经典：平面与平面垂直的性质

1、2021/8/61平面与平面垂直的性质2021/8/62直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一个平面的两条直线平行.线线平行线面垂直“垂直垂直”变变“平行平行”符号语言符号语言:简简 记记:作作 用用:关关 键键:ba aababa/ a aa a寻找平面寻找平面a a2021/8/63常用结论常用结论2.垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行.1.两平行直线，其中一条垂直于一个平两平行直线，其中一条垂直于一个平 面，则另一条直线也垂直于这个平面面，则另一条直线也垂直于这个平面.ba aaa ab bl2021/8/64

2、温故知新温故知新: 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直面角是直二面角，就说这两个平面垂直.1.面面垂直的定义面面垂直的定义2.面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直平面垂直.作用：作用：线面垂直 面面垂直b ba aa ab b llb ba aOl2021/8/65提出问题：提出问题：?.: 则则该该命命题题成成立立吗吗新新命命题题的的位位置置调调换换一一下下，构构造造与与结结论论中中的的条条件件如如果果将将b ba ab ba ab b

3、a ab bb ba aa ab b lllllb ba aOl2021/8/66分析问题：分析问题： 如果平面如果平面a a与平面与平面b b互相垂直，直线互相垂直，直线b在平在平面面a a 内，那么直线内，那么直线 b 与平面与平面b b 的位置关系的位置关系有如下几种可能有如下几种可能:a ab bba ab ba ab bbb2021/8/67.:.,:,b ba ab ba ab ba a blbbl求求证证已已知知如如图图:证明证明,点点于于交直线交直线即即设直线设直线OlAObb ba abABO, lOBO 作直线作直线内过内过在平面在平面b b,lAOlb 即即Q所成的二面角

4、的平面角所成的二面角的平面角与与为为b ba aAOB ,900 AOB，又又b ba aQ,lbOBb 且且即即.b b bOOBl Ql2021/8/68线面垂直面面垂直作用作用:平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直两个平面垂直,则一个平面内垂直于交则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直线的直线与另一个平面垂直.a ab bbla a b b l b b ba a b bb lb a a2021/8/69且有什么关系？且有什么关系？平面平面与与，直线，直线的垂线的垂线作平面作平面过点过点内内在平面在平面，点，点平面平面设平面设平面a ab ba ab ba

5、aaaPP , a结论结论1：两个平面垂直，则过某个平面内两个平面垂直，则过某个平面内一点垂直于另一个平面的直线在该平面内一点垂直于另一个平面的直线在该平面内.思考思考1.a a aa.a ab bb ba aPP.2021/8/610? .,位位置置关关系系如如何何与与平平面面则则直直线线且且直直线线已已知知平平面面a ab ba ab ba aaaa 结论结论2:垂直于同一平面的直线和平面平行垂直于同一平面的直线和平面平行.思考思考2.a ab bab( (a a a ) )2021/8/611? ,的的位位置置关关系系如如何何与与平平面面则则直直线线且且已已知知平平面面 a ab b a

6、 a b b b ba all 结论结论3:如果两个相交平面都垂直于另一个平如果两个相交平面都垂直于另一个平面面,那么这两个平面的交线垂直于这个平面那么这两个平面的交线垂直于这个平面.思考思考3.l a ab bnmab.2021/8/612在在 内任取一点内任取一点A（不在（不在m,n上）上）,在在 内过内过A点作直点作直线线 a n，在，在 内过内过A点作点作直线直线 bm， a ab blnmA证法证法1：,mn b b a a设设 nan a a a a a aa ala lAbalbla同理同理.2021/8/613在在a a 内作直线内作直线a n证法证法2：在在b b 内作直线内

7、作直线bm a ab blnmba,mn b b a a设设 ba同理同理 a aa abaab/ lbbb ba ab ba a/ b ba a llblb/2021/8/614常用结论常用结论1.两个平面垂直，则过某个平面内一点两个平面垂直，则过某个平面内一点 垂直于另一个平面的直线在该平面内垂直于另一个平面的直线在该平面内.2.垂直于同一平面的直线和平面平行垂直于同一平面的直线和平面平行.a a a3.如果两个相交平面都垂直于另一个平面如果两个相交平面都垂直于另一个平面, 那么这两个平面的交线垂直于这个平面那么这两个平面的交线垂直于这个平面.2021/8/6151.如图如图,AB是是 O

8、的直径的直径,C是圆周上不同是圆周上不同 于于A，B的任意一点的任意一点,平面平面PAC平面平面ABC,练习练习(2)判断平面判断平面PBC与平面与平面PAC 是否垂直是否垂直,并证明并证明.(1)求证求证: BC平面平面PAC;.PACOB2021/8/616例例1.如图如图,已知已知 PA平面平面ABC, 平面平面PAB平面平面PBC, 求证：求证：BC平面平面PAB.线面垂直PBACD面面垂直线线垂直2021/8/617证明：证明： 过点过点A作作AEPB,垂足为垂足为E平面平面PAB平面平面PBC，AE平面平面PBC.BC 平面平面PBC,PA平面平面ABC，PABC.平面平面PAB平

9、面平面PBCPBAEBCBC 平面平面PBC,故故 BC平面平面PABPBACD2021/8/618例例2.如图，将一副三角板拼成直二面角如图，将一副三角板拼成直二面角ABCD, 其中其中BAC90, ABAC , BCD90 , CBD30, (1) 求证求证: 平面平面BAD平面平面CAD; (2) 若若CD2, 求求C 到平面到平面BAD的距离的距离; (3) 求二面角求二面角ABDC的正切值的正切值.ACD30BMNE(1) 证证AB平面平面ACD;(2)在在RTACD中求中求斜边上的高斜边上的高CE5152(3)tanq q 22021/8/619练习 如图如图,四棱锥四棱锥PABC

10、D的底面是矩形，的底面是矩形，AB2，BC ，侧面，侧面PAB是等边三角形，是等边三角形，且侧面且侧面PAB底面底面ABCD. (1)证明：侧面证明：侧面PAB侧面侧面PBC； (2)求侧棱求侧棱PC与底面与底面ABCD所成的角所成的角.PABCDE22021/8/620课堂小结课堂小结2.面面垂直的性质推论：面面垂直的性质推论：1.平面与平面垂直的性质定理：平面与平面垂直的性质定理：b ba ablb ba ab ba ab ba a blbblb baa aPb ba aabc a ab blnmbaa a aa a/a l面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直2021/8/621作业作业高效学

11、习作业本高效学习作业本P110. 2021/8/6222.已知两平面互相垂直已知两平面互相垂直,下列命题中正确下列命题中正确 的有的有_个个一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内 的任意直线；的任意直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面 内的无数条直线；内的无数条直线；一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个 平面；平面；过一个平面内的任意一点做交线的垂线过一个平面内的任意一点做交线的垂线,则此则此 垂线必垂直于另一个平面。垂线必垂直于另一个平面。 A 3; B 2 ; C 1 ; D 0.B2021/8/623