttedbdttedbtradttdradttrdadttrdammmmmmZSZSnZSnnnZSnn0)0(.)0( )0()1(meee0)0(.)0( )0()1(nzszszsrrr注意：注意：1、H(s)独立于输入，仅由系统特性决定；独立于输入，仅由系统特性决定； 2、系统函数是在零状态条件下得到的；、系统函数是在零状态

25、条件下得到的； 3、线性时不变系统的、线性时不变系统的H(s)是是s的有理函数。的有理函数。)().()().(01110111sEbsbsbsbsRasasasammmmZSnnnn对式两边取拉氏变换得：)().().()(01110111sEasasasabsbsbsbsRnnnnmmmmZS).().()()()(01110111asasasabsbsbsbsEsRsHnnnnmmmmZS3、系统函数H(S)的求法（2）根据s域电路模型，按定义式求系统响应与激励 的像函数之比，即得H(s)。（3）对零状态系统的微分方程进行拉普拉斯变换， 再按定义式求。（4）根据系统的模拟图求H(s) 。

26、（5）由系统的信号流图，根据梅森公式求H(s) 。（1）由系统的单位冲激响应h(t)求H(s)。例例4.4.14.4.1已知)()(2)(3)(22txtydttdydttyd求H(s)。解法一：对微分方程两边取拉氏变换得：)()()23(2sXsYss)23(1)()()(2sssXsYsH例例4.4.24.4.2图示电路，开关图示电路，开关S在在t = 0时刻闭合，以时刻闭合，以v2(t)作为响应，作为响应，输入信号输入信号),()(tuEetxt（1）求冲激响应）求冲激响应h(t)；(2）求输出电压）求输出电压v2(t)；)(txSC2R1R)(2tv解法二：先求系统的冲激响应2( )(

27、) ( )tth teeu t2312111)(2sssssH则则其中：CRRRRCRK21211,1（2）tdtxhtxthtv02)()()()()()0( )ttKeEedu t)()()(1tuKesHtht解解:（1）sKsCRRsCRsXsVsH2122/11/11)()()(或：2( )( )( )()()11KEV sH s X sssKEss)()()()(2tueeKEtvtt)()()()(2tueeKEtvtt(1) 零点与极点的概念二、系统函数零、极点分布与时域响应特性二、系统函数零、极点分布与时域响应特性极点也称为系统的自然频率或固有频率 1210121()()()

28、()()( )()()()()()mimiminnrnrrszbszszszszH sHa spspspspsp 零点：当s=Zi时，即有H(s)=0，称Zi为系统函数的零点，且就是分子多项式的根； 极点：当s=Pr时，即有H(s) ，故称Pr为H(s)的极点，且就是分母多项式的根。 )2)(2() 1()1)(1() 4() 1( 1) 1()(2222jsjssjsjsssssssH- jj)2)(2( ) 1()1)(1() 4( ) 1( 1) 1() (2222jsjssjsjsssssssH例例4.4.34.4.3作H(s)的零、极点图解：极点零点一阶极点（a）极点位于s平面坐标原

29、点，如1( )( )( )H sh tu ts（b）若极点位于s平面实轴上，如1( )( )( )atH sh teu tsa(1)(1) 零、极点分布与时域响应特性零、极点分布与时域响应特性111( )innp tiiiiiKh tK esp11( )( )nniiiiiKH sH ssp11（c）虚轴上的共轭极点给出等幅振荡，如22( )( )sin( )H sh ttu ts（d）左半s平面内共轭极点对，如22( )( )sin( ) (0)()atH sh tetu tasa22( )( )sin( ) (0)()atH sh tetu tasa（e）右半s平面内共轭极点对，如二阶极点

30、二阶极点（a）s平面坐标原点的二阶极点，如21( )( )( )H sh ttu ts（b）负实轴上的二阶极点21( )( )( )(0)()a tH sh tteu tasa（c）虚轴上的二阶共轭极点，如22 22( )( )sin( )()sH sh ttt u ts极点：左半s平面h(t)衰减右半s平面h(t)增长虚轴上一阶极点h(t) 等幅振荡或阶跃二阶极点h(t) 呈增长形式H(s)H(s)零点的位置对系统特性的影响零点的位置对系统特性的影响例例4.4.44.4.4 分别画出下列各系统函数的零、极点分布及冲激响应h(t)的波形。22( )(1)2sH ss（2 2）222(1)( )

