newch函数单调性与曲线的凹凸性实用教案

1、 3.2 函数(hnsh)单调性与曲线的凹凸性一、函数的单调(dndio)性二、曲线的凹凸性第1页/共28页第一页，共29页。一、函数一、函数(hnsh)的单调性的单调性yo)(xfy yo)(xfy abAB定理定理1（函数（函数(hnsh)单调性判别单调性判别法）法）abBA1. 函数(hnsh)单调性的判别法第2页/共28页第二页，共29页。证证应用(yngyng)拉氏定理,得第3页/共28页第三页，共29页。例例1 1解解注意注意: :函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数(do sh)(do sh)在这一区间上的符号来判定，而不能用在这一区间

2、上的符号来判定，而不能用一点处的导数一点处的导数(do sh)(do sh)符号来判别一个区间上的符号来判别一个区间上的单调性单调性几何上看：单调(dndio)区间的分界点是使f (x)=0的点.第4页/共28页第四页，共29页。例2 讨论(toln)函数 y = x - sinx 的单调性.解y=1-cosx0， y=x-sinx在(- ，+)上单调(dndio)增加第5页/共28页第五页，共29页。2. 2. 单调(dndio)(dndio)区间的求法问题问题: :如例如例1 1，函数在定义区间上不是，函数在定义区间上不是(b shi)(b shi)单调的，但在各个部分区间上单调单调的，但

3、在各个部分区间上单调定义定义: :若函数若函数(hnsh)(hnsh)在其定义域的某个区间在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数内是单调的，则该区间称为函数(hnsh)(hnsh)的单的单调区间调区间. .导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点第6页/共28页第六页，共29页。例例3 3解解单调(dndio)区间为注:区间内个别(gbi)点导数为零或不存在 , 不影响该区间内的单调性.第7页/共28页第七页，共29页。讨论函数的单调讨论函数的单调(dndio)性可以按以下步骤进性可以按以下步骤进行：行：1）确定(qudng)函数 f (x)的定义域；2）求 f (x)，找出

4、 f (x)=0和 f (x)不存在的点，以这些点为分界点，把定义域分成若干(rugn)区间；3）在各个区间上判别 f (x)的符号，以此确定 f (x)的单调性.第8页/共28页第八页，共29页。例例4 4解解单调(dndio)区间为第9页/共28页第九页，共29页。例例5 53. 3. 利用单调(dndio)(dndio)性证明不等式证证。第10页/共28页第十页，共29页。例6 证明(zhngmng)当x0时，证令 F(x)在(0,+)内单调上升(shngshng)，又F(0)=0，F(x)在x=0处连续，第11页/共28页第十一页，共29页。例7 证明方程(fngchng) 有且仅有一

5、个实根.证明(zhngmng)：又 由介值定理(dngl)： f (x) 在（-，+）上有且仅有一个实根。 f (x)在（- ，+ ）上单调上升。第12页/共28页第十二页，共29页。二、曲线二、曲线(qxin)的凹凸性的凹凸性问题:如何研究(ynji)曲线的弯曲方向?xyo图形图形(txng)上任意弧段位上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC拐点拐点xyo1x2xxyo1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方x12( ,()(1) ()xf xf xx)(,(xfx12(1) (01)xxx 第13页/共28页第十三页，共29页。1.1.曲线凹凸与拐点曲线

6、凹凸与拐点(ui din)(ui din)的定义的定义定义定义(dngy)1( (凸凸的的（或（或凸弧凸弧）)）)1212(1)()(1) () )( fxxf xf xxyo1x2x12(1)(01)xxx)(,(xfxx12( ,()(1) ()xf xf xxyo1x2xx)(,(xfx( )yf x 12(1)(01)xxx12( ,()(1) ()xf xf x第14页/共28页第十四页，共29页。12121212(1)()(1) ( ( ),(01),)(fxxff xIx xIxxff xIxx 设在 上连续 如果对设在 上连续 如果对恒有恒有则称在 上的图形是的（则称在 上的图

7、形是的（凹凹或或凹弧凹弧）.）.( (凸凸的的（或（或凸弧凸弧）)）)1212(1)()(1) () )( fxxf xf x1.1.曲线凹凸与拐点曲线凹凸与拐点(ui din)(ui din)的定义的定义定义定义(dngy)1xyoABC拐点拐点第15页/共28页第十五页，共29页。2. 2. 曲线凹凸曲线凹凸(o t)(o t)的判定的判定yo)(xfy yo)(xfy abABabBA定理定理2 2（曲线凹凸（曲线凹凸(o t)(o t)性判别法）性判别法）第16页/共28页第十六页，共29页。例例8 8解解注意(zh y)到,第17页/共28页第十七页，共29页。EX1EX1解解注意注

8、意( () )区间区间(q jin)(q jin)内个别点二阶导数为零或内个别点二阶导数为零或不存在不存在, , 不影响该曲线的凹凸性不影响该曲线的凹凸性. .(2) (2) 由拐点的定义(dngy)(dngy)及定理, , 可得拐点的判别法如下: :第18页/共28页第十八页，共29页。例例解解凹的凸的凹的拐点(ui din)拐点(ui din)1) 1) 求2) 2) 求拐点(ui din)(ui din)可疑点坐标3) 3) 列表判别211327()，(0,1)23第19页/共28页第十九页，共29页。例10 求 的凹凸区间及其拐点。3)1()(xxxf 解：令得, 0)( xf,21

9、x当x=0时， 不存在(cnzi)。第20页/共28页第二十页，共29页。用 x=0和 x = -1/2将定义域分开(fn ki)：)443,21(3 和（0，0）为曲线的拐点。注：f (x)=0和 f (x)不存在的点均是拐点(ui din)可疑点。x(-,21)21(21,0)0(0,+)f (x)+0 不不存存在在+f(x)34430第21页/共28页第二十一页，共29页。小结小结(xioji)1. 1. 可导函数单调(dndio)(dndio)性判别在 I I 上单调(dndio)(dndio)递增)(xf在 I I 上单调递减2.2.曲线凹凸与拐点的判别+拐点 连续曲线上的凹凸分界点

10、第22页/共28页第二十二页，共29页。Z 思考思考(sko)第23页/共28页第二十三页，共29页。Z 思思考考(sko)第24页/共28页第二十四页，共29页。有位于(wiy)一直线的三个拐点.1.求证求证(qizhng)曲线曲线 证明证明(zhngmng)：备用题备用题第25页/共28页第二十五页，共29页。2. 证明证明(zhngmng)时, 成立(chngl)不等式证证: 第26页/共28页第二十六页，共29页。证明(zhngmng):当时，有证明证明(zhngmng): 3 .第27页/共28页第二十七页，共29页。感谢您的观看(gunkn)！第28页/共28页第二十八页，共29页。NoImage内容(nirng)总结3.2 函数单调性与曲线(qxin)的凹凸性。3.2 函数单调性与曲线(qxin)的凹凸性。几何上看：单调区间的分界点