中考数学四边形压轴题+解析(共128页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上九年级上册四边形压轴题2一解答题（共30小题）1（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点AEF=90°，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF，所以AE=EF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果

2、不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由2（2009宁德）如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：ADGABE；（2）连接FC，观察并猜测FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形A

3、EFG，使顶点G恰好落在射线CD上判断当点E由B向C运动时，FCN的大小是否总保持不变？若FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tanFCN的值；若FCN的大小发生改变，请举例说明3（2009黄石）如图，ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；（3）当点O运动到何处，且ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？4（2009无锡校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、点C同时从点O

4、出发，分别以每秒2个单位、1个单位的速度向x轴、y轴的正半轴方向运动，以OA、OC为边作矩形OABC以M（4，0），N（9，0）为斜边端点作直角PMN，点P在第一象限，且，当点A出发时，PMN同时以每秒0.5个单位的速度沿x轴向右平移设点A运动的时间为t秒，矩形OABC与PMN重叠部分的面积为S（1）求运动前点P的坐标；（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）若在运动过程中，要使对角线AC上始终存在点Q，满足OQM=90°，请直接写出符合条件的t的值或t的取值范围5（2008北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直

5、线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC若ABC=BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中ABC=BEF=2（0°90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原

6、问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）6（2008厦门）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（ADAB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，ABF的面积为24cm2，求ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=ACAP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由7（2008嘉兴）小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：（1）如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DFAE交AB于F，求证：AE

7、=DF；（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，且EFGH，求的值；（3）如图3，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F分别在AD，BC上，且EFGH，求的值8（2008宁夏）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有ADQABQ；（2）当点P在AB上运动到什么位置时，ADQ的面积是正方形ABCD面积的；（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，ADQ恰为等腰三角形9（2008昌平区二模）如图，已知A

8、BC的顶点B、C为定点，A为动点（不在直线BC上），B是点B关于直线AC的对称点，C是点C关于直线AB的对称点，连接BC、CB、BB、CC（1）猜想线段BC与CB的数量关系，并证明你的结论；（2）当点A运动到怎样的位置时，四边形BCBC为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述（不用证明）；（3）当点A在线段BC的垂直平分线（BC的中点及到BC的距离为的点除外上运动时，判断以点B、C、B、C为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图（不用证明）10（2007常德）如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F，过F作FHCD交BC于H，可以证明结论成立

9、（考生不必证明）（1）探究：如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）计算：若菱形ABCD中AB=6，ADC=60°，G在直线CD上，且CG=16，连接BG交AC所在的直线于F，过F作FHCD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论还成立吗？11（2007宜昌）如图1，在ABC中，AB=BC=5，AC=6ECD是ABC沿BC方向平移得到的，连接AEAC和BE相交于点O（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图

10、2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QRBD，垂足为点R四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；当线段BP的长为何值时，PQR与BOC相似12（2007潍坊）已知等腰ABC中，AB=AC，AD平分BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EFAB，分别交AC，BC于E，F点，作PMAC，交AB于M点，连接ME（1）求证：四边形AEPM为菱形；（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？13（2007永州）在梯形ABCD中，ABCD，ABC=90°，AB=

11、5，BC=10，tanADC=2（1）求DC的长；（2）E为梯形内一点，F为梯形外一点，若BF=DE，FBC=CDE，试判断ECF的形状，并说明理由（3）在（2）的条件下，若BEEC，BE：EC=4：3，求DE的长14（2007常州）已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF（1）当DG=2时，求FCG的面积；（2）设DG=x，用含x的代数式表示FCG的面积；（3）判断FCG的面积能否等于1，并说明理由15（2007海南）如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G（

12、1）求证：ADECDE；（2）过点C作CHCE，交FG于点H，求证：FH=GH；（3）设AD=1，DF=x，试问是否存在x的值，使ECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由16（2007哈尔滨）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分BAC，交BD于点F（1）求证：EF+AC=AB；（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动如图2，A1F1平分BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1A1C1，垂足为E1，