31、(1)2sH ss （3 3）221( )(1)2sH ss（1 1）解：解：所给三个系统函数的极点均相同，即均为 但零点是各不相同的。 112pj *2112pjp 1221( )cos2( )(1)2tsh tLetU ts(1)0j12j2j010j12j2j0t( )h tt( )h t0j12j2j(2)( )h tt(a)(b)(c)(1)11222222112( )(1)2(1)22 (1)2ssh tLLsss（2）11cos2( )sin2( )(cos2sin2 ) ( )22tttetU tetU tett U t5cos(226.57 ) ( )2tetU t0j12j

32、2j010j12j2j0t( )h tt( )h t0j12j2j(2)( )h tt(a)(b)(c )(1)2112222(1)2( )12(1)2(1)2sh tLLss（3）( )2sin2( )( )2cos(290 ) ( )tttetU ttetU t0j12j2j010j12j2j0t( )h tt( )h t0j12j2j(2)( )h tt(a)(b)(c)(1)结论： H(s)的零点分布只影响波形的幅度和相位，不影响的时域波形模式； 但H(s)零点阶次的变化，则不仅影响的波形幅度和相位，还可能使其波形中出现冲激函数(t)。 4.5 由系统函数极点分布决定频响特性tEtem

33、0sin)(相位随频率变化幅度随频率变化 一、频响特性 系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化情况。 1、激励信号:正弦信号2、求系统的稳态响应，即t剩下的响应。3、分析稳态响应随信号频率 变化情况 二、正弦稳态响应 0Re)()(sin)(10PipssAsHtEteniim稳态响应已知：)(trss求：niimpssAsEsEsHsR1220)()()()(解：) 1 (22110000nnjjpskpskpskjskjsk000)()()()(22000jsmjsjsHsEjssRjsk022)(0000jmmHejEjjHE000)()()()(22000jsmjsjsHsEj

34、ssRjsk022)(0000jmmHejEjjHE nnjjmpskpskjsejsejHE11000002) 1 (tpntptjjtjjmnekekeeeejHEtr10000102)()sin(2)(00000000tHEeeeejHEtrmtjjtjjmss0结论：在频率为的正弦信号激励之下，系统稳态响应仍为同频率的正弦信号，但幅度乘以系数H0，相位移动0000)()(jjseHjHsH)()()()(jjsejHjHsH)(分析：当信号频率的改变时，可得到稳态响应的频率响应特性。 结论： 分析系统的频响特性转化为求系统函数的模和幅角参变化情况。 不用求正弦稳态响应，而只需求系统函数

35、即可。H|(j)|：幅频响应特性：相频响应特性几种常见的滤波器niimjjpszsksH11)()()()(11)()()()()(jniimjjjsejHpjzjksHjH二、频响特性曲线：S平面几何分析法 分析方法：根据系统函数H(s)在S平面零极点分布 频率响应特性表达式：j的一个矢量 N1模，幅角)(, )(jH 下面求的形式jz引向虚轴上某点jzj相当于由零点分子中任一因子对于任意零点Zj，极点Pi相应的系数因子（矢量）ijjjeNzjijiieMpj可表示为12121212()mnjjjmjjjnN eN eN eH jkM eM eM e于是j111N1M1分母中任一因子 (j-

36、Pi)相当于由极点i引向虚轴上某点j的一个矢量 M1模，幅角 当沿虚轴移动时，各复数因子的模和幅角都随之改变于是得到幅频，相频特性曲线，这种方法为S平面几何分析法。 12121212mnjmnN NNkeM MMnmMMMNNNkjH2121)(1212( )mn 三、一阶系统系统函数H(s)只有一个极点，零点任意系统只有一个储能元件）1111)()()(psksHpssksHpszksH例4.5.1电路如图，分析网络频响特性解：求系统函数H(s)画零极分布图 RCssscRRsvsvsH11)()()(121MRCjjsH1)(jjjevveMeNjH121111)(频响特性表达式 作矢量图

