2021届天津市和平区高三三模理科数学试卷

1、2021年天津市和平区高三三模理科数学试卷学校:姓名：班级：考号：一、单选题1十z1.设组数Z满足=1,则忆卜（）1 ZA. 1B. y/2C. GD. 2（V3x -y < 0圾，+2之0,则目标函数z = Ax + y的最大值为（） y>oA. 0 B. V3 C. 273 D.33.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）45A. 1 B. C. 1 D. 2 344 .设命题P：引?£ N*,2 >2",则P 为（）A. V£N*jJ>2"B. Men*,/<2C. V£N"<

2、2"D. 3neNn2 <T5 .如图，在直角A45C中，A6_L8C,。为6c的中点，以A8为直径作圆。，分别交AC. AO于点七、/，若4尸=3,尸0 = 1,则AE等于（）6 币87745/21A J6B. C D7776.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1、2,且尸2恰为抛物线y2 = 8x的焦点，若/为双曲 线C与该抛物线的一个交点，且A4FIF2是以4F1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心 率为()A. 1+腻 B. 1+V2 C. a/3 D. V27.己知/1(%) = 2" + 2x,f(m) = 3,且m > 0,若a = /(2m),b

3、= 2f(rri),c = /(m + 2),则 a,b,c的大小关系为()A. c < b < aB. a < c < bC. a < b < cD. b < a < c8.己知y =/(%)是定义在R上的奇函数，且/(%) = (" ：-1,当函数y =/(x-l)-i-/c(%-2)(其中k>0)的零点个数取得最大值时，则实数k的取值范围是()A. (0,6-闻) B. (6 - V30, 2 - V2)C. ($6-胸 D.弓,2-烟 二、填空题9 . 一个几何体的三视图如图所示(单位cm),则刻几何体的体枳为 cm3.王

4、震周京楂图1RW»10 .在极坐标系中，点A的极坐标是(1,乃)，点P是曲线C:2=2sin8上的一个动点, 则归山的取值范围是.11 .如图，在边长为1的正方形"BC内任取一点M,则点M恰好落在阴影内部的概率12 .在 MBC中，A = ：,A6 = 8,8 的角平分线6。= JI ,则6c的长 为.13 .在边长为2的正方形ABCO中，动点M和N分别在边6c和C。上，且BM=ABC.DN =成，则丽晨丽的最小值为.42 + 1三、解答题14 .已知函数/'（x） = sin （% 当 sin% V3cos2%,% 6 R.（1）求函数/（%）的最小正周期的最大值

5、：（2）求函数/（%）在。，石上的单调区间. O 315 .某商场五一期间搞促销活动，顾客购物满一定数额可自愿进行以下游戏：花费10元 从1,234,5,6中挑选一个点数，然后掷骰子3次，若所选的点数出现，则先退还顾客10元, 然后根据所选的点数出现的次数，每次再额外给顾客10元奖励：若所选的点数不出现， 则10元不再退还.（1）某顾客参加游戏，求该顾客获奖的概率：（2）计算顾客在此游戏中的净收益X的分布列与数学期望.(1)16 .如图，在三棱锥夕一A5C中，Q4_L底面ABC,点。、上分别在梭尸8、PC上, PA = AB = 2, ZABC = 60°, ABC A = 90&#

6、176;,且。石 5c.求证：5cl.平面B4C；(2)(3)当点。为尸夕的中点时，求AO与平面P4C所成角的正切值;是否存在点E使得二面角AP为直二面角？并说明理由.17 .设椭圆E的方程为真+忘=l(a >b> 0),点。为坐标原点，点4的坐标为(a, 0),点B的 坐标为(0”),点M在线段48上，满足|BM| = 2MMi，直线0M的斜率为由.(1)求椭圆E的离心率；(2)设点C的坐标为(-a,0)JV为线段BC的中点，点N关于直线48的对称点的纵坐标为, 求椭雕的方程.18 .已知数列aQ和5满足牝。2即=(V2)&«,n e N*,若a为等比数列，且的

7、 = 6 + Z?2 (1)求出及数列g的通项公式;(2)设。= -6 N*,记数列0的前几项和为S. an °n求加：若又之5恒成立，求正整数k的值.19 .已知函数/(x) = x2+ar+Lg() = e* (其中e为自然对数的底数).(1)若 =1,求函数y = 分g(x)在区间-2,0上的最大值;(2)若a = T,关于X的方程“x) = kg(x)有且仅有一个根,求实数的取值范围;(3)若对任意玉,毛£°，2,弓W4，不等式|/(xJ_/(xJ|<|g(xJ_g(xJ|均成立,求实数1的取值范围.参考答案1. A【解析】试题分析：由题意得，z =

