第36炼向量的数量积——寻找合适的基底

1、第36炼 向量的数量积一一寻找合适的基底r r在高考中经常会遇到几何图形中计算某两个向量a,b数量积的问题，如果无法寻找到计r rr r算数量积的要素（a,b模长，夹角）那么可考虑用合适白两个向量（称为基底）将a,b两个向量表示出来，进而进行运算。这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法一、基础知识：（一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则：ur urur ur ur2e2。其中e1成为平面向量的一组基底。1、平面向量基本定理：若向量 0,e2为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量rr ura，均存在唯一一对实数 1, 2,使得a1e1（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有

2、向量）r r2、向量数量积运算a brb cosr r为向量a,b的夹角3、向量夹角的确定：向量r rr ra,b的夹角指的是将a,b的起点重合所成的角,0,其中 0：同向：反向4、数量积运算法则：r r r r（1）交换律：a b b ar r（2）系数结合律：a br r r raba b（3）分配律:因为向量数量积存在交换律与分配律,才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘-349 -的展开式规律相同:r r 2例如：a br2 r r r2 a 2a b b什 r urur r5、若 a 1e+ 2e2,bur ur1e1+ 2e2 ,则r r ur ura b1e1+ 2e2i

3、rur U21e+ 2e2 = 1 10IT 22 2e2ur ur1 22 1 e1 e2由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将r rr ra,b用基底表示出来，则可计算a b（二）选择合适基底解题的步骤与技巧:1、如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有,那就是它们了。所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知。常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形2、向量的表示：尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示，常用的方uur一AB,其 m n法有:(1)向量的加减运算(2) “爪”

4、字型图：在 VABC中，D是BC上的点，如果BD : CDuuurm uurm: n ,则 AD ACm nAD是BC边上uuur uuu uuur中AD, AB, AC知二可求一。特别的，如果uur 1 uur 1 uur的中线，则AD -AC -AB3、计算数量积：将所求向量用基地表示后，代入到所求表达式计算即可，但在计算过程中要注意基底的夹角 二、例题精炼例 1:如图，在 VABC 中， BAC 120o, AB2,AC 1,D 是边 BC 上一点，DC 2BD ,uuur 则ADuurBC思路:uuur uuruurAD,BC模长未知(BC尚可求出)，夹角未知,可计算所以很难直接求出数

5、量积。考虑是否有合适基底,BAC 120o, AB 2, AC 1uuu uuur 出 AB ACuuur uuurAB AC cos120ouuu uuurAB, AC,模长均已知，数量积已求,条件齐备，适合作为基底。uuu uur uuurAB, AC 表示 ADuuuruuirBC : BCuuurACuuu uuurAB , AD1 uuur -AC32 uuu -AB , 3uurADuuurBCuuurACuuuAB1 uur-AC 32 uur -AB 31 uuur 2 -AC3uur-ABuuurAC2 uuu2-AB3答案:uuurADuurBC例2:如图,已知在uuuVA

6、BC 中，AD AB,BCuuur uuuV3BD,ADuuur1 ,则 ACuuurAD.考虑选uur uur1 (模长有了)，所以考虑用 AB,AD作uuur uur思路:观察条件，AC, AD很难直接利用公式求解uuur uuur择两个向量表示 AC, AD ,条件中uur uuruurAD AB AD AB 0（数量积有了），ADuuuuuir为基底。下一步只需将 AC表布出来，BC_uuir3BD BD:CD1： 73 1（底边比值联想到“爪”uuur字型图）AD3 1皿、3 ABuuruuirAC,解得：AC_uuir _ uuu.3 AD、.3 1 ABuuur uur 所以AC

7、 AD_uuur_,3AD ,3uuu uuur1 AB AD一uuur 2 ,3ADuuur uur 答案：AC AD、3例3:在边长为1uuu的正三角形ABC中，设BCuuur uur2BD,CAuuuuuur3CE ,则 ADuuuBE思路：如图，等边三角形三边已知，夹角已知，由此对于三边所成的向量,uuur uur量积均可计算，所以考虑 AD,BE用三边向量进行表示，表示的方法很多，例如观察“爪”字形图可得iuur 1 uuuAD AB2uurAC ,uuuBE2 ULUl -BC31 uur -BA 3uuurADuuuBEuuuAB答案:uuurAD小炼有话说:线为x轴,uurBE

