第6讲小升初专项训练找规律篇

1、名校真题测试卷6 （找规律篇）时间：15分钟 满分5分姓名 测试成绩1 （06年清华附中考题）如果将八个数14, 30, 33, 35, 39, 75, 143, 169平均分成两组，使得这两 组数的乘积相等，那么分 组的情况是什么？2 （05年三帆中学考题）观察 1+3=4 ; 4+5=9 ; 9+7=16 ; 16+9=25 ; 25+11=36这五道算式，找出规 律，然后填写20012+ （ ） =200223 （06年西城实验考题） 一审分数：12123412345612812,.,33, 55557777779991111其中的第2000个分数是.4 （06年东城二中考题）在2、3两

2、数之间，第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8（如 下所示，每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和 .这样的过程共重 复了六次，问所有数之和是多少？ 2,7,5,8,35 （04年人大附中考题请你从01、02、03、，、98、99中选取一些数，使得对于任何由 09当中的 某些数字组成的无穷长的一申数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些 数中当中的一个。为了达到这些目的。（1请你说明：11这个数必须选出来；(2请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个;(3你能选出55个数满足要求吗？【附答案】1【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、3

3、0、169和14、39、75、143。2【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11,所以下面括号中填的数字为奇数列中的第 2001个，即4003。3【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数 2+4+6+8,88=1980<2000,这样2000个分数的分母为89,所以分数为20/89。4【解】：第一次写后和增加 5,第二次写后的和增加15,第三次写后和增加 45,第四次写后和增加135,第五次写后和增加405,它们的差依次为5、15、45、135、405,为等比数列，公比为3。它们的和为5+15+45+135+405+1215=

4、 1820,所以第六次后，和为 1820+2+3= 1825。5【解】(1, 11, 22, 33, ,9 9,这就9个数都是必选的，因为如果组成这个 无穷长数的就是19某个单一的数比如111,11,只出现11,因此11必选，同理 要求前述9个数必选。(2,比如这个数3737,37,同时出现且只出现37和37,这就要求37和73必须选出一个来(3,同37的例子,01和10必选其一，02和20必选其一，,09和90必选其一，选出9个12和21必选其一，13和31必选其一，,19和91必选其一，选出8个。23和32必选其一，24和42必选其一，,29和92必选其一，选出7个。,89和98必选其一，

5、选出1个。如果我们只选两个中的小数这样将会选出9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个。再加上1199这9个数就是54个。一、小升初考试热点及命题方向找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型 出现。在刚刚结束的06年小升初选拔考试中，人大附中，首师附中，十一学校， 西城实验，三帆，西外，东城二中和五中都涉及并考察了这一类题型。二、2007年考点预测07年的这一题型必然将继续出现，题型的出题热点在利用通项表达式（即享 母表示）总结出已知条件中等式的内在规律和联系，这一类题型主要考察学生根据 已有条件进行归纳与猜想的能力，希望同学们多加练习。1与周期相关的找规律问题【

6、例1】、（） 7n化小数后，小数点后若干位数字和为 1992,求n为多少?【解】7n化小数后，循环数字和都为 27,这样1992+27=73,21所以n=6。【例2】、（）将八个数从左到右排成-行，从第3个数开始，每个数都 恰好等于它前面两个数之和.如果第7个数与第8个数分别是81, 131,那么第1 个数是【来源】1993年小学数学奥林匹克初赛 B卷第5题【解】 第8个数=第6 个数+第7个数所以，第6个数=第8个数-第7个数=131 81=50同理，第 5个数=8150=31,第 4个数=5031=19,第 3个数：31 19=12, 第 2 个数=19- 12= 7,第 1 个数=12-

7、 7= 5.【例3】、（）某人连续打工 24天，赚得190元（日工资10元，星期六 做半天工，发半工资，星期日休息，无工资.已知他打工是从1月下旬的某一天开 始的，这个月的1号恰好是星期日.问：这人打工结束的那一天是2月几日？【来源】第五届 华杯赛”初赛第16题【解】因为3X7<24<4X7,所以24天中星期六和星期日的个数，都只能是 3或 4.又，190是10的整数倍。所以24天中的星期六的天数是偶数.再由240- 190=50（元，便可知道，这24天中恰有4个星期六、3个星期日.星期日总是紧接 在星期六之后的，因此，这人打工结束的那一天必定是星期六.由此逆推回去，便可知道开始的