8、； :=，,所以z=l,故选A.1 + / (l + z)(l-z)1 1考点：复数的运算与包:数的模.2. C【解析】V3x-y < 0r试题分析：画出不等式组%-V3y+2>0所表示的平面区域如图，当动直线> y >0经过点尸其“)时，其在> 轴上截距3最大,将点尸。：百)的坐标代入直线Z =总+y可得 工血二2立，因此应选c.考点：线性规划所表示的区域与运用.【易错点晴】线性规划的知识是高考必考的考点之一，运用线性规划的有关知识解答最值问题不仅简捷而且明快.本题是一道极其普通的求解最值问题，解答这类问题的一般步骤是先画出不等式组所表示平面区域.再搞清所求最值

9、的解析式所表示的几何意义，数形结合求出目标(y3x-y <0%_加+2之0表示的区域，将目标函猴=y >oVs%+y看做是平行于二二一后的动直线，所求最值问题转化为求动直线 >=一3+z在 二轴上的截距的最大值问题.3. A【解析】试题分析：由于10g：=区(箱+ 1)照片二7.，因此n甩+1S = 1g 4-lg 3 + lg 5-lg 4+1虱亚+l)-lg 巴即 S = lgO + l)_lg3 =lg 二,所以当 n = 29 时,S =电 10 = 1,应选 A.考点：算法流程图的识读和理解.4. C【解析】命题 ：m£N,2 >2"为:v

10、en,2<2”故选c5. B【解析】试题分析：由于RME4与尸8相似，因此3尸=1x3,即6尸=,又 Ab=3,尸。=1,所以 A6 = 2jl6O = 2,8C = 4,所以 AC = J12 +16 = 2/ ；由切 6 /7割线定理16 = 2j7(2j7-AE),解之得4石=早，因此应选B.考点：圆中的定理及运用.【易错点晴】平面几何证明问题是新高考的新增内容之一,也是高考命题的必考内容.解答这 类问题的关健是熟悉圆中的一些重要定理和圆与直线的位置关系.本题在求解时，充分借助 题设中的一些条件，先运用两个三角形与尸6的相似求出8尸二JJ,再在 AA6c中运用勾股定理求出4。= 2

11、/，最后运用切割线定理建立了关于AE的方程 16 = 2 J7(2 J7 - AE),通过解方程从而使得本题获解.6. B【解析】试题分析：由题设可知F式-2.01外(2。,设盘与J。),则由题设且用二招月二4,所以由抛 物线的定义可知+2 =4,即/ =2代入= 8%得比=16,所以AF = J" +16 =4点由双曲线的定义2 = 4 JI4,因此离心率e = = -1= 0 + 1口 工狎-2 ，应选B.考点：双曲线抛物线的定义及运用.7. D【解析】试题分析：Vf (m) =2n-2-m=3, m>0,.,.2m=3-2-m>2,/.b=2f (m) =2x3=6

12、,a=f (2m) =22nM-2-2m= (2m+2-m) 2-2=7,c=f (m+2) =2*+20=4232皿>8,4/.b<a<c考点：函数性质8. C【解析】试题分析：由题设可以画出函数y = /(x1)的图象(如图)，在方程fG-1) =以x 2)+=*中，方程二咫丫-2)+ :是过定点尸(2.:)的动直线，当动直线经过坐标原点0时，算得k = g；当动直线与j； = a +1) ： -1相切吐容易算得左=6 -而，结合图形可以看出:当-<k<6- 时，两个函数的图象的交点最多,即函数ga)= /(x-l)-Mx-2)-1的42零点的个数最大，因此应

13、选C.考点：函数的零点和函数的图象的运用.【易错点晴】数形结合是高考命题中最受青睐的数学思想，也解答函数问题的法宝，本题设置 的目的是考查数形结合的数学思想和分析问题解决问题的能力以及运算求解能力.本题在解 答时充分借助题设条件，先将函数y =的图象画出来，再画出过定点尸的动直线 )二封工-2) + 1，然后运用数形结合的数学思想，将动直线进行旋转，找出极限点的位置时 一的斜率，从而使问题简捷获解.9.【解析】试题分析：从几何体的三视图可以看出该几何体是底部为边长为2、百高为2的正三棱柱，上部是一个半球体，所以其体积为V = x(2，5尸x2 +x±；rxl = Zl + 6苏.42

