行列式1-(2+3)

1、第一章第一章 行列式行列式323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD 112233122331132132112332122133132231,(14)a a aa a aa a aa a aa a aa a a333231232221131211aaaaaaaaa第一章第一章 行列式行列式2111211221221212211121212221111121211121 (

2、16)( ,11,2, ).2-1 1 . .2ijnnnnnnnnnnai jnaana aa aaannaaaaaaa Aa Aa AaaaA 阶阶行行列列式式是是由由个个元元素素所所决决定定的的一一个个数数 当当时时，定定义义 假假设设阶阶行行列列式式已已经经定定义义，则则定定义义 阶阶行行列列式式定定义义其其中中 1(1,2, )(1,2, ).jjjnnajn是是 阶阶行行列列式式中中素素的的代代数数余余子子式式元元第一章第一章 行列式行列式二二. 排列与逆序排列与逆序定义定义1.1.3由自然数由自然数1，2，n 组成的一个有序数组成的一个有序数组称为一个组称为一个n 级级排列排列。

3、例如：例如：1，2，3，4，55，1，2，3，45，3，2，1，4都是数都是数1，2，3，4，5的一个排列。的一个排列。 注意：注意：n个数的不同全排列有个数的不同全排列有 个。个。n!自然顺序：自然顺序：按数的大小次序，由小到大排列。按数的大小次序，由小到大排列。考虑：考虑： n元排列中，自然顺序只有一种元排列中，自然顺序只有一种（标准次序）（标准次序）除此之外，任一除此之外，任一n元排列都一定出现较大数码排在较小元排列都一定出现较大数码排在较小数码之前的情况。数码之前的情况。第一章第一章 行列式行列式定义定义1.1.4：在一个排列中，若某两个数中较大的数排在较小的数在一个排列中，若某两个数

4、中较大的数排在较小的数前面，则称这两个数构成一个前面，则称这两个数构成一个逆序逆序。一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的奇排列：奇排列：逆序数为奇数的排列。逆序数为奇数的排列。偶排列：偶排列： 逆序数为偶数的排列。逆序数为偶数的排列。逆序数逆序数),(21nppp 通常记作通常记作第一章第一章 行列式行列式计算排列的逆序数的方法：计算排列的逆序数的方法： ),(21nppp 大大的的数数的的个个数数前前面面比比数数 nnpp 大大的的数数的的个个数数前前面面比比数数 11 nnpp大大的的数数的的个个数数前前面面比比数数 22pp(1) 524179

5、386;(2)(1)321.n n 例例8： 计算下列各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性：计算下列各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性：第一章第一章 行列式行列式定理定理1.1.1 n阶行列式可表示为如下的形式阶行列式可表示为如下的形式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1( 定理定理1.1.1说明说明n阶行列式是阶行列式是n!项的代数和，项的代数和，每一项是位每一项是位于不同行、不同列的于不同行、不同列的n个元素的乘积个元素的乘积，行标按从小到大行标按从小到大的自然次序排列，若列标构成的排列为偶排列，该项前的自然次序排列

6、，若列标构成的排列为偶排列，该项前面取正号；若列标构成的排列为奇排列，该项前面取负面取正号；若列标构成的排列为奇排列，该项前面取负号。号。关于公式的说明：关于公式的说明：第一章第一章 行列式行列式例例9 在六阶行列式中在六阶行列式中,项项233142561465a a a a a a142331425665a a a a a a应带什么符号？应带什么符号？解：解：对换项中元素的位置，使行标按从小到大的对换项中元素的位置，使行标按从小到大的标准次序排序，即标准次序排序，即列标所构成的排列为列标所构成的排列为431265(431265)122016 故此项在行列式展开式中应带正号故此项在行列式展开

7、式中应带正号.第一章第一章 行列式行列式例例10 确定确定212112( )21511123xxxf xxx 4x3x中中与与的系数的系数解：由于只有对角线的元素相乘才出现解：由于只有对角线的元素相乘才出现而且这一项带正号，即而且这一项带正号，即4x4112233442( 5 ) 330a a a ax xxxx 所以所以 的系数为的系数为-30.4x第一章第一章 行列式行列式同理，含同理，含的项也只有一项，即的项也只有一项，即3x312213344() ( 1) ( 5 ) 315a a a axxxx (2134)1001 而列标所构成的排列的逆序数而列标所构成的排列的逆序数所以所以 的系

