离散型随机变量的分布列练习

1、厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校组合组合宁乡县职业中专学校数学组宁乡县职业中专学校数学组离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列董永清董永清厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校 要点梳理要点梳理1.1.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列 (1)(1)如果随机试验的结果可以用一个如果随机试验的结果可以用一个_来表示来表示, ,那么这样的变量叫做那么这样的变量叫做_;_;按一定次序一一列出按一定次序一一列出, ,这样的随机变量叫做这样的随机变量叫做_ _._.随机变量随机变量离散型随机变量离散型随机变量变量变量基础知识基础知识 自主学习自主

2、学习厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校(2)(2)设离散型随机变量设离散型随机变量 可能取的值为可能取的值为x x1 1, ,x x2 2,x xn n , , 取每一个值取每一个值x xi i( (i i=1,2,=1,2,n n) )的概率的概率P P( =( =x xi i)=)=p pi i, , 则称表则称表 为随机变量为随机变量 的概率分布的概率分布, ,具有性质具有性质: :p pi i _0,_0,i i=1, =1, 2, 2,n n；p p1 1+ +p p2 2+p pi i+p pn n=_.=_. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取离散

3、型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取 这个范围内各个值的这个范围内各个值的_._.x x1 1x x2 2x xi ix xn nP Pp p1 1p p2 2p pi ip pn n1 1概率之和概率之和厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校2.2.如果随机变量如果随机变量X X的分布列为的分布列为 其中其中00p p1,44的概率的概率. . 题型分类题型分类 深度剖析深度剖析厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校解解 (1)(1)X X的可能取值为的可能取值为3,4,5,6,3,4,5,6,从而有：从而有：故故X X的分布列为的分布列为 .21CC

4、C)6(,103CCC)5(,203CCC)4(,201CC)3(3625113624113623113633XPXPXPXPX X3 34 45 56 6P P20120310321厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校 求离散型随机变量的分布列步骤是求离散型随机变量的分布列步骤是:(1):(1)找找出随机变量出随机变量X X的所有可能取值的所有可能取值x xi i( (i i=1,2,=1,2,);,);(2)(2)求出取各值求出取各值x xi i的概率的概率P P( (X X= =x xi i) )；(3)(3)列表列表, ,求出分布列后要注意应用性质检验所求的求出分布

5、列后要注意应用性质检验所求的结果是否准确结果是否准确. . 探究提高探究提高.54105103)6()5()4()2(XPXPXP厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校知能迁移知能迁移1 1 袋中有袋中有3 3个白球个白球,2,2个红球和若干个黑个红球和若干个黑 球球( (球的大小均相同球的大小均相同) )，从中任取，从中任取2 2个球个球, ,设每取出一设每取出一 个黑球得个黑球得0 0分分, ,每取出一个白球得每取出一个白球得1 1分分, ,每取出一个红每取出一个红 球得球得2 2分分, ,已知得已知得0 0分的概率为分的概率为 (1)(1)求袋中黑球的个数及得求袋中黑球

6、的个数及得2 2分的概率；分的概率； (2)(2)设所得分数为设所得分数为 , ,求求 的分布列的分布列. . .61厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校解解 (1)(1)设有黑球设有黑球x x个个, ,则则(2) (2) 可取可取0,1,2,3,4,0,1,2,3,4, 的分布列为的分布列为 . 4,61CC252xxx解得.3611CCCCC)2(2914122923P0 01 12 23 34 4P P6131361161361厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校题型二题型二 离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量分布列的性质【例例2 2】设离散

7、型随机变量设离散型随机变量X X的分布列为的分布列为 求：求：(1)2(1)2X X+1+1的分布列；的分布列； (2)|(2)|X X-1|-1|的分布列的分布列. . X X0 01 12 23 34 4P P0.20.20.10.10.10.10.30.3m m厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校解解 由分布列的性质知：由分布列的性质知：0.2+0.1+0.1+0.3+0.2+0.1+0.1+0.3+m m=1,=1,m m=0.3.=0.3.首先列表为：首先列表为：从而由上表得两个分布列为从而由上表得两个分布列为: :(1)2(1)2X X+1+1的分布列：的分布列

8、：X X0 01 12 23 34 42 2X X+1+11 13 35 57 79 9| |X X-1|-1|1 10 01 12 23 32 2X X+1+11 13 35 57 79 9P P0.20.20.10.10.10.10.30.30.30.3厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校(2)|(2)|X X-1|-1|的分布列：的分布列： 利用分布列的性质利用分布列的性质, ,可以求分布列中的参可以求分布列中的参数值数值. .对于随机变量的函数对于随机变量的函数( (仍是随机变量仍是随机变量) )的分布列的分布列, ,可以按分布列的定义来求可以按分布列的定义来求.

