线性规划的概念

1、3.6 :线性规划目录：(1)线性规划的基本概念(2)线性规划在实际问题中的应用【知识点1:线性规划的基本概念】(1)如果对于变量x、y的约束条件，都是关于 x、y的一次不等式，则称这些约束条件为线性约束条件_z f x,y是欲求函数的最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫做目标函数_,当f x, y是x、y的一次解析式时，z f x, y叫做_线性目标函数(2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为线性规划问题 ;满足线性约束条件的解x,y叫做 可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解x例题：若变量x、y满足约束条件 x

2、y(B )A. 4 和 3C. 3 和 2分析：本题考查了不等式组表示平面区域,y 21 ，则z x y的最大值和最小值分别为08. 4 和 2D. 2 和 0目标函数最值求法解：画出可行域如图作 lo ： 2x y 0y xx y 1 ,则z的最大值是_3所以当直线z 2x y过A2,0时z最大，过B 1,0时z最小zmax4 , zmin2.变式1:已知z 2x y ,式子中变量x、y满足条件解：不等式组表示的平面区域如图所示作直线l0：2x y 0,平移直线lo ,当直线I经过平面区域的点A 2, 1时，z取最大值2 2 1变式2：设z 2x y ,式中变量x、y满足条件x 4y 33x

3、 5y 25 ,求z的最大值和最小值x 1分析：由于所给约束条件及目标函数均为关于x、y的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解解：作出不等式组表示的平面区域（即可行域），如图所示.把z 2x y变形为y 2x z ,得到斜率为-2,在y轴上的截距为z,随z变化的一族平 行直线.由图可看出，当直线 z 2x y经过可行域上的点 A时，截距z最大，经过点B时，截距 z最小.解方程组x 4y 3 0，得A点坐标为5,2 , 3x 5y 25 0,、一. x 1一 .解方程组x '，得B点坐标为1,1x 4y 3 0所以 zmax 2 5 2 12, zmin 2 113.x

4、y 6变式3:若变量x、y满足约束条件x 3y 2 ,则z 2x 3y的最小值为（ C ）x 1A. 17B. 14C. 5D. 3解:作出可行域（如图阴影部分所示）.作出直线l :2x 3y 0 .平移直线l到l'的位置，使直线l通过可行域中的 A点（如图）这时直线在y轴上的截距最小，z取得最小值.x 1x 1解方程组，得最优解，x 3y2y 1Zmin 2 13 15【知识点2:线性规划在实际问题中的应用】例题：某工厂生产 甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为 A、B两种规格金属板，每张面积分别为 2m2与3m2.用A种规格金属板可造甲种产品 3个，乙种产品 5个

5、；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各 6个.问A、B两种规格金属板各取多少张， 才能完成计划，并使总的用料面积最省？解：设A、B两种金属板分别取 x张、y张，用料面积为z,则约束条件为3x 6y 45 5x 6y 55 x 0 y 0目标函数为z 2x 3y.作出以上不等式组所表示的平面区域（即可行域），如图所示：2 z2z 一z 2x 3y变为y -x -,得斜率为 一，在y轴上截距为一且随z变化的一组平行 直线.当直线z 2x 3y过可行域上点 M时，截距最小，z最小.解方程组，得M点的坐标为（5,5）.33此时 zmin 2 5 3 5 25 m2 .答：当两种金属板各取 5张时，用料

6、面积最省.变式1: 4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，而6个茶杯与3包茶叶的价格之和大于24元，则2个茶杯和3包茶叶的彳格比较(A )B. 3包茶叶贵A. 2个茶杯贵C.相同D.无法确定解：设茶杯每个x元，茶叶每包y元，则4x6x5y3y22242x, y NU 2x y取值的符号判断如下2 UU由y - x .当U 。时，过点A 3,2 ,往下平移.经过可行域内的点一 03 33U 0 ,即2x 3y.往上平移不经过可行域内的点.，选A.x y 2 0变式2已知x、y满足x y 4 0 ,求： 2x y 5 022(1)z x y 10y 25的最小值；(2)z L的取值范围. x 1

7、分析：(1)将z化为z x2y 5 2 ,问题转化为求可行域中的点与定点的最小距离问题；x ( 1)(2)将式子化为z -()或y 1 z(x 1),问题转化为求可行域中的点与定点的连线的斜率的最值问题解：作出可行域如图并求出点A、B的坐标分别为(1, 3) (3,1)2 .y 5表不可行域内任一点x, y到定点M0,5的距离的平方，过M作直线AC的垂线MN,垂足为N,则：4nMNy 1(2)z x 1-9)表示可行域内任一点x ( 1)x,y与定点Q 1, 1连线的斜率，可知，kAQ最大，kQB最小.而 L2,kQB1 1.z的取值范围为 1 ,2 .2点评:求非线性目标函数的最值，要注意分

8、析目标函数所表示的几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系，是数列结合的体现.0变式3在条件022下,122x 1 y 1的取值范围是解：由约束条件作出可行域如图目标函数表示点(x , y)与点M (1,1)的距离的平方.由图可知，z的最小值为点 M与直线、 r1x y 1的距离的平方.即Zminz的最大值为点M 1 ,1与点B(2, 0)的距离的平方:L22即 zmax 1 21 02 .z的取值范围为 1,2 .3x 2y 10变式4设变量x、y满足条件5x 4y的最大值.4y 11求Sz , y z0,y 0错解：依约束条件画出可行域如图所示h9 23.如先不考虑x、y为整数的条件，则当直线5x 4y S过点A9,_3时，5 10_91 ES 5x 4y Sm1ax 取取大值，.5因为x、y为整数，而离点 A最近的整点是C 1,2 ,这时S 13,所要求的最大值为13.分析：显然整点B(2, 1)满足约束条件，且此时 S 14,故上述解法不正确.对于整点