第九章曲线积分与曲面积分【高等数学】

1、第九章曲线积分与曲面积分一、内容分析及教学建议线面积分也是由实际问题的需要而产生的，是多元函数积分学的一个重要组成部分，内容多，难度大。（一）线积分1、可从曲线构件质量和变力沿曲线作功引入第I类和第n线积分，教学上注意比较两者以及和定积分联系及区别；2、对于线积分的计算公式的证明，可按教材的方法却通过连续函数的可积性及积分值与分法及取法无关之方法证明，这样可避开用一致连续性概念；3、重点可放在恰当地选取参数及第I、第n类线积分上下限确定的原则及区别;4、第I类线积分对称性时常用到，第n类线积分对称性相对复杂，用的不多。结论1：设曲线L关于y轴对称，则L f (x, y)ds =02 l f (

2、x, y)ds（f （x, y）关于x是奇函数）（f （x, y）关于x是偶函数）其中Li为L关于x至0那段曲线结论1：设曲线L关于x轴对称，则0（ f （x, y）关于y是奇函数）1（ ,'）|2 Jl f （x, y）ds （ f （x, y）关于 y是偶函数）其中Li是L在y A 0那段曲线。（二）格林公式及其应用1、要讲透格林公式的推导、 意义和作用，从而建立平面线积分与路径无关的各种等价条件;2、当计算曲线积分 fLPdx +Qdy时，如果积分路径比较复杂，不宜采用直接公式计算时, 则可转化为利用格林公式来进行计算，教学中一定要强调注意验证格林公式的条件；利用格林公式，求解第

3、n类线积分常用方法：i）直接用 （L-封闭曲线等）ii）补线 （L -非封闭曲线等）iii)当被积函数在曲线所围区域内有奇点时，用小曲线控掉奇点，再用 Green公式iv)利用积分与路径无关性计算曲线积分可通过例题讲解各种方法的使用，教学中同时要注意讲清每一种用法的适用范围，注意事项；3、 Pdx +Qdy为全微分时，求原函数 u(x, y)中要求学生理解公式，不要死记，在具体解题时应画出折线段，再分别在各段上把曲线积分化为定积分来计算。(三)曲面积分1、由曲面构件质量和流量等实例引入两类面积分概念。在性质上，可类比两类相对应的线积分；在概念上，注意相互比较以及和二重积分的比较；2、直接计算(

4、又称投影法)第I类曲面积分时，首先要考虑到向哪个坐标面投影之问 题。以下两点要让学生理解：主要取决于积分曲面方程的表达式，若要把曲面£投影到xOy平面上，则应把方程写成z= f(x, y)形式(或者说，一定要能写成这种形式，否则不能向xOy平面投影！)假若能同时向几个坐标面投影，原则上选取一个较为简单(曲面方程、投影区域积 分计算简单)的坐标面。3、第n类曲面积分是教学中一大难点，可从以下几方面来分解：i)类比第n类线积分ii)讲透有向曲面、侧的概念(必要时借助于简单教具)iii)讲清有向曲面与各个坐标面之间的投影关系iv)具体应用公式(投影法)计算第n类曲面积分时，应讲清这样的思路

5、。以“P(x, y,z)dydz为例：£a.根据积分变量y,z,将曲面工的方程化为x = x(y,z)形式；确定曲面x = x(y,z)的侧(前侧、后侧)以及在 yOz平面上的投影区域 Dyz；b.将方程 x = x( y, z)代入被积函数 P(x, y, z) = P(x(y,z), y, z)c.计算二重积分 士口 P(x(y, z), y, z dydzDyz(四)高斯公式、斯托克斯公式1 .花较少时间讲清定理的证明，较多时间放在如何应用公式上，尤其是高斯公式；2 .可类比格林公式，加深这几个公式的理解；3 .结合例题，对于常见的两种曲面情况(封闭及非封闭)，讲清高斯公式应用

6、条件及具体方法；4 .空间曲面路径无关性定理及应用，略讲或不讲；5 .通量、环流量、散度及旋度只作介绍；6 .对于斯托克斯公式，证明可略讲。如何应用？ 一般是求 p Pdx +Qdy + Rdz ,写出P 的参数方程较困难， 或者直接代入r的参数式很繁时，可考虑用斯托克斯公式， 这一点可结 合教材之典型例题讲解；n7 .至此，可以把各类积分统一定义为(f(P)d。=lim Z f(p)Aoi ,其中九是所有叼直径的最大者。补充例题:例1 .计算 I = f (x-y)dx(2 + y)dy ,其中 L是抛物线 y = 2 2x2上从点 A(-1, 0) L x y到点B(1, 0)的一段弧。解