8、那一天是星期四.因为1月1日是星期日，所以1月22日也是星期 日，从而1月下旬唯一的一个星期四是1月26日.从1月26日往后算，可知第24 天是2月18日，这就是打工结束的日子.2图表中的找规律问题21f 22f 2%AT207 f 8 【例4】、（）将自然数1, 2, 3, 4,按箭头所指方向顺序排列（如图，依次在2, 3, 5, 7, 10,等数的位置处拐弯.（1如果2算作第-次拐弯处，那么，第45次拐弯处的数是.（2从1978到2010 的自然数中，恰在拐弯处的数是21 f 22f 23f 24f 25f 26A:T207f 8f 9-10：AA1¥196 1211ft 4 4

9、18543121 7 1 114-* 1 4【来源】北京市第十二届迎春杯”决赛第三题第3题【解】（1仿照E1026,画23条竖线，23条横线，第45次拐弯处的数是 23>23+1=530 （2拐弯处的数是n n+1或n依+1+1（n是自然数.由于 44M4+1=1937<1978, 45 >45+ 1=2026>2010,44 >45+1=1981在1978、2010之间.所以恰在拐弯处的数是 1981.【解】根据 任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”，可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是， B=8919 ）9=11

10、.【例5】（）自然数如下表的规则排列：求：（1）上起第10行，左起 第13列的数；21f 22f 23AT207 - 8（2）数127应排在上起第几行，左起第几列？【解】：本题考察学生 观察一归纳一猜想”的能力.此表排列特点：第一列 的每一个数都是完全平方数，并且恰好等于所在行数的平方；第一行第n个数是（n-1） 2+1,第n行中，以第一个数至第n个数依次递减1;从第2列起该列 中从第一个数至第n个数依次递增1.由止匕（1） （13-1） +1+9=154; （2） 127=112+6=（12-1） +1+5,即 左起12列，上起第6行位置.3较复杂的数列找规律【例6】、（）设1, 3, 9,

11、 27, 81, 243是6个给定的数。从这六个 数中每次或者取1个，或者取几个不同的数求和（每一个数只能取 1次），可以得到一个新数，这样共得到 63个新数。把它们从小到大一次排列起来是 1, 3, 4, 9, 10, 12,第60个数 是。【来源】1989年小学数学奥林匹克初赛第15题【解】最大的（即第 63个数）是1+3+9+27+81+243=364第60个数（倒数第4个数）是364 13 = 360。【例7】、（）在两位数10, 11, , 98, 99中，将每个被7除余2的 数的个位与十位之间添加-个小数点，其余的数不变.问：经过这样改变之后，所有数的和是多少 ？【来 源】第五届

12、华杯赛”初赛第15题【解】原来的总和是10+11+,+98+99=2909910（? +=4905,被7除余2的两位数是7 >2+2=16, 7 >3+2=23, , , 7X13十 2=93.共12个数.这些数按题中要求添加小数点以后，都变为原数的101,因此这-手续使总和减少了（16+23+,+93 X（101 =2129316(? +X109=588.6所以，经过改变之后，所有数的和是 4905588.6=4316.4.【例8】、（）小明每分钟吹-次肥皂泡，每次恰好吹出100个.肥皂泡 吹出之后，经过1分钟有-半破了，经过2分钟还有201没有破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了

13、小明在 第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有 个.【来源】1990年小学数学奥林匹克决赛第8题【解】小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，第17次之前（包括第17 次吹出的肥皂泡全破了 .此时没有破的肥皂泡共有100+100 ）201+ 100 >21=155（个.4与斐波那契数列相关的找规律【引言】：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道 围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出 生后在第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子 一年内能繁殖成多少对？现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在

14、第一个月，有一对成年兔子，第二个月 它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一 对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。 月月如此。第1个月到第6个月兔子的对数是：1, 2, 3, 5, 8, 13。我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233。显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内1对兔子能繁殖成233 对。在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契

15、得到了一个数列。人们为纪念他 这一发现，在这个数列前面增加一项 “1后得到数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,叫做 斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做 斐波那契 数”。【例9】（）数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问 题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一 条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第 1年它只有主干，第 2年有两枝，问15年后这棵树有多少分枝（假设没有任何死亡）？【解】1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,