37、11j1N1M00101111MNNRCM当0111190900 分析当从沿虚轴向增长时，H(j)如何随之改变 212111111MNRCMRCNRC当011010145904511111MNMN当011010109090 结论：高通滤波器 零点频率开始上升，极点频率开始下降。RC1C112VV090RC1 )()()(2121pspszszsksH)()(211pspszsksH)(1)(21pspsksH三、二阶系统1、含有两个电容或两个电感（物理特性）系统函数： 由于零点数目，以及零点，极点位置不同分别成低通，高通，带通，带阻滤波器例4.5.2如图所示，二阶RC系统的频响特性，kv1是受

38、控电压源，且R1C1R2C2 SCsvRsvsv13311)()()()(1)(1)(1)()(32223222222132svRSCRksvSCRsCkRRsvSCskvsv)(11)(11113svSCRSCsv 解：求系统函数)()()(12svsvsH2211111211)()()(CRSCRSSCRksvsvsH22111111)(CRjCRjjCRkjH)(21111211jeMMNCRk 0分析：当0111222111NCRMCRM0)(11211CRkMMNjH01219000021190)( （较低）当221CR, 011111CRM的零极点1111221,CRNM几乎不随频

39、率而变，网络特性主要由 决定，与一阶高通系统相同 1111CR221CR1M2M21N1j（较高）当111CR0121290,NM中间当112211CRCR011111CRM0121290,NMkjCRjCRkjHCRCR1111111)(1122 也可认为不随而改变，网络特性主要与一阶RC低通系统一致。 111CR221CR|H(j)|21)(221CR111CR900-9004.6全通函数和最小相移函数一、全通函数 1、定义： 系统函数的极点位于左半平面，零点位 于右半平面，且对于j轴互为镜像，这 种系统函数称为称为全通函数， 系统则称为全通系统。 2、特性：|H(j)|=K相频特性不受约

40、束即全通网络 可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特 性，只改变相伴频谱特性。在传输系统中 常用来进行相伴校正。21RC)()()(12svsvsH例4.6.1如图格形网络参数间满足写出网络传输函数判别是否为全通网络。zzzzz21212)(12112svzzzz)()(1212svzzzsva解：应用戴维宁定理，等效电阻为：等效电源为：)()(1211svzzzsvb2112121122)()()()(zzzzsvzzzzsvsvsvba)(2)(1211221212svzzzzzzzzRRsv212112212121121222)()()(zzRzzRzzzzzzRRzzzzsvsvsH12

41、1221211221211222zzzzzzzzzzzzzzzzLRSLRSSLRSLRzRzRzRz11122SLz 1scz12221Rzz 零极点分布成镜像，因此是全通。二、最小相移网络 1、定义：零点仅位于在左半开平面或虚轴上的转移函数称最小相移函数系统函数在右半平面有一个或多个零点称非最小相移函数)()()()()(21212121pjpjzjzjkpspszszskjH)(21212121jeMMNNk两种情况矢量长度对应相等幅频特性相同。 2、非最小相移函数总可以化成最 小相移函数与全 通函数的乘积 证明：设非最小相移函数H(s)在右半平面的 零点位于Z1,2=j2121)(绝对

42、值较小具有较小的相移 21,、2121)(绝对值较大具有较大的相移 21,、b)()()()()()()()(2122212121pspsskpspsjsjskpspszszsksH)()()()()()()(21jsjsjsjspspsjsjsk )()()()(minjsjsjsjssH4.7 线性系统的稳定性一、 稳定系统1、定义 系统稳定的条件:Mdtth)(M：有限正数或： 且lim ( )0,th ttth0)( 对于有界激励信号e(t)产生零状态响应rzs(t)也是有界的系统称为稳定系统。即：对于 则 其中， 均为有限正数。eMte)(rzsMtr)(reMM ,h(t)衰减 稳

43、定系统（极点在左半s平面）h(t)增长 非稳定系统（极点在右半s平面）如果在虚轴上一阶：阶跃或等幅振荡（临界稳定） 二阶：以上不稳定系统2、系统稳定性的判定若满足 则系统是稳定的 lim ( )0th t时域中：若满足 有限值，则系统是临界稳定的 lim ( )th t若满足 ，则系统是不稳定的 lim ( )th t 在s域中 （1）从H(s)的极点即D(s)=0的根分布来判定 H(s)的全部极点在左半s平面-稳定系统 H(s)有极点在右半s平面，或在虚轴上具有二阶或二阶以上的极点-不稳定系统 H(s)有一阶极点在s平面的虚轴上，其它极点都在左半s平面-临界稳定系统（2）用罗斯准则判定 多项