7、:当x2+y2#0,有fQ=£P,故积分与路径无关，取新路径，上半单位圆周三x 2yC : x2 + y2 = 1, y之0顺时针方向(注意不能选 x轴一段)2y+2X01(coss - sin 二)(-sin 可 (cos 二 sin)cos )d例2 计算I = (3xy +sin x)dx + (x2 _ yey)dy ,其中L是抛物线y = x2 2x上从点O(0, 0)至U B(4, 8)一段弧解法1 ： = =2x ,三=3x的积分与路径有关，:x' ；:y记D为弧段L与直线x = 0, y =8所围区域,C(Q 8)是直线x =0与y =8的交点，则由格林公式I

8、 = (2x -3y)dxdy- BC CDD48=一 xdx 20x2 -2xdy - I (24x sin x)dx - i (-yey)dy448- cos4 - 7e8解法2:设法用积分与路径无关性求解I = (2xy sin x)dx (x2 - yey)dy，i xydxOBOB ,242二 (2xy sin x)dx (x - ye )dy，i x(x - 2x)dx OCB0=J0 ( -yey )dy + 1(16x +sin x)dx448- cos4 - 7e8设Q ( x, y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分2xydx +Q(x, y)dy与路径无关，并且对

9、任意 t恒有：(t,i)(i,t)一(00) 2xydx Q(x, y)dy = 0)2xydx + Q(x, y)dy，求 Qf解:解:例5.解:由积分与路径无关性有 9 =、(2xy) =2x ,于是Q(x, y) = x2 +c(y) , c(y)为 :xFy(t,i)i , 2i 2 i待定函数，且(0 0) 2xydx + Q(x, y)dy = f0 t +c(y)dyT +10 c(y)dy ,(i.t)t 2t0 2xydx Q(x, y)dy = (1 c(y)dy = t c(y) dy(0,0)00由题设对任意的t应有21tt .0 C(y)dy -t 0c(y)dy两边

10、对 t求导，得：2t =1 +c(t),即 c(y)=2y 1,所以 Q(x, y) = x2 +2y 1计算 I =t(y2 -z2)dx +(2z2 -x2)dy + (3x2 y2)dz,其中 L是平面 x+ y + z=2与柱面x + y =1的交线，从z轴正向看，L为逆时针方向。记s为平面x + y+ z = 2上L所围成部分上侧， D为s在xOy坐标面上投影，由斯托克斯公式得:I = (-2y -4z)dydz (-2z -6x)dzdx (-2x-2y)dxdyS11 (4x 2y 3z) ds = -2 11 (x - y 6) dxdy = -12 11 dxdy = -24

11、 sDD设质点P沿着以AB为直径的圆围，从点A(3, 4)运动到点B(1,2)的过程中，受力F的作用，F的大小等于点P到原点O之间的距离，其方向垂直于线段 OP且与yn一轴正向的夹角小于一，求变力F对质点P所作的功。2按题意，变力 F = -yi +xi ,有向弧 AB的方程是：x = 3 + v'2 cos9, n 3ni_( H 从一T)；y = 3 + <2 sin 日44变力F所作的功为=AB(-y)dx xdy= w(3 .2sinu)(_ . 2sinu) (2、, 2cosu) . 2cosu 出=2 -2二或 W = AB (-y)dx xdy=(-y)dx xd

12、y -(-y)dx xdyABAB "BABA3=- 2dxdy - ： (一x -1 x)dx = -2二 2D例 5.选择 a, b使(2ax3y3 3y2 + 5)dx +( 3x4y2 2bxy _ 4 )dy 是某一函数 u (x, y)的全微分，并求u ( x, y)。解:=12x3y2 2by , =6ax3y2 -6y ,由全微分条件=史=a =2, b = 3:xFy；x：:y卜面用三种方法求u(x, y)：方法(凑全微分法)(4x3y3 -3y2 5)dx (3x4y2 -6xy -4)dy3 3_42_2_=(4x y dx 3x y dy) (-3y dx -

13、6xydy) 15dx -4dy3443_2_2d (x ) x d( y )3y dx - xd(3y ) d (5x) - d (4y)4 32二 d(x y ) -d(3xy ) d(5x) -d(4y) = d(x4y3-3xy2 5x -4y)4 32u ( x, y ); x y -3xy 5x -4y c方法用曲线积分与路径无关性，选折线(0,0) T (x,0)T (x, y)为积分路径，则(x, 丫) 3 324 2u(x,y) = (0,0)(4x y -3y 5)dx (3x y -6xy-4)dyxy 4 2二0 5dx，i (3x y -6xy - 4)dy =5x

14、x4y3 - 3xy2 -4y c方法3不定积分法设 du = (4x3y3 _3y2 +5)dx +( 3x4y2 _6xy _4 )dy ,则-：u3 32 -：u 4 2=4x y -3y +5, =3x y - 6xy - 43 32432u (x, y) = (4x y -3y 5)dx = x y -3y x 5x (y)故 =3x4y2 -6xy+：q1,：(y) =3x4y2 -6xy -4-:y中(y) = Y,9(y) = j(W)dy = Wy+cx例7.设S为椭球面十u (x, y) = x4 y3 - 3xy2 5x - 4y c十z2 =1的上半部分(即z至0部分)