8、数为的系数为15.3x 定理中虽然给出了定理中虽然给出了n阶行列式的完全表达式，阶行列式的完全表达式，但在具体应用定理解决问题是比较困难但在具体应用定理解决问题是比较困难.第一章第一章 行列式行列式三、小结三、小结 思考题思考题二、应用举例二、应用举例一、行列式的性质一、行列式的性质1.2 n阶行列式的性质阶行列式的性质第一章第一章 行列式行列式一、行列式的性质一、行列式的性质 利用行列式的定义计算特殊类型的行列式利用行列式的定义计算特殊类型的行列式比较简单，但对一般的行列式，特别是高阶行比较简单，但对一般的行列式，特别是高阶行列式，计算量相当大列式，计算量相当大.为简化行列式的计算，下为简化

9、行列式的计算，下面我们来讨论行列式的性质面我们来讨论行列式的性质.首先介绍一个重要首先介绍一个重要的定理的定理. 由上节由上节n阶行列式的定义式可知，阶行列式的定义式可知，n阶行列式阶行列式可表示为第一行的元素与其对应的代数余子式的可表示为第一行的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，因此，行列式按第一行的展开式，事乘积之和，因此，行列式按第一行的展开式，事实上，行列式可按任意一行（列）展开实上，行列式可按任意一行（列）展开.第一章第一章 行列式行列式定理定理1.2.1 n阶行列式等于它的任意一行阶行列式等于它的任意一行(列列)的元素的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即与其对应的代数余子式的

10、乘积之和，即1122. (1,2, )iiiiininDa Aa Aa Ain1122. (1,2, )jjjjnjnjDa Aa Aa Ajn 或或ijaija零，那么行列式就等于零，那么行列式就等于推论推论 如果如果n阶行列式中的阶行列式中的i行所有元素除行所有元素除外都为外都为与其对应的代数余子式与其对应的代数余子式的乘积，即的乘积，即ijijDa A 第一章第一章 行列式行列式设设n阶行列式阶行列式nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112D nnaaa2211若把若把D中每一行元素换成同序数的列元素，则的新中每一行元素换成同序数的列

11、元素，则的新行列式行列式().TDDD 行行列列式式或或称称为为转转置置列列式式 的的行行列列式式行行第一章第一章 行列式行列式 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.证：证： 用数学归纳法用数学归纳法.1112112121221222 aaaaaaaa 当当n=2时，时，结论成立，结论成立.1112121212111111( 1).( 1).njjijjjjnnjjjnnjnjnnDaMaaaaaaaaa 假设对假设对n-1阶行列式结论成立阶行列式结论成立.对对n阶行列式阶行列式D和和 ，分别按第一行和第一列展开，得分别按第一行和第一列展开，得D DD 第一章第一章 行列式行

12、列式2111211111111121112.( 1)( 1).innnjijnjjjjijjjjjijnjninnnaaaaaaDaMaaaaaaa ijMijM ijMijijMM ijM 由于由于和和是是n-1阶行列式，且阶行列式，且是是的转置的转置，于是，于是行列式，根据假设行列式，根据假设DD 说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.第一章第一章 行列式行列式例如，上三角行列式例如，上三角行列式11121222.0.00.nnnnaaaaaDa 111222112212

13、0.0.0.nnnnnnaaaDDa aaaaa 由定理由定理1.2.1即得即得第一章第一章 行列式行列式证：证： 用数学归纳法用数学归纳法.1112122221221121 aaaaaaaa 当当n=2时，时，结论成立，结论成立.假设对假设对n-1阶行列式结论成立阶行列式结论成立.对对n阶行列式阶行列式D 互换行列式的两行（列），行列式变号互换行列式的两行（列），行列式变号.1112112ln1212.nllsssnnnnnaaaaaaDaaaaaa 第一章第一章 行列式行列式互换互换D中的第中的第s行和第行和第l行，得行，得 1112112112ln12.nsssnllnnnnaaaaaa

14、Daaaaaa 第一章第一章 行列式行列式1(, ),DDiis l 分分别别将将 和和按按第第 行行展展开开得得111( 1),( 1)nnijijijijijijjjDaMDaN 11-1.ijijijijijijijMNDDaNMnMNDD 其其中中和和分分别别是是 和和中中元元素素的的余余子子式式，并并且且是是由由互互换换两两行行得得到到的的阶阶行行列列式式，由由归归纳纳假假设设，因因此此,.iiijijriciijrrijcc 通通常常以以 表表示示行行列列式式的的第第 行行, ,以以 表表示示行行列列式式的的第第 列列, ,交交换换 ， 两两行行记记作作而而交交换换 ， 两两列列记

15、记作作第一章第一章 行列式行列式例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.,571571 266853.825825 361567567361266853证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D第一章第一章 行列式行列式nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数k，等于用数，等于用数k乘此行列式乘此行列式.证略证略第一章第一章 行列式行列式推论推论