13、请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长17（2006河南）如图ABC中，ACB=90度，AC=2，BC=3D是BC边上一点，直线DEBC于D，交AB于点E，CFAB交直线DE于F设CD=x（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？18（2006温州）如图，在ABCD中，对角线ACBC，AC=BC=2，动点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作PMAB交BC于M，PNAD交DC于N连接AM设AP=x（1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗

14、？请说明理由；（2）当x为何值时，四边形PMCN的面积与ABM的面积相等？19（2006沈阳）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：AF=DE，AFDE（不须证明）（1）如图，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论、是否仍然成立；（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论、是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由（3）如图，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为A

15、E、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程20（2006成都）已知：如图，在正方形ABCD中，AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C，D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD，AE，BC于点F，H，G，交AB的延长线于点P（1）设DE=m（0m12），试用含m的代数式表示的值；（2）在（1）的条件下，当时，求BP的长21（2006汾阳市）如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F（1）如图1，当点E运动到DC的中点时，求ABF与四边形ADEF的面积之比；（2）如图2，当点E运动到CE：ED=2：1时

16、，求ABF与四边形ADEF的面积之比；（3）当点E运动到CE：ED=3：1时，写出ABF与四边形ADEF的面积之比；当点E运动到CE：ED=n：1（n是正整数）时，猜想ABF与四边形ADEF的面积之比（只写结果，不要求写出计算过程）；（4）请你利用上述图形，提出一个类似的问题22（2005资阳）阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图所示，矩形ABEF即为ABC的“友好矩形”，显然，当ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个（1）仿照以上叙述，说明什

17、么是一个三角形的“友好平行四边形”；（2）如图，若ABC为直角三角形，且C=90°，在图中画出ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；（3）若ABC是锐角三角形，且BCACAB，在图中画出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明23（2005重庆）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MNAD，EFCD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设a=PMPE，b=PNPF，解答下列问题：（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断a与b的大小关系，并说明理由；（2）当四边形ABCD是平行四边形，且A为锐角时，见图2，（1）中的结论

18、是否成立？并说明理由；（3）在（2）的条件下，设，是否存在这样的实数k，使得？若存在，请求出满足条件的所有k的值；若不存在，请说明理由24（2005大连）如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CGBC），取线段AE的中点M探究：线段MD、MF的关系，并加以证明说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明注意：选取完成证明得10分；选取完成证明得7分；选取完成证明得5分DM的延长线交CE于点N，且AD=NE

19、；将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；在的条件下，且CF=2AD附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变探究：线段MD、MF的关系，并加以证明25（2005湖州）如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则=（结果不取近似值）26（2005郴州）附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，ADE、BCE和CDE的面积之间有着怎样的关系？证明你的结论（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？ABCD是平行四边形呢？（3）当四边形ABCD是梯形时，（1）中

20、的结论还成立吗？请说明理由27（2005深圳校级自主招生）如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q探究：设A、P两点间的距离为x（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由28（2004贵阳）如图，四边形AB

21、CD中，AC=6，BD=8且ACBD顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2如此进行下去得到四边形AnBnCnDn（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；（3）写出四边形AnBnCnDn的面积；（4）求四边形A5B5C5D5的周长29（2004无为县）（1）如图（1），在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，易知ACBD，=；（2）如图（2），若点E是正方形ABCD的边CD的中点，即，过D作DGAE，分别交AC、BC于点F、G求证：；

22、（3）如图（3），若点P是正方形ABCD的边CD上的点，且（n为正整数），过点D作DNAP，分别交AC、BC于点M、N，请你先猜想CM与AC的比值是多少，然后再证明你猜想的结论30（2004佛山）如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形（1）如图，在ABC中，BC=a，BC边上的高AD=ha，EFGH是ABC的内接正方形设正方形EFGH的边长是x，求证：；（2）在RtABC中，AB=4，AC=3，BAC=90度请在图，图中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；（3）在锐角ABC中，BC=a，AC

23、=b，AB=c，且abc请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由九年级上册四边形压轴题2参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点AEF=90°，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF，所以AE=EF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=