14、 33考点：三视图的识读和几何体的体枳的计算.10. 72-1,5/2 + 1【解析】试题分析：将(1,乃)化为直角坐标是4(1,0),将C:夕= 2sind化为直角坐标方程为/ +)/-2y = 0,则曲线是圆心为(0,1),半径为1圆.圆心(0,1)到点A(l,0)的距离为 d = VI+T = V2 ,圆上的动点P到定点的距离PA的最大值为V2 + 1；最小值为V2-1,所以PA的取值范围是JI - 1,+1.考点：圆的极坐标方程和直角坐标方程的互化.11. !4【解析】试题分析：因为阴影部分的面积5=蓝八="力=久1 。）= *所以由几何概型的计 J。p =-算公式可得概率为

15、4.考点：定积分公式和几何概型计算公式的运用.12. 瓜【解析】/7_ 5试题分析：设AO二人在AASO中运用余弦定理得"+ " = 1,解之得t =-.再 2运用正弦定理得T=%，即Sin.=力一，所以2,即8 = 2,由此 2万.5242 126sni sin 32可推得c = 2,则有AC =点.6在AA6C中运用余弦定理得BC = J2 + 2 + 2 =屈.考点：正弦定理余弦定理的运用.【易错点晴】本题设置的目的是考杳正弦定理余弦定理在解三角形中的运用.正弦定理的作 用是实现三角形中的边角转化；而余弦定理的重要作用是建构方程或不等式.解答本题的关 键是如何求出A。

16、的长，为使用正弦定理创造条件，然而在这里就是运用余弦定理建立关于 AO的方程,从而突破了解答本题的难点.在解答过程中，求出角6 =2后，又借助等腰三角6形的特征,在AA5c中直接使用余弦定理求出了 8c = J2 + 2 + 2 =屈.13. -1【解析】 , 42 试题分析：因为AM = A与+ 5M = A方+ /156,5" = 6。+。% =4。一45 + 二丁:。.42 + 1.,， 4/? 4? 2 34注意到 AB = DC. AB ± 5C,所以 AM - BN = ABC -AB' = 4()，令 4Z + 142 + 1, , /3=-sin2x

17、 cos 2% 2/（%）的最小正周期T =等=凡/的最大值为（2）由可知乃在区间寺上单调递增，在区间作当上单调递减. X La X LaJL/而u -？金里，争U珞，爷，所以函数/（X）在哀书上单调递增,在区间玲，争 上单调递减.考点：正弦函数的单调性和周期性等有关知识的运用. _ S/ + 4414% + 1 = 1>1,则4加6" = 3_:=/ + 2 524 5 = 1,当且仅当，=2,/1 = :取等 tt4号.考点：向量的几何运算和数量积公式及的运用.【易错点晴】本题考查的是向量的几何形式为背景的数量的最小值问题.解答时充分借助题设条件和向量运算的三角形法则,将向

18、量AA/表示为丽 = AB+BM = AB + ABC;将向 _, ,42 星即 表示为BN = BD + DN = AD AB +OC,这是解答好本题的关键.然后运用42 + 1向量的乘法运算建立关于2为变量的目标函数，在求该函数./* 5/ + 44AM - BN = = t + -j-5的最小值时，巧妙地运用了基本不等式这一重要工具.14. 7 = »,乎（2）增区间为6,颗,减区间为珞，引.【解析】试题分析：（1）依据题设条件和三角变换公式先化简,再用周期公式求解；（2）借助题设条 件运用正弦函数的单调性进行求解.试题解析：(1) v /(%) = sin (% )sinx

19、V3cos2% = cosxsinx 5/3cos2x15. (1)91216;（2）分布列见解析，一二-. 10S2【解析】 试题分析：（1）依据题设条件运用对立事件的概率公式求解：（2）借助题设条件直接运用数学期望的公式求解.试题解析：(1)设“顾客所选点数出现”为事件力广顾客所选点数不出现”为事件从因为事件4与事件B互为对立，所以该顾客获奖的概率为：P=1 P(B) = 1 - (1)3 =恕.(2)依题意，随机变量X的所有可能取值为10,10,20,30.5 2125, 1 5 97525P(X=-10) = (-)3 = P(X = 10) = .-.(-)P(X=20) = Ca(

20、2.*=/p(x = 30) = g)2 = WX的分布列为:X-10102030p12521625725721216 E(X) = (-10) x+ 10 X- + 20X-+ 30 X . k 7 k 72167272216108考点：概率和随机变量的概率分布和数学期望的计算公式等有关知识的运用.16. (1)证明见解析；2； (3)存在点E ,-,-17 1 77)【解析】试题分析：(1)依据题设条件运用空间向量的知识推证；(2)借助题设条件运用空间向量的数量枳进行求解；(3)借助题设条件和向量的数量积进行推证求解.试题解析：(1)如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0