15、，点P(x, y,z)w S , n为S在点P的切平面，P(x, y,z)为点O(0,0,0)到平面下的距离，求I 二一zdSS1 ：(x,y,z)解法1 (x, y,z)为n上任意一点，则n的方程为)X+_yY+ zZ = 1从而得22：(x, y,z)=2由S的方程z =221-x -y，有；(x,y,z)=4 -22x -yzy2. 1zx 二2. 1ds = 1 zx2 zy2dxdy22,4 -x2 - y2222-x -ydxdyS在xOy面投影域Dxy为x2+y2E23=ji212 二.22D xy-y )dxdy =4 0 dL (4-r )rdr解法2 P( x, y, z)

16、如解法1,设Si为S在第一象限的部分，则由对称性I = 4 zdSS1 ：(x,y,z)由&的方程x = v2-2x2 二 3 =4 Qz(1 z )5dz 二 a ; 计算 I = J jxdydz + ydzdx+zdxdy ,其中 工 为曲面 z y2得.2 -2z2 - y2dydz,/22 ,ds = 1 xz xydydz =S1 在 yOz 面投影域 Dyz为0 W y W d'2 2z2 , 0<z<18所以I =4.一Dyz .2z(1 z2)c 22-2z - ydydz122Nz'= 40z(1 z )dz Ody2 - 2z2 - y

17、2i2=4 z(1 z )arcsin o2 - 2z2y= 2Nz2y=0dz=x2十y2在第一象部分解法1投影法（直接计算）z = x2 + y2 ,则22x y )dxdy设Dyz, Dzx, Dxy分别表示工在yOz平面、zOx平面、xOy平面的投影，相应把工的方程分别是x =z - y2 , y = %；z - x2I = xdydz ydzdx zdxdyI.i , z - y2dydz11、z-x2dxdz - 11 (DyzDzxDxyx2dz ”di 1r2 rdr- 00-J0dy j0 Jz - y2dz - (dx(解法2高斯公式此时要补上三个平面块 工1 ： y =

18、0 ,12 ： X = 0 ,工3 ： Z = 1 ,与曲面块工构成封闭夫夫曲面工，所围成的空间区域记为 夏，注意到工 取内侧，因此! 3dxdydz-0-0-Q- 1I- JjdxdyDxy二 11-3 02 dH.0rdr r2dz .dxdyDxy万卜一加丁jicos 二-2x1 4x2 4 y21cosr 1 4x2 4y2ds = 1 4x2 4y2dxdy解法3 （化为第一类曲面积分）曲面块工方程z = x2 + y2 ,得zx = 2x , zy = 2y ,从而_ 2y1 4x2 4y2I = x, y, z) cos ： ,cos ：, cos ds £=x, y,

19、x2Dxy2 .y -2x, -2y,1)dxdy=(-2x2 - 2y2 x2 y2 )dxdy = - (x2 y2 )dxdyDxyD xy-1-:d”0r rdr =%,/、2 ,例 9 计算 I = 1 axyz一(-z-a) 1xy ,其中 工:z = 7a之-x2 - y2 ,上侧 a > 0三(x2y2 z2) 2-1 ”.2 _ z = 0_一 一解： I =一axdydz + (z+a) dxdy ,补有向曲面块 工1 ：,222取下侧，则a 三x y a22211 axdydz (z a) dxdy = (z a) dxdy = - a dxdy工工x2 -y2 i

20、a2所以1 UfJ(3a+2z)dxdydz a_例10l.(3a a I02 zdz, _a.4iidxdy 二 a22 _22x y <a _z1 -二arji2 jz(a2 -z2)dz 二a31计算 I 二 一 x dydz 一J y3 dzdxdxdy ,其中f具连续导数，工为锥面x =、fy2 + z2与两球面x2 + y2 + z2 = 1 , x2 + y2 + z2 = 4所围立体C的表面取外侧。解:由高斯公式I = IK 3x2 +1 f ' 丫 j1 +3y2 +1 f, W 十 3z3 dxdydz3 1 z <zj z y lz 八 z J =3

21、in (x2 y2 z2)dxdydzQ2- 二 2=3 JdF.：d ：2 P2sin ：d；1,093 一= 6n(-cosH) 1 1 =一 (2 - <2 )几0 515补充练习-221.计算qpx ds, L为园周x2 + y2 = a2及两条坐标轴在第一象限内所围成的整个扇形边界(2ea+Eaea2)21.计算 I = (x2 y)dx +(y2 +x)dy ,其中 L为从点A(0, a),经过O(0, 0)到B(a, 0)的折线段AOB(0)为从点A(0, a)到B(a, 0)圆弧AB' - - a2 i!,23.利用格林公式计算曲线积分(2xy3 - y2 cosx)dx + (1 -2