24、EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：（1）在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，根据已知条件利用ASA判定AMEECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF（2）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定ANEECF，因为全等三

25、角形的对应边相等，所以AE=EF解答：解：（1）正确证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接MEBM=BE，BME=45°，AME=135°，CF是外角平分线，DCF=45°，ECF=135°，AME=ECF，AEB+BAE=90°，AEB+CEF=90°，BAE=CEF，AMEECF（ASA），AE=EF（2）正确证明：在BA的延长线上取一点N使AN=CE，连接NEBN=BE，N=NEC=45°，CF平分DCG，FCE=45°，N=ECF，四边形ABCD是正方形，ADBE，DAE=BEA，即DAE+90

26、6;=BEA+90°，NAE=CEF，ANEECF（ASA），AE=EF点评：此题主要考查学生对正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况2（2009宁德）如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：ADGABE；（2）连接FC，观察并猜测FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD

27、上判断当点E由B向C运动时，FCN的大小是否总保持不变？若FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tanFCN的值；若FCN的大小发生改变，请举例说明考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质菁优网版权所有专题：压轴题；动点型分析：（1）根据三角形判定方法进行证明即可（2）作FHMN于H先证ABEEHF，得到对应边相等，从而推出CHF是等腰直角三角形，FCH的度数就可以求得了（3）本题也是通过构建直角三角形来求度数，作FHMN于H，FCH的正切值就是FH：CH解答：（1）证明：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，AB=AD，AE=AG，BAD=EAG=90°，BAE

28、+EAD=DAG+EAD，BAE=DAG，BAEDAG（2）解：FCN=45°，理由是：作FHMN于H，AEF=ABE=90°，BAE+AEB=90°，FEH+AEB=90°，FEH=BAE，又AE=EF，EHF=EBA=90°，EFHABE，FH=BE，EH=AB=BC，CH=BE=FH，FHC=90°，FCN=45°（3）解：当点E由B向C运动时，FCN的大小总保持不变，理由是：作FHMN于H，由已知可得EAG=BAD=AEF=90°，结合（1）（2）得FEH=BAE=DAG，又G在射线CD上，GDA=EHF=

29、EBA=90°，EFHGAD，EFHABE，EH=AD=BC=b，CH=BE，=；在RtFEH中，tanFCN=，当点E由B向C运动时，FCN的大小总保持不变，tanFCN=点评：本题考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例3（2009黄石）如图，ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；（3）当点O运

30、动到何处，且ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？考点：正方形的判定；平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的判定菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：（1）利用平行线的性质由角相等得出边相等；（2）假设四边形BCFE，再证明与在同一平面内过同一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾；（3）利用平行四边形及等腰直角三角形的性质证明四边形AECF是正方形解答：解：（1）OE=OF证明如下：CE是ACB的平分线，1=2MNBC，1=32=3OE=OC同理可证OC=OFOE=OF（3分）（2）四边形BCFE不可能是菱形，若四边形BCFE为菱形，则BFEC，而由（1）可知F

31、CEC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线（3分）（3）当点O运动到AC中点时，且ABC是直角三角形（ACB=90°）时，四边形AECF是正方形理由如下：O为AC中点，OA=OC，由（1）知OE=OF，四边形AECF为平行四边形；1=2，4=5，1+2+4+5=180°，2+5=90°，即ECF=90°，AECF为矩形，又ACEFAECF是正方形当点O为AC中点且ABC是以ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形（3分）点评：本题考查的是平行线、角平分线、正方形、平行四边形的性质与判定，涉及面较广，在解答此类题目时要注意角的运用，一般

32、通过角判定一些三角形，多边形的形状，需同学们熟练掌握4（2009无锡校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、点C同时从点O出发，分别以每秒2个单位、1个单位的速度向x轴、y轴的正半轴方向运动，以OA、OC为边作矩形OABC以M（4，0），N（9，0）为斜边端点作直角PMN，点P在第一象限，且，当点A出发时，PMN同时以每秒0.5个单位的速度沿x轴向右平移设点A运动的时间为t秒，矩形OABC与PMN重叠部分的面积为S（1）求运动前点P的坐标；（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）若在运动过程中，要使对角线AC上始终存在点Q，满足OQM=90°，请直接写出符合条件