9、. | |X X-1|-1|0 01 12 23 3P P0.10.10.30.30.30.30.30.3探究提高探究提高厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校知能迁移知能迁移2 2 设随机变量设随机变量 的分布列的分布列 ( (k k=1,2,3,4,5).=1,2,3,4,5). (1) (1)求常数求常数a a的值；的值； (2)(2)求求 (3)(3)求求 解解 所给分布列为所给分布列为 (1)(1)由由a a+2+2a a+3+3a a+4+4a a+5+5a a=1,=1,得得akkP)5();53( P).107101(PP Pa a2 2a a3 3a a4

10、4a a5 5a a5152535455.151a厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校334215553454151515532155124115155( ) ()()()().()()().PPPPPP 或或.)()()()(,)(521531521515352511071015352511071013 PPPP故故满足只有只有因为为厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校题型三题型三 利用随机变量分布列解决概率分布问题利用随机变量分布列解决概率分布问题 【例例3 3】 (12(12分分) )袋中装着标有数字袋中装着标有数字1,2,3,4,51,2,3,4

11、,5的小球的小球 各各2 2个个, ,从袋中任取从袋中任取3 3个小球个小球, ,按按3 3个小球上最大数字的个小球上最大数字的 9 9倍计分倍计分, ,每个小球被取出的可能性都相等每个小球被取出的可能性都相等, ,用用X X表示表示 取出的取出的3 3个小球上的最大数字个小球上的最大数字, ,求：求： (1)(1)取出的取出的3 3个小球上的数字互不相同的概率；个小球上的数字互不相同的概率； (2)(2)随机变量随机变量X X的分布列；的分布列； (3)(3)计分介于计分介于2020分到分到4040分之间的概率分之间的概率. .厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校解解 (

12、1)(1)方法一方法一 “一次取出的一次取出的3 3个小球上的数字互个小球上的数字互 不相同不相同”的事件记为的事件记为A A, ,则则 3 3分分方法二方法二 “一次取出的一次取出的3 3个小球上的数字互不相同个小球上的数字互不相同”的事件记为的事件记为A A,“,“一次取出的一次取出的3 3个小球上有两个数字相个小球上有两个数字相同同”的事件记为的事件记为B B, ,则事件则事件A A和事件和事件B B是互斥事件是互斥事件. 1. 1分分 3 3分分.32CCCCC)(31012121235AP.32311)(1)(,31CCCC)(310182215BPAPBP所以因为厚德厚德 博学博学

13、 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校(2)(2)随机变量随机变量X X的可能取值为的可能取值为2,3,4,52,3,4,5，取相应值的概，取相应值的概 率分别为率分别为 随机变量随机变量X X的分布列为的分布列为 1010分分3431012212424331010122126263310101221282833101012430235153461085815C(),CC CC C(),CCC CC C(),CCC CC C().CCP XP XP XP X分分分分分分分分X X2 23 34 45 5P P301152103158厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校(3)

14、(3)由于按由于按3 3个小球上最大数字的个小球上最大数字的9 9倍计分，所以当计倍计分，所以当计 分介于分介于2020分分 4040分时分时, ,X X的取值为的取值为3 3或或4,4,所以所求概率为所以所求概率为 在解决概率分布问题时要逐渐将问题回归在解决概率分布问题时要逐渐将问题回归到分布列上来到分布列上来, ,这样所求的概率就可由分布列中相应这样所求的概率就可由分布列中相应取值的概率累加得到取值的概率累加得到. . 分12.3013103152)4()3(XPXPP探究提高探究提高厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校知能迁移知能迁移3 3 一批产品共一批产品共101

15、0件件, ,其中其中7 7件正品，件正品，3 3件次件次 品品, ,每次从这批产品中任取一件每次从这批产品中任取一件, ,在下述三种情况下在下述三种情况下, , 分别求直至取得正品时所需次数分别求直至取得正品时所需次数X X的概率分布列的概率分布列. . (1) (1)每次取出的产品不再放回去；每次取出的产品不再放回去； (2)(2)每次取出的产品仍放回去；每次取出的产品仍放回去； (3)(3)每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到 这批产品中这批产品中. . 厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校解解 (1)(1)由于总共有由于

16、总共有7 7件正品件正品,3,3件次品件次品, ,所以，所以，X X的可的可 能取值是能取值是1,2,3,4,1,2,3,4,取这些值的概率分别为取这些值的概率分别为所以所以X X的概率分布列为的概率分布列为 .1201778192103)4(,12078792103)3(,30797103)2(,107) 1(XPXPXPXPX X1 12 23 34 4P P10730712071201厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校(2)(2)由于每次取出的产品仍放回去由于每次取出的产品仍放回去, ,下次取时完全相下次取时完全相 同同, ,所以所以X X的可能取值是的可能取值是1

17、,2,1,2,k k,相应的取值概相应的取值概率是：率是：所以所以X X的概率分布列为的概率分布列为 .107)103()(,000163107103103)3(,10021107103)2(,107) 1(1kkXPXPXPXPX X1 12 23 3k kP P10710021000163107)103(1k厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校(3)(3)与情况与情况(1)(1)类似类似, ,X X的可能取值是的可能取值是1,2,3,41,2,3,4，而其相，而其相 应概率为应概率为所以所以X X的概率分布列为的概率分布列为 .50031010101102103)4(,

18、50027109102103)3(,256108103)2(,107) 1(XPXPXPXPX X1 12 23 34 4P P107256500275003厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校 1.1.所谓随机变量所谓随机变量, ,就是试验结果和实数之间的一个对就是试验结果和实数之间的一个对 应关系应关系, ,这与函数概念本质上是相同的这与函数概念本质上是相同的, ,只不过在函只不过在函 数概念中数概念中, ,函数函数f f( (x x) )的自变量是实数的自变量是实数x x, ,而在随机变量而在随机变量 的概念中的概念中, ,随机变量随机变量X X是试验结果是试验结果.