16、3若行列式中有两行（列）元素成比例，若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零推论推论2若行列式中有一行（列）元素全为零，若行列式中有一行（列）元素全为零，则此行列式为零则此行列式为零行列式的某一行（列）中所有元素的公行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面因子可以提到行列式符号的外面第一章第一章 行列式行列式性质性质4()(1,2, ,1)ijijijijijijabcabcjnin 若若行行列列式式中中某某一一行行 列列 的的元元素素都都可可以以分分解解为为两两元元素素与与之之和和，即即，则则该该行行列列式式可可分分解解为为相相应应的的两两个个行行

17、列列式式之之和和，即即11121112212.niiiiininnnnnaaabcbcbcDaaa 第一章第一章 行列式行列式111211112112121212.nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaabbbcccaaaaaa证：证： 将将D按第按第i行展开行展开 12111()nnnijijijijijijijjjjDbcAb Ac ADD第一章第一章 行列式行列式性质性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变 k11121121212.niiinjj

18、jnnnnnaaaaaaDaaaaaa 1112111221212.nijijinjnjjjnnnnnaaaakaakaakaaaaaaa 第一章第一章 行列式行列式证证:由性质由性质4得得1112111221212.nijijinjnjjjnnnnnaaaakaakaakaaaaaaa 1 11 211 11 21121212121212.nnjjjniiinjjjnjjjnnnn nnnn naaaaaak ak ak aaaaaaaaaaaaaaaa 第一章第一章 行列式行列式 上式右边第一个行列式为上式右边第一个行列式为D，第二个行列式两行成比，第二个行列式两行成比例，由推论例，由推论

19、3知行列式为零，因此右边等于知行列式为零，因此右边等于D.()ijijrkr ckc 性质性质5是简化行列式的基本方法是简化行列式的基本方法,若用数若用数k乘第乘第j行行(列列)加到第加到第i行行(列列)上，简记为上，简记为定理定理1.2.2 行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即11220 ()ijijinjna Aa Aa Aij 或或11220 ()ijjjnjnja Aa Aa Aij 第一章第一章 行列式行列式1 11 21121212.niiinjjjnnnn

20、naaaaaaDaaaaaa 证：证： 设设将将D按第按第j行展开，有行展开，有 1122jjjjjnjnDa Aa Aa A (1,2, ),20ikjkaaknijD 在在上上式式中中以以代代换换当当时时，则则由由性性质质 推推论论知知，于于是是第一章第一章 行列式行列式11220 ()ijijinjna Aa Aa Aij同理可证同理可证11220 ()ijijninja Aa Aa Aij1nikjkijka AD 1nkikjijka AD 1, ( ,1,2, )0,ijiji jnij 综合定理综合定理1.2.1和定理和定理1.2.2，对于代数余子式有如下重，对于代数余子式有如下

21、重要结论要结论或或其中其中第一章第一章 行列式行列式练习练习(1)11121314414243442135423111127492(1)2(2)DAAAAAAAA 设设 ，求求，11121314(1)20AAAA414243444142434444(2)2AAAAAAAAA 44213423111A 3 第一章第一章 行列式行列式练习练习(2): 已知五阶行列式第一行元素分别为已知五阶行列式第一行元素分别为 - -1,1,3,x,4，第二行元素的代数余子式分别为，第二行元素的代数余子式分别为 3,4,2,5,7，求，求x.解解:( 1) 31 43 254 70 x 由由，: 7x 解解得得第

22、一章第一章 行列式行列式 (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立同样成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的5个性质个性质第一章第一章 行列式行列式思考题思考题阶行列式阶行列式计算计算411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已知已知第一章第一章 行列式行列式思考题解答思考题解

23、答解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa 第一章第一章 行列式行列式dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 第一章第一章 行列式行列式1.3 n阶行列式的计算阶行列式的计算 本节将简单介绍利用行列式按行（列）展开的本节将简单介绍利用行列式按行（列）展开的定理和行列式的性质计算行列式的方法定理和行列式的性质计算行列式的方法,主要涉及主要涉及的方法有如下几种。的方法有如下几种。1. 化行列式为特殊类型的行列式化行列式为特殊类型的行

24、列式3. 拆行拆列法拆行拆列法2. 降阶法降阶法4. 升阶法（加边法）升阶法（加边法）第一章第一章 行列式行列式5. 递推法递推法6. 利用数学归纳法利用数学归纳法下面分别通过相应的例子来阐述上述几种方法。下面分别通过相应的例子来阐述上述几种方法。第一章第一章 行列式行列式例例1 计算计算4131265312103524 131210265341313524rrD 2131412431210023307710154rrrrrr 解：解：第一章第一章 行列式行列式241210015407710233rr 324272121001540028290075rrrr 34121001540075002