8、uuirAC2 uur -BC31 uuu -BA31 、一f一（汪息向重夹角）4这道题由于是等边三角形,故可以建系去做，以D为坐标原点，BC所在直AD所在直线为y轴。D,E坐标完成之时，就是uuur uuirAD BE计算的完成之日，且此法在计算上更为简便。例4:如图,在VABC中,已知 AB 4, AC 6, BAC60°,点D,E分别在边AB, ACuuu上，且ABuuir uuur2AD,ACuuu3AE，点F为DE中点，则uuurBFuuurDE的值是（A.2 B.C.4 D.思路：在本题中已知uuu I uuurAB , AC及两个向量的夹角，所uuu uur以考虑将AB

9、,AC作为一组基底。则考虑将uur uuuruuu uuirBF ,DE用AB, AC进行表示，再做数量积即可解:uuuruuirBF BDuuur 1 uuuDF - BA21 uuur 一DE 21 uuu -BA 21 UULr UULT 一AE AD 21 uuu 1 1 uuir1 uuu-AB AC -AB1 uuur 3 uuu ABuuur 且DEuurAEuuur AD1 uur -AC31 uuu AB, 2所以有:uuur uur1 uuur3皿1 uuir1 uuuBF DEAC-ABAC-AB6432-AC641 uuur 2AC 181 uuu -AB 3uuur

10、3 uur 2AC -AB8由已知可得:uuur 2 ABuuir 216, ACuuu36, ABuuurACuurABuuurACcos BAC 12uur BFuuirDE答案:例5:uuu uuu已知向量AB, AC的夹角是120°,uur 且ABuur2, ACuuu3,若 APuuuABuuurACuurAPuuirBC,则实数 的值是思路：题中uuu uuurAB, AC模长夹角已知,所以选择它们作为基底,uuu uur表示AP,BCuurAPuurBC求出即可uur解：BCuuurACuuuABuuuAPuuuBCuur uurAP BCuuuABuurACuuurA

11、CuuuAB 0uuu 2即 ABuur 2 ACuurABuurACuuu 2Q ABuuU24, ACuur uuur9,AB ACuuuABuuurACcos BAC式变为：40解得12答案:12例6:uur在边长为1的正三角形 ABC中，BDuiu uuu xBA,CEuir yCA,x0,y0,xuuurCDuuuBE的最大值为答案:思路：所给VABC为等边三角形，则三边所成向量两两数量uur uur积可解。所以用三边向量将 CD,BE表示出来，再作数量积运算并利用x y 1消元即可求出最值uuur 解：Cduuu uuurCB BDuuruuuuuuuuiruuu uuirCE B

12、CuurCBxBABEBCyCAuuir uuuCD BEuuuCBuur xBAuuinBCuur yCAuuu 2BCuuu uur yCB CAuuu xBAuuuBCuur xyBAuur CA12y12xy1x -xy212xyuurCDuuuBE等号成立条件:uuinCDuuu BEmax1238答案:小炼有话说:(1)本题在最后求最值时还可以利用均值不等式迅速把问题解决:uurCDuuuBE,11,11-y x-xy1-y22221 x y dx - 122(2)在消元时要注意，如果所消去的元本身有范围,则这个范围由主元来承担,比如本题中用x把y消掉，则x所满足的条件除了已知的x

13、 0之外，还有y 0x 0,例7：如图，在四边形 ABCD中，AB BC,AB 3,BCuurACuurBD的值为思路:从条件中可分析 VABC, VADC的边所成的向量两两所求数量积中只有uuuBD需要转换，可得uuur BDuur BCuur CD,所uuuruuruuuuuuuuiruuiruuuuuiruiur以ACBDACBCCDACBCACCD ,进而之间数量积可求，其公共边为AC ,所以以AC作为突破口,可解4,VACD是等边三角形，则uuur uuir uur 解：BD BC CDuuur uur uuur uuur AC BD AC BCuuurCDuuinACuuirBCu