33、的t的值或t的取值范围考点：矩形的性质；圆周角定理；切线的性质菁优网版权所有专题：压轴题；动点型分析：（1）过点P作PHx轴于H，可求出MH的长即点P的横坐标，再根据tanPMN=，及勾股定理便可求出点P的坐标（2）因为点A；点C同时从点O出发，点M（4，0），PMN同时以每秒0.5个单位的速度沿x轴向右平移，运动t秒后，OA=2t，OM=4+0.5t，当0OAOM，即02t时，两图形无交点；当OMOAOH，即4+0.5t2t8+0.5t时，即t时，矩形OABC与PMN重叠部分的面积为S等于重叠的三角形的面积当OHOAON，即8+0.5t2t9+0.5t，即t6时，矩形OABC与PMN重叠矩部

34、分的面积为S等于MNP的面积减去不重叠的三角形的面积当OAON，即2t9+0.5t，t6时，矩形OABC与PMN重叠矩部分的面积为S等于MNP的面积（3）根据圆周角定理可知，当以OM为直径的圆与AC有公共点时，公共点即是符合条件的点Q，即可求出t的取值范围解答：解：（1）如图，过点P作PHx轴于HMN=94=5，tanPMN=，PM=，PN=，PH=2，MH=4，NH=1P（8，2）（2）运动t秒后，OA=2t，OC=t，OM=40.5t当0t时，S=0；当t时，S=t23t+4；当t6时，S=t2+27t76；当t6时，S=5（3）当以OM为直径的圆与AC有公共点时，公共点即是符合条件的点Q

35、当以OM为直径的圆与AC相切时，t=，t的取值范围是：0t点评：此题是典型的动点问题，比较复杂，考查了同学们对圆及三角形，矩形，等相关知识的掌握情况，有一定的难度5（2008北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC若ABC=BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BE

36、FG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中ABC=BEF=2（0°90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）根据题意可知小聪的思路为，通过判定三角形DHP和PGF为全等三角形来得出证明三角形HCG为等腰三角形且P为底边中点的条件；（2）思路同上，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，本题中

37、除了如（1）中证明GFPHDP（得到P是HG中点）外还需证明HDCGBC（得出三角形CHG是等腰三角形）（3）ABC=BEF=2（0°90°），那么PCG=90°，由（1）可知：PG：PC=tan（90°）解答：解：（1）CDGF，PDH=PFG，DHP=PGF，DP=PF，DPHFGP，PH=PG，DH=GF，CD=BC，GF=GB=DH，CH=CG，CPHG，ABC=60°，DCG=120°，PCG=60°，PG：PC=tan60°=，线段PG与PC的位置关系是PGPC，=；（2）猜想：（1）中的结论没有发生变

38、化证明：如图2，延长GP交AD于点H，连接CH，P是线段DF的中点，FP=DP，ADGF，HDP=GFP，GPF=HPD，GFPHDP（ASA），GP=HP，GF=HD，四边形ABCD是菱形，CD=CB，HDC=ABC=60°，ABC=BEF=60°，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，GBF=60°，HDC=GBF，四边形BEFG是菱形，GF=GB，HD=GB，HDCGBC，CH=CG，HCD=GCBPGPC（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）ABC=60°DCB=HCD+HCB=120°HCG=HC

39、B+GCBHCG=120°GCP=60°=tanGCP=tan60°=；（3）ABC=BEF=2（0°90°），PCG=90°，由（1）可知：PG：PC=tan（90°），=tan（90°）点评：本题是一道探究性的几何综合题，主要考查菱形的性质，全等三角形的判定及三角函数的综合运用6（2008厦门）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（ADAB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，ABF的面积为24