21、,0),8(020),。3-2 且,2 zr L,P(0,0,2),则 Ae= ,1,0，巳4 = (0,0,2).设平面尸AC的一个法向量为 = (x,y,z),则，小 AC = 0，即n-PA = 0方=(3-1、0)， BC =JJ 1 1 一 - -,0 =BC/n,:. BC1.平面尸4。.222>/33Ta + 2>- >不妨设y=1,可得2z = o(2).。为尸8的中点,D(0,l,l),/.AD =(0,1,1),.-.cos(AD,w) = y = -设AO与平面P4C所成角为a则 SU10 = cos河，讣乎3"7=孚. ”嚼邛(3)设存在着点

22、E,且PE = /IPC =344.,-22 , M PD = APB =(0,22, -22),/. E =2 2，一，2 24 ,0(0,24,2 24),尤£(0,1), 2.AE =3/.,2 24 ,DE = 2(/T；,-,0 ，设平面ADE 一个法向量为 122 二 (x,y,Z),则 ,2x+|ly+(2-22)z = 02x-2y=022同理可得平面尸£归一个法向量为u = 1,1,由£ = 一 + 1 +3Z2-1=0,解得4 .丸=尸0,1),则e存在点上使得二面角A OEP为直二面角.17 11考点：空间向量的数量积等有关知识在立体几何中的

23、运用.【易错点晴】空间向量是解答空间的直线与平面、平面与平面的平行与垂直等位置关系及角 度距离的计算等问题的有效而重要的工具之一.本题是一道典型的考杳空间线面位置关系和 角度和距离计算问题的典例.本题设置的目的是考查的是空间的直线与平面平行的推证问题 和角度距离的计算问题.求解时通过建立空间直角坐标系，最终将问题转化为空间向量的计 算问题.至17. （1） 5 ； （2）5 + 9=1.【解析】试题分析：（1）依据题设条件和离心率的定义求解：（2）借助题设条件运用建立方程组求解. 试题解析：（1）由题设条件，可知点M的坐标为（氯沏，由盘，得；=噂,整理得。=麻,面c = 3 3X U 4a X

24、 U4a2 b2 = 2b,所以椭圆E的离心率为。=£ =卷=言.（2）由（1）可知。=同，则直线的方程为高+ *=1,由B（0,b）,C（展瓦0）,可得N（-与设点N关于直线形的对称点S的坐标为（4,则线段NS的中点T的坐标为（李理,打r 7rSb + 医b十"一£学因为点T在直线48上，且七5 kAB = 1,则有b 13 一十一 一 b ，解得=一手,b = 3, =时故a = 3幅所以椭圆E的方程为捻+!=L考点：椭圆的有关知识及运用.18. （1） &3"5 + 1）,九 CN*； （2）Sn = 47 =；k=4.【解析】试题分析：（

25、1）依据题设条件和等比数列的定义求解：（2）借助题设条件运用和不等式的性 质求解.试题解析：(1)由题意，an = (&)"， W N*,3 = 6,二=/罪=(0防一力=8.由的 =2,a3 = 8,得q2 = £ = 4,解得公比q = 2或q = -2 (不合题意，舍去),则数列也小的 通项公式为n(n+l) -an = 2n,n e N”,则有的。2即=2(1+2+-+n) = 2 2 = (，2)如，所以数列4的通项公式为 bn = n(n + 1),几 C N"(2)由(1)可知呢=一己=嘉一弓_今)，底旷,则% =(如去+京)(I + G 手

26、+6 击)，:S"=击募，九七叶.v q = 0, c2 = 77 > °»c3 =盘 >。'。4 =总> 0,当之 5 时,cn =；产9)-1,而 (n+l)(n+2) n(n+l) ,> n(n+l) 5(5+1) 15 0n cn.1 严5+1)n 2FH1，即九之5时,。=而短一一 1 V0,综上所述，对任意WN*,S42S/恒成立，故正整数k的值为4. 考点：等比数列的定义与数列的通项和前"项和等有关知识的运用./ / 319. (1) 1； (2) 0，- u； (3) 6/e-l,2-21112. e /

27、I e/【详解】试题分析：(1)求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；(2)f (x) x2 _ Y+ 若a=-I,关于x的方程f (x) =kg (x)有且仅有一个根，即k = ' /、=:;,有且女 ey* _ y I 13只有一个根，令，可得h (x)极大=h (2) = , h (x)极小=h(l )=-,exe-e31进而可得当k> =或ovkv-时，k=h(x)有且只有一个根；(3)设占 <"因为g(x) = e" ee在0, 2单调递增，故原不等式等价于|f(X1) -f(X2)|<g(X2)-g(X1)在 XI、X?GO, 2, 且X1VX2恒成立,当心-(e”2x)恒成立时，a>-l；当aSe'-2x恒成立时，a<2-21n2,综合讨论结果，可得实数a的取值范围试题解析：(D当4 =