44、式D(s)的各项系数均为大于零的实常数；多项式中无缺项(即s的幂从n到0，一项也不缺)。这是系统为稳定的必要条件。 011n1nnnasasasasD设 则罗斯阵列的排列规则如下(共有n+1行)： 3-n2-n1 -nns4s3s2s1行第行第行第行第5-n3-n1 -n5-n3-n1 -n5-n3-n1 -n4-n2-nncccbbbaaaaaa0s1n行第 3-n1 -n2-nn1n1na aa aa1b5-n1 -n4-nn1n3na aa aa1b3-n1 -n3-n1 -n1n1nb ba ab1c5-n1 -n5-n1 -n1n3nb ba ab1c 若所排出的阵列中第一列的(n+

45、1)个数字全部是正号，则H(s)的极点全部位于s平面的左半开平面，系统就是稳定的； 若第一列(n+1)个数字的符号不完全相同，则符号改变的次数即等于在s平面右半开平面上出现的H(s)极点的个数，系统就是不稳定的。 例例4.7.14.7.1已知H(s)的分母, 试判断系统的稳定性。 解：解：D(s)中无缺项且各项系数均为大于零的实常数，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：1232)(234sssssD0111例例4.7.24.7.2 已知试判断系统的稳定性。 120s8s2ss2s2sssH23423 第一列符号无变化，故该H(s)所描述的系统是稳定的，即H(s)的极点全部位于s

46、平面的左半开平面上。 解：解：D(s)中无缺项且各项系数均为大于零的实常数，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：002020221220212s01212012282201s0202s181s123400210210212121102s0可见阵列中的第一列数字符号有两次变化，即从+2变为-2，又从-2变为+21。故H(s)的极点中有两个极点位于s平面的右半开平面上，故该系统是不稳定的。 例例4.7.34.7.3 如如图所示系统。试分析反馈系数K对系统稳定性的影响。 解： sKYsYsF1ss1ss10sKYsX1ss1ss10sKYsX1ss10sX1ss10sY321 sKY

47、sYsF1ss1ss10sKYsX1ss1ss10sKYsX1ss10sX1ss10sY321+1解得： 10s1K10ss1s10sFsYsH23故应有K-1罗斯阵列： 010s010Ks101s1K101s0123必须有10K0,即K0 若取K=0，则阵列中第三行的元素即全为0，此时系统即变为临界稳定(等幅振荡) edstBFsf tt一、定义4.8 双边拉氏变换关系优点：全时域信号收敛带则 :0则 :0双边拉氏变换存在 双边拉氏变换不存在 所以二、收敛域解：（1）确定收敛域收敛域10 所以所以（2）求双边拉氏变换注：不同的函数在各不相同的收敛条件下可能得到同样的拉氏变换。解：4.9 傅里

48、叶变换和拉氏变换关系dtetfFdtetftjst)()()(，则若 若f(t)不满足绝对可积条件，则傅里叶变换有可能不存在，为使更多函数的傅里叶变换存在则f(t)e-t当满足一定条件时f(t)e-t衰减，因此拉氏变换存在。)()(tuetfatassF1)(a)(tf)()(jFsFjs)()(tuetfatassF1)(aajjF1)(jssFjF)()(分析：1、f(t)增长函数 的傅里叶变换不存在.2、f(t)衰减函数 此时的系统稳定此时不能由求傅里叶变换)()(tutfssF1)(0)(1)(jjFjssFjF)()( 3、f(t)阶跃或振荡 此时的系统不稳定4.10 系统的信号流图

49、与梅森公式 由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。 sH sF sY a sH sF sY b一、信号流图的定义三种运算器的信号流图表示: 积分器： 加法器：数乘器：例例4.10.14.10.1将下图所示系统的方框图转化成信号流图。 信号流图的优点是：(1) 简明、清晰，而且图也易画；(2) 信号流图也是求系统函数H(s)的有力工具。亦即根据信号流图，利用梅森(Mason)公式，可以很容易地求得系统的系统函数H(s)。 二、信号流图的性质 （1）信号只能沿支路箭头方向传输，支路的输出是该支路输入与支路增益的乘积。 （2）当节点有几个输入