16、610, 987, 1597, 2584绝对是一棵大树【例10（）有一堆火柴共10根，如果规定每次取13根，那么取完 这堆火柴共有多少种不同取法？【解】此题要注重思路，因为没办法直接考虑，这样我们发现这题同样用找规 律的方法，我们可以先看只有1根的情况开始：1根，有：1种；2根，有1、1, 2,共两种；3根，可以有：1、1、1, 1、2, 2、1, 3,共 4种；4根，有：1、1、1、1, 1、1、2, 1、2、1, 2、1、1, 2、2, 1、3, 3、1, 共 7=4+2+1 种；5根，有：1、1、1、1、1, 1、1、1、2, 1、1、2、1, 1、2、1、1, 2、1、 1、 1, 1

17、、 2、 2, 2、 1、 2, 2、 2、 1, 1、 1、 3, 1、 3、 1, 3、 1、 1, 2、 3, 3、 2, 共 13=7+4+2 种；6根,得到24=13+7+4种;即：n根，所有的取法种数是它的前三种取法的和。由此得到，10根为274种。拓展爬楼梯问题。【例11（）对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2,如果是奇数则加1,如此进行直到得数为1操作停止。问经过9次操作变为1的数有多少 个？【来源】仁华考题【解】这一题首先我们可以明确的是要采用逆推的方法，其次我们还得利用找 规律来归纳出计算方法。在复杂的或者步子比较多的计数中，找规律是一种非常常 用的方法。归纳总结上述

18、规律，从第三项起，每一项都是前两项之和。第9次第8次第7次第6次第5次 -6 4 4 12 1 2 2 -/+/12122-5-4- 2- + / + /3-1-1- 1-5-8-3-2-L -6 6IX IX 7 CO2/2 = l-|-4/2=2 -p8/2=4 -p 16/2=8 J-7_4-l=8- 21+ 1 =4 6/23 4/2=2 -1+1=2 2/2 = 1 1+1=2 -1 个2 个3 个二 2+15 个= 3+28 个= 5+35有趣的猫捉耗子规律注：有一个很出名的游戏，猫捉耗子的游戏，一只猫让一群老鼠围成一圈报 数，每次报单数的吃掉，有一只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在

19、哪个位置？因此 我们称之为猫捉耗子的问题。【例12、（） 50只耗子排成一排，1到50报号，奇数号的出列，剩 下的偶数号再报号，冉奇数列出列，一直这样，问最后一只剩下的是原来的几号？【解】第一次剩下的是：2、4、6、8、10、12,50都是2的倍数；第二次剩下的是：4、8、12、16,48都是4=22的倍数；第三次剩下的是：8、16、24,都是8=23的倍数，这样每次剩下的都是2n 的倍数，现在要剩下一只，这样就是看 150中2n的最大数就是32号【拓展】123自然数列一直写到100,然后按数码编号，擦去奇数号，留下的 数再编号，再擦去奇数号，这样请问最后留下的3个数字是。【解】360【例13

20、、() 50枚棋子围成圆圈，编上号码1、2、3、4、，、50, 每隔一枚棋子取出一枚，要求最后留下的一枚棋子的号码是 42号，那么该从几号 棋子开始取呢？【来源】03年圆明杯数学竞赛试题【解】：方法一：通过归纳我们知道，如果开始有 A人，A =2k+m(k是保证 m为自然数的最大值。那么从1号开始取，每个1个取1个，则最后剩下的为2m 号。现在有50枚棋子，如果从1号开始取，有50 = 25+18,所以最后剩下的为 18>2 = 36 号。现在剩下的是42号，所以开始取的为1+(42 36 =7号。方法二：找出规律，若开始从2号开始取，则若有2枚、4枚、8枚、16枚、 32枚，则最后剩下

21、的均为1号。比如如果9枚，取掉1号后即剩下8枚剩下的将是8枚的首位，即3号，而50枚先取50 32= 18枚后，剩32枚，取走了 2、4、6、8、，、36,则37 为剩下的32枚重排列后的1号，38为2号。故最后剩下的为37号，即若开始取2号，剩下37号，现剩 下的为42号，故开始从7号开始取的。【例14、（）把11993这1993个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，如图121,从1开始沿顺时针方向，保留1,擦去2;保留3,擦 去4;,（每隔一个数，擦去一个数），转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？【解】分析：如果依照题意进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难。我们先从简单情况研究，归