19、 .方法与技巧方法与技巧思想方法思想方法 感悟提高感悟提高厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校2.2.对于随机变量对于随机变量X X的研究，需要了解随机变量将取哪的研究，需要了解随机变量将取哪 些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率, ,对对 于离散型随机变量于离散型随机变量, ,它的分布正是指出了随机变量它的分布正是指出了随机变量X X 的取值范围以及取这些值的概率的取值范围以及取这些值的概率. .3.3.求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列, ,首先要根据具体情况首先要根据具体情况 确定确定 的取值情况的取值情况

20、, ,然后利用排列、组合与概率知识然后利用排列、组合与概率知识 求出求出 取各个值的概率取各个值的概率. .厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校 掌握离散型随机变量的分布列掌握离散型随机变量的分布列, ,须注意须注意 (1)(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量分布列的结构为两行，第一行为随机变量X X所有所有 可能取得的值可能取得的值; ;第二行是对应于随机变量第二行是对应于随机变量X X的值的事的值的事 件发生的概率件发生的概率. .看每一列看每一列, ,实际上是实际上是: :上为上为“事件事件”, , 下为事件发生的概率，只不过下为事件发生的概率，只不过“事件事件

21、”是用一个反是用一个反 映其结果的实数表示的映其结果的实数表示的. .每完成一列每完成一列, ,就相当于求一就相当于求一 个随机事件发生的概率个随机事件发生的概率. . (2) (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列 的正误的正误. . 失误与防范失误与防范厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校1.1.随机变量随机变量X X的概率分布规律为的概率分布规律为 ( (n n=1,2,3,4),=1,2,3,4),其中其中a a是常数是常数, ,则则 的值的值 为为 ( ) ( ) A. B. C. D. A. B. C. D.

22、)()(1 nnanXP)(2521 XP32435465D练习练习厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校2.2.从一批含有从一批含有1313只正品只正品,2,2只次品的产品中只次品的产品中, ,不放回地不放回地 任取任取3 3件件, ,则取得次品数为则取得次品数为1 1的概率是的概率是 ( ) ( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 35323512353352B厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校3.3.如图所示如图所示, ,A A、B B两点两点5 5条连线并联条连线并联, ,它们在单位时间它们在单位时间 内能通过的最大信息量依次为内

23、能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.2,3,4,3,2.现记从中现记从中 任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量 为为 , ,则则 =_.=_.)8( P厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校解析解析 方法一方法一 由已知由已知, , 的取值为的取值为7,8,9,10,7,8,9,10, 的概率分布列为的概率分布列为 ,CCC)(,CCCC)(,CCCCC)(,CCC)(101105291038517351122351112123512221122351222 PPPP7 78 89 91010P P511035210

24、1厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校 方法二方法二 答案答案 .5410152103)10()9()8()8(PPPP.54CCC1)7(1)8(351222PP54厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校8.8.随机变量随机变量 的分布列如下：的分布列如下： 若若a a、b b、c c成等差数列成等差数列, ,则则 =_.=_. 解析解析 a a、b b、c c成等差数列成等差数列, , 2 2b b= =a a+ +c c, ,又又a a+ +b b+ +c c=1,=1,-1-10 01 1P Pa ab bc c) 1|(|P.)|(|,32131

25、 caPb 32厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校3.3.连续向一目标射击连续向一目标射击, ,直至击中为止，已知一次射击直至击中为止，已知一次射击 命中目标的概率为命中目标的概率为 则射击次数为则射击次数为3 3的概率为的概率为_._. 解析解析 “ “ =3”=3”表示表示“前两次未击中前两次未击中, ,且第三次击且第三次击 中中”这一事件这一事件, ,43643.643434141)3(P则厚德厚德 博学博学 尚技尚技 强能强能宁乡县职业中专学校4.4.一个袋中有一个袋中有1 1个白球和个白球和4 4个黑球，每次从中任取一个黑球，每次从中任取一 个球个球, ,每次取出的黑球不再放回去每次取出的黑球不再放回去, ,直到取得白球为直到取得白球为 止止, ,求取球次数的分布列求取球次数的分布列. . 解解 设取球次数为设取球次数为 , ,则则 ,51AA)2(,51A1) 1(251415PP.,54321的可能取值为的可能取值为 厚德厚德 博学博学 尚技