50、时，节点将所有输入支路的信号相加，并将其和传送给与该节点相连的输出节点。（3）具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个单位传输增益的支路，可以将它变成输出节点。 （4）给定系统，信号流图并不惟一。 （5）流图转置以后，其转移函数保持不变。三、信号流图的名词术语（1）节点表示系统变量(即信号)的点，如图中的点F(s), s X(s), sX(s), X(s), Y(s) 。该图中共有5个变量，故共有5个节点。 2 2激励节点：代表系统激励信号的节点，F(s)。激励节点也称源点，或输入节点。响应节点：代表所求响应变量的节点，Y(s)。也称为阱点或输出节点可从响应节点上再增加引出一条传输函数为1的

51、有向支路，如图中最右边的虚线条所示。混合节点：若在一个节点上既有输入支路，又有输出支路，则这样的节点即为混合节点。（2）支路连接两个节点之间的有向线段(或线条)称为支路。 （3）传输函数：两个节点之间的增益（4）通路从任一节点出发，沿支路箭头方向，通过各相连支路，从一个支路到另一个支路的途径称为通路。 （5）环路 通路的起始节点就是通路的终止节点，且除起始节点外，该通路与其余节点相遇的次数不多于1，则这样的通路称为闭合通路或称环路。 环路也称回路。 如图共有两个环路： sXsasXsssXssXs ;sXsasssXs201122112 sXsasXsssXssXs ;sXsasssXs201

52、122112（6） 开通路：与任一节点相遇的次数不多于1的通路称为开通路，它的起始节点与终止节点不是同一节点。（7） 前向开通路：从激励节点至响应节点的开通路，也简称前向通路。如图有三条前向通路： sYbsXs1sF22 ;sYbssXssXs1sF112 sYbsXssXssXs1sF012（8）互不接触的环路：没有公共节点的两个环路称为互不接触的环路。在图中不存在互不接触的环路。 （9）自环路：只有一个节点和一条支路的环路称为自环路，简称自环。（10）环路传输函数：环路中各支路传输函数的乘积称为环路传输函数。（11）前向开通路的传输函数：前向开通路中各支路传输函数的乘积，称为前向开通路的传

53、输函数。 4、信号流图的代数运算 例4.10.2已知 试分别用直接形式、级联形式和并联形式模拟此系统。35342)(23sssssH补充：直接形式、级联形式和并联形式直接形式、级联形式和并联形式 kiiksHAsHsHsHAsH10210)()()()()(级联形式（串联形式）：级联形式（串联形式）：解：（1）直接形式2312324( )1 353ssH ssss)(sY3)(sX1s51s1s423121( )( )( )( )( )kkiiH sCH sHsHsCH s并联形式：并联形式：) 32)(1()2(235342)(223sssssssssH（2）级联形式11122( )11sH

54、 sss12221222( )23123sssHsssss)(sY)(sX31s221s21s1222411( )(1)(23)123ssH sssssss （3）并联形式,111)(111ssssH212122321321)(ssssssssH)(sY)(sX31s1s21s11（3） 信号流图的梅森公式梅森公式：1KKKHGfedfedcbcbaaLLLLLL,1aaL- 所有不同环路的增益之和；cbcbLL,- 所有两两互不接触环路的增益乘积之和；fedfedLLL,- 所有三个都互不接触环路的增益乘积之和；梅森公式：1KKKHGK- 由源点到结点之间的第K条前向通路的标号；KG- 由源

55、点到结点之间的第K条前向通路的增益；K- 第K条前向通路特征行列式的余因子，表示将第K条前向通路去掉以后，所剩流图的特征行列式。例4.10.3：求下图所示流图的系统函数。2G1H1G3G4H2H3H5HXYx1x2x3x4解： 求aaL111121HGLxxx环路：222232HGLxxx环路：333343HGLxxx环路：4321412341HGGGLxxxxx环路： 求求cbcbLL,只有一对两两互不接触的环路：只有一对两两互不接触的环路： 与与121xxx343xxx,313131HHGGLL即即3131,HHGGLLcbcb没有三个及三个以上都不接触的没有三个及三个以上都不接触的 环路，所以，环路，所以，31314321332211,)(11HHGGHGGGHGHGHGLLLcbcbaa)(4321332211HGGGHGHGHGLaa第一条前向通路：YxxxxX4321112