22、纳出解决问题的规律，再应用规律解题。如果是2个数1、2,最后剩下1;如果是3个数1、2、3,最后剩3;如果是4个数1、2、3、 4,最后剩1;如果是5个数1、2、3、4、5,最后剩的是3;如果是6个数1、2、 3、4、5、6,最后剩的是5;如果是7个数1、2、3、4、5、6、7,最后剩的是 7;如果是8个数18,最后剩的是1。我们发现当数的个数是2, 4, 8时，最后剩的都是1 （操作的起始数）。这是 为什么呢？以8个数为例，数一圈，擦掉2, 4, 6, 8,就相当于从1开始，还有4 个数的情况，4个数时，从1开始，数一圈，又擦掉2个，还剩从1开始的两个 数，擦掉1以外的数，最后剩1。这样，数

23、的个数是16, 32, 64, , , 2n时，最后剩的都是起始数1。当数的个数是3时，擦去2,就剩2个数，最后应剩下一步的起始数 3;数的 个数是5时，擦去2,剩4个数，最后也应剩下一步的起始数 3。根据以上规律，如果有18个数，擦去2、4,剩下16个数，再擦下去，最后 还应剩下一步的起始数5。就是说，擦去若干个数后，当剩的数的个数是 2n时， 下一步起始数就是最后剩下的数。解：因为 1024=210, 2048=211,2110V 1993<2111993-1024=969,就是说，要剩210个数，需要擦去969个数，按题意，每两个数擦去一个数， 当擦第969个数时，最后擦的是：96

24、9>2=1938下一个起始数是1939,那么最后剩的就应该是1939。练习按照例1的操作规则（1）如果是1900这900个自然数，最后剩的是哪个数？（2）如果是11949这1949个自然数，最后剩的是哪个数？说明：这道例题的解题思路是：特殊一 一般一特殊（简单情况）（一般规律）（较复杂情况）一般规律：把1n这n个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从 1开始，顺 时针方向，隔过1,擦去2,隔过3,擦去4,（每隔一个数，擦去一个数）。最 后剩下的数x是哪个数？解：设2k <n 02k +k是自然数。x= (n-2k) >2+1【拓展】：如果还是上面例题，但改为保留 1,擦

25、去2;保留3,擦去4;, （每隔一个数，擦去一个数），转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？【解】剩下的规律是剩下2n时，都是最后一号留下，所以答案是 1938。小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）与周期相关的找规律问题 参见例1, 2, 32）图表中的找规律问题参见例4, 53）较复杂的数列找规律 参见例6, 7, 84）与斐波那契数列相关的找规律 参见例，9, 10, 115）有趣的猫捉耗子规律 参见例12, 13, 14, 15作业题（注：作业题-例题类型对照表，供参考）题1类型3;题2, 3, 4一类型 5;题 5, 6, 7, 8一类型 2,1、 （）已知一审有规律的数：1, 2/3,

26、 5/8, 13/21, 34/55,。那么，在 这用数中，从左往右数，第10个数是。【解】找规律，前面分子分母和就是后一个数分子，分母等于分子和前一个分 数分母的和，这样第10个数就是4181/67652、（）在一个圆圈上，逆时针标上 1、2、3、，、19,从某个数起取 走该数，然后沿逆时针方向每隔一个数取走一个数，如果最后剩下数1。求从哪个数起？【解】先取走153 . ()把11992为1992个数，按逆时针方向排在一个圆圈上，从 1 开始逆时针方向，保留1,涂掉2;保留3,涂掉4,。(每隔一个数涂去一个 数)，求最后剩下哪个数？【解】(1992-1024) >2+1=19374 .

27、 ()把11987这1987个数，均匀排成一个大圆圈。从 1开始数， 隔过1,划掉2, 3;隔过4,划掉5, 6;，一 (每隔一个数，划掉两个数)一直划 下去，问最后剩下哪个数？【解】j号1Q7.口CT7 口、 V J- 1 1 QQP5 . ()如下图，小方和小张进行跳格子游戏，小方从 A跳到B,每次可 跳1步或2步；小张从C跳到D ,每次可跳1步、2步或3步。规定：谁跳到目标 处的不同跳法最多，谁就获胜。问获胜方的跳法比另一方多I a1 | cl | I |B-| d!【解】同例题可知A到B共11格，共144种跳法；C到D共9格，共149 种，所以多5种。6、()如下图，从A处穿过房间到达B处，如果要求只能从小号码房间 走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？729<1987<2107；【解】到1号房间有1种走法，到2号房间有2种方法，到3号房间有3种方法,所以到8号房间总共有34种房间7、（）如数表：第 1行 1 2 3,14 15第 2 行 30 29 28 ,17 16第 3 行 31 32 33,44 45,第 n 行,A ,第 n +1 行,B