40、cm2，求ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=ACAP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由考点：菱形的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：压轴题；开放型；存在型分析：（1）因为是对折所以AO=CO，利用三角形全等证明EO=FO，四边形便是菱形；（2）因为面积是24，也就是AB、BF的积可以求出，所以求周长只要求出AB、BF的和就可以，而结合勾股定理它们和的平方减去乘积二倍就是AF的平方；（3）因为AC=AO所以可以从与AOE相似的角度考虑，即过E作EPAD解答：（1）证明：连接EF交AC于O，当顶点A与C重合时

41、，折痕EF垂直平分AC，OA=OC，AOE=COF=90°（1分）在矩形ABCD中，ADBC，EAO=FCO，AOECOF（ASA）OE=OF（2分）四边形AFCE是菱形（3分）（2）解：四边形AFCE是菱形，AF=AE=10设AB=x，BF=y，B=90，（x+y）22xy=100又SABF=24，xy=24，则xy=48（5分）由、得：（x+y）2=196（6分）x+y=14，x+y=14（不合题意舍去）ABF的周长为x+y+AF=14+10=24（7分）（3）解：过E作EPAD交AC于P，则P就是所求的点（9分）证明：由作法，AEP=90°，由（1）得：AOE=90&

42、#176;，又EAO=EAP，AOEAEP，=，则AE2=AOAP（10分）四边形AFCE是菱形，AO=AC，AE2=ACAP（11分）2AE2=ACAP（12分）即P的位置是：过E作EPAD交AC于P点评：本题主要考查（1）菱形的判定方法“对角线互相垂直且平分的四边形”，（2）相似三角形的判定和性质7（2008嘉兴）小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：（1）如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DFAE交AB于F，求证：AE=DF；（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，且EFGH，求的值；（3）如图3，矩

43、形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F分别在AD，BC上，且EFGH，求的值考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：（1）证明AE=DF，只要证明三角形ABE和DAF全等即可它们同有一个直角，且AB=AD，又因为AEB=90°BAE=AFD，这样就构成了全等三角形判定中的AAS，两三角形就全等了；（2）可通过构建与已知条件相关的三角形来求解作AMEF交BC于M，作DNGH交AB于N，那么AM=EF，DN=GH，（1）中我们已证得ABM、DAN全等，那么AM=DN，即EF=GH，它们的比例也就求出来了

44、；（3）做法同（2）也是通过构建三角形来求解作AMEF交BC于M，作DNGH交AB于N，只不过证明三角形全等改为了证明其相似解题思路和步骤是一样的解答：（1）证明：DFAEAEB=90°BAE=AFD又AB=AD，ABE=DAF=90°ABEDAF，AE=DF；（2）解：作AMEF交BC于M作DNGH交AB于N则AM=EF，DN=GH由（1）知，AM=DNEF=GH，即（3）解：作AMEF交BC于M作DNGH交AB于N则AM=EF，DN=GHEFGHAMDNAMB=90°BAM=AND又ABM=DAN=90°ABMDAN点评：本题中（1）（2）和（3）虽

45、然所求不一样，但是解题思路和步骤是一样的，都是通过构建与已知和所求的条件相关的三角形，然后证明其全等或相似来得出线段间的相等或比例关系8（2008宁夏）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有ADQABQ；（2）当点P在AB上运动到什么位置时，ADQ的面积是正方形ABCD面积的；（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，ADQ恰为等腰三角形考点：正方形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：综

46、合题；压轴题；数形结合；分类讨论分析：（1）可由SAS求得ADQABQ；（2）过点Q作QEAD于E，QFAB于F，则QE=QF，若ADQ的面积是正方形ABCD面积的，则有SADQ=ADQE=S正方形ABCD，求得OE的值，再利用DEQDAP有解得AP值；（3）点P运动时，ADQ恰为等腰三角形的情况有三种：有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD由正方形的性质知，当点P运动到与点B重合时，QD=QA，此时ADQ是等腰三角形，当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA=DQ，ADQ是等腰三角形，当AD=AQ=4时，有CP=CQ，CP=ACAD而由正方形的对角线的性质得到CP的值解答：（1）证明：在