25、829rr 4341210015400750009rr 1 ( 1) ( 7) ( 9)63 第一章第一章 行列式行列式 注意：注意：例例1是是利用行列式的性质利用行列式的性质2、5将行列式主对将行列式主对角线下方的元素全化为零（即化为上三角行列式）角线下方的元素全化为零（即化为上三角行列式）行列式的值为主对角线上元素的连乘积行列式的值为主对角线上元素的连乘积.由于化简过由于化简过程具有程序化，因此工程技术上，常用计算机程序程具有程序化，因此工程技术上，常用计算机程序计算高阶行列式的值计算高阶行列式的值.例例2 设多项式设多项式2211231223( )23152319xf xx 试求试求f(

26、x)的根的根.第一章第一章 行列式行列式解解 (方法一方法一)213141223210001100( )21312133ccccccxf xx 4312321000110021302134ccxx 223(1)(4)xx 求得求得f(x)=0的根为的根为x1=-1，x2=1，x3=-2，x4=2第一章第一章 行列式行列式(方法二）方法二）有性质有性质2推论推论3知，当知，当2- -x2=1或或9- -x2=5时，时，f(x)=0.故故x1=- -1，x2=1，x3=- -2，x4=2为为f(x)=0的根的根.由于由于f(x)为为x的的4次多项式，因此次多项式，因此f(x)=0只有只有4个根个根

27、. 例例3 计算计算 n 阶行列式阶行列式abbbbabbbbabbbbaD 第一章第一章 行列式行列式 1111anbbbbanbabbDanbbabanbbba 解：将第解：将第2,3,，n列都加到第列都加到第1列得列得 abbbabbbabbbbna1111) 1( 第一章第一章 行列式行列式 babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna注意：行列式的每一行的注意：行列式的每一行的n个元素之和相等时常用个元素之和相等时常用此法此法. 例如下面的行列式例如下面的行列式mxxxxmxxxxmxDnnn 212121第一章第一章 行列式行列式例例4 计算行列式计算行

28、列式2324323631063abcdaababcabcdDaababcabcdaababcabcd 433221002320363rrrrrrabcdaababcDaababcaababc 解：解：2、降阶法、降阶法第一章第一章 行列式行列式232363aababca aababcaababc32210203rrrraababcaaabaab 2423aabaaaab 第一章第一章 行列式行列式例例5:计算行列式计算行列式1210011121323121 D解：解：2121213011411100121rrD 311213011403030121rr 第一章第一章 行列式行列式1143031

29、21 31113300120cc 1331820 注意：注意：以上例子都是首先以上例子都是首先通过性质通过性质5将行列式某将行列式某一行（列）只保存一个非零元素，然后利用第二一行（列）只保存一个非零元素，然后利用第二节定理节定理1.2.1推论，降阶计算行列式的值，这是计推论，降阶计算行列式的值，这是计算行列式常用的方法之一算行列式常用的方法之一. 第一章第一章 行列式行列式3、拆行拆列法、拆行拆列法3101121xyz ，111413111xyzD 求求例例6 设设解：解：111413413111111xyzD 第一章第一章 行列式行列式413111xyz 23302111rrxyz 3101

30、21xyz 1 第一章第一章 行列式行列式例例7：计算行列式：计算行列式yyxxD 1111111111111111解：解：由性质由性质1.2.4可得到可得到yyxxyyxD 1110111011101111111111111111111第一章第一章 行列式行列式yyxxyyx 1111111110000000001111 yyxyyxxy111111111111111112 yyxyyxxy11110000111222yx 第一章第一章 行列式行列式例例8：计算行列式：计算行列式aaaaaaaaaD 1100011000110001100015分析：按照第一列展开，得到递推公式分析：按照第一

31、列展开，得到递推公式54323451)1 (11aaaaaaDaaDD第一章第一章 行列式行列式作业：作业：vP30： 5,6,8,9. (1) (3) (5)第一章第一章 行列式行列式4、加边法、加边法即在行列式的前面和上方加上一行和一列变成即在行列式的前面和上方加上一行和一列变成一个一个n+1阶行列式，以便于更容易观察行列式阶行列式，以便于更容易观察行列式的元素分布规律，从而套用行列式的性质达到的元素分布规律，从而套用行列式的性质达到化简运算的目的。化简运算的目的。例例9：计算行列式：计算行列式nnaaaD 11111111121第一章第一章 行列式行列式mxxxxmxxxxmxDnnnn 212121例例10：计算行列式：计算行列式第一章第一章 行列式行列式20.00.00.00.0.00.0000.00.0.00.00.00.0nabababDcdcdcd 例例11 计算计算5、递推法、递推法第一章第一章 行列式行列式2nD解：解： 将将按第一行展开按第一行展开20.00.0.00.0000.00.0.00.000.00.0nababDacdcdd 210.00.0.00.00( 1)00.00.0.00.000.00.00nababbcdcc 第一章第一章 行列式行列式21 21211 212222( 1)( 1)( 1)nnnnnnadDb