14、uurACuuur CD在 RtVABC 中，AC JABBC在等边三角形ADC中，DC AC 5uur uurAC BCuurACuuuBC cosACBuuirACuuuBCBCACuur 2BC16uur uurAC CDuurACunnCD cosACD25万uur uur 7AC BD 2答案：72uuir uur小炼有话说：（1）在求AC CD时要注意夹角不是ACD ,而是它的补角!(2)在求uuur uuurAC BC也可以用投影定义来解,uuu uuuuuir即 AC在BC上的投影为BC ,所以uuuACuurBCuur 2 BC例8:如图,uuu四边形ABCD满足ABuuur

15、ACuuur DBuuir DC0,uuuABuuir2 DC的中点，则uuuABuuuu AMuuuir DMuuirDCA. 1 B.C.uuu思路：本题要抓住 ABuuurAC32 uur DBD.uuirDC 0这个条件，所uuuu uuuir求表达式中主要解决 AM ,DM 。从图中可发现 AM ,DM分别是VABC,VBDC的中线，从uuuu uuuiruuurAM12uuu ABuuur ACuunn ,DMIIIJ 八IVI , 5VlW川外1十十口里世衣小：而求得表达式的值uuuu1 uuu uur UULUl1 uuuuur解：AM-AB AC ,DM DBDC22unn

16、uuunuuuu uur 1 uuu uuuium1 iuuriumuuirAB AMDM DC -AB ABAC-DCDBDC221 UUU21 uuuuuir1 iuriuur1 iuLr2-AB -AB AC-DCDB-DC2222uuu uuuruur uuiruuruuiruurQ AB ACDB DC 0, AB 2 DC2DC1unn uuumuunn uur 1 uuu 2 1 uur 23AB AMDM DC -AB -DC 222答案：D1 uumDB 2uurDC ,从例9：菱形ABCD边长为2,BAD120°,点E,F分别在BC,CD上，且uuirBEuur

17、mruuurBC,DF DCuur uuurAE AFuur uuu1,CE CFA.B.2c. 54D.12思路：本题已知菱形边长和两边夹角，所以菱形四条边所成向量两两数量积可求,所以可以考虑将题目中所给则进行表不，进而列出关于()uuir uur 的 AE AFuuu uuir1,CE CF3 一， , .士所涉及的向量用菱形的边和2解：uur AEuuu uuuAB BEuur ABuuir uur BC,AFuuruu uuuuurCE1CB,CF1CDuur uuuruuuuuuuuur uuurAE AFABBCAD DC的方程,解出方程便可求出uHLT ADuuurDFuuuAD

18、uuuDCuurABuiurADuuirBCuuurADuurDCuuuABuuirBCuuurDCuur uurCE CFuurCBuurCD答案：D例10:已知向量uuuuur12,OB,OC满足条件:uurOAuuuOBuuirOCt 0,uuu OAuuurOC2,uuuuuu点P是VABC内一动点，则 AB APuuir uuu uur uuuBC BP CA CPuur uuu uuur本题已知OA,OB,OC模长,uuu可对OAuuuOBuuurOCr0进行变形得到更多条件:uuruurmrTOAOBOC0uuruuuruuruuuOBOCOCOA思路:uuu uuuOA OB可。uuirOCuuuOAuuu 2OBuur 2uur uuuOCOA OB2,同理2,从而可将所求式子中的向量均用uuu uuur,OB,OC表示再进行计算即uuu uuu 解：OA OBuuirOCuuu uuuuuiruuuOA OBOCOAuuuOBuuur 2OCuur2 OAuuu 2OBuuu2OAuuuOBuuir 2OC，代入uuuOBuuurOC可得:uuu uuuOA OB2,同理uuuOBuur uur uuuOC OC OAuuuOAuuuOBuuurABuuuAPuuuBCuuu uurBP CAuuuCPuuu