47、正方形ABCD中，无论点P运动到AB上何处时，都有AD=AB，DAQ=BAQ，AQ=AQ，ADQABQ；（2）解法一：ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的时，过点Q作QEAD于E，QFAB于F，则QE=QF，在边长为4的正方形ABCD中，S正方形ABCD=16，AD×QE=S正方形ABCD=×16=，QE=，EQAP，DEQDAP，即=，解得AP=2，AP=2时，ADQ的面积是正方形ABCD面积的；解法二：以A为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q作QEy轴于点E，QFx轴于点FAD×QE=S正方形ABCD=×16=，QE=，点Q在正方形对角线AC上，

48、Q点的坐标为（，），过点D（0，4），Q（，）两点的函数关系式为：y=2x+4，当y=0时，x=2，P点的坐标为（2，0），AP=2时，即当点P运动到AB中点位置时，ADQ的面积是正方形ABCD面积的；（3）解：若ADQ是等腰三角形，则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，当AD=DQ时，则DQA=DAQ=45°ADQ=90°，P为C点，当AQ=DQ时，则DAQ=ADQ=45°，AQD=90°，P为B，AD=AQ（P在BC上），CQ=ACAQ=BCBC=（1）BCADBC=，即可得=1，CP=CQ=（1）BC=4（1）综上，P在B点，C点，或在CP=4（

49、1）处，ADQ是等腰三角形点评：本题利用了正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质求解9（2008昌平区二模）如图，已知ABC的顶点B、C为定点，A为动点（不在直线BC上），B是点B关于直线AC的对称点，C是点C关于直线AB的对称点，连接BC、CB、BB、CC（1）猜想线段BC与CB的数量关系，并证明你的结论；（2）当点A运动到怎样的位置时，四边形BCBC为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述（不用证明）；（3）当点A在线段BC的垂直平分线（BC的中点及到BC的距离为的点除外上运动时，判断以点B、C、B、C为顶点

50、的四边形的形状，画出相应的示意图（不用证明）考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质菁优网版权所有专题：压轴题；动点型分析：在（1）中，根据题意结合图形可以很容易发现BC=CB（2）中BCBC为菱形，根据菱形的性质对角线互相垂直平分，而ACBB，ABCC，所以只要BB与CC相交于A点即可，即ABC为直角三角形（3）分情况讨论可以得出结果解答：解：（1）猜想：BC=CBB是点B关于直线AC的对称点AC垂直平分BBBC=BC同理BC=BCBC=CB（2）要使BCBC是菱形根据菱形的性质，对角线互相垂直平分B是点B关于直线AC的对称点，C是点C关于直线AB的对称点AC垂直平分BBAB垂直

51、平分CCBB、CC应该同时过A点BAC=90°只要ABAC即可满足要求，这样的位置有无数个（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形当A到BC的距离为时，ABCACB=30°，BAD=CAD=60°，BBA=BBA=BAD=30°，CCA=CCA=CAD=30°，BBC=BCB=BBC=60°，当A到BC的距离为时，BBC是等边三角形当BC的中点及到BC的距离为的点除外时，BOC=BOC，OB=OC，OB=OC，OBC=OCB=OB'C'=OCB，BCBC，BC不平行CBBC=CB，四边形BCBC为等腰梯形点评：本

52、题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题10（2007常德）如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F，过F作FHCD交BC于H，可以证明结论成立（考生不必证明）（1）探究：如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）计算：若菱形ABCD中AB=6，ADC=60°，G在直线CD上，且CG=16，连接BG交AC所在的直线于F，过F作FHCD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论还成立吗？考点：菱形的性质；勾股定理；平行线分线段成比例菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（1）借助中间比进行证明，根据平行线分线段成比例定理分别证明两个比都等于即可；（2）首先应画出两个不同的图形进行分析构造30°的直角三角形，然后计算两条直角边的长，在两种情况中，GQ=16+3=19或163=13，然后根据勾股定理计算BG的长，进一步根据比例式求得FG的长；（3）成立，根据（2）中的过程，可以分别求得左右两个比，从而证明结论解答：解：（1）结论成立证明：由已知易得FHAB，FHGC，（2）G在直线CD