无理方程和二元二次方程组-教师版

1、I例题解析【例1】(1)(4)3；(5)x 1(6)*212x 43 0 ；2 0 . x(1),(2), (4).方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程.卜列方程是哪些是无理方程2 / 27(3), (5), (6)中被开方数中没有未根据无理方程的概念，(1), (2), (4)是无理方程.知数，不是无理方程.其中(3)是一元二次方程，是整式方程；(5), (6)都是分式方程.【总结】考察无理方程的基本概念.【例2】判定下列方程是否有实数根：(1)1374 74-y 3y 4；J2x2 5 p2 3 (p为实数).【难度】【答案】(1)有实数根；(2)没有实数

2、根.4【解析】根据无理万程有意义的条件，要同时满足3y 4 0和4 3y 0,得到：y ,3， 4代入原万程，左边3闩4右边，方程成立，所以该方程有实数根.3(2)中，方程左边0,而右边 p2 3 3,所以，左边 右边，故方程没有实数根.【总结】考察无理方程有意义的前提条件与方程的实数解的关系.【例3】将下列无理方程化成有理方程： &x2 3x 1 x ； 4x2 6x ,2x2 3x 1 5 0 .【难度】【答案】x2 3x 1 0 ;2t2 t 7 0 .【解析】 方程中只有一个根号，左右两边同时平方，得2x2 3x 1 x2,整理得：x2 3x 1 0;方程中根号里面部分 2x2

3、 3x与根号外面部分4x2 6x有倍数关系，所以设<2x2 3x 1 t 0,则 4x2 6x 2 (t2 1),所以原方程可转化为 2(t2-1) t 5 0,化简整理得：2t2 t 7 0.【总结】考察解无理方程的思想，即化无理方程为有理方程.【例4】解下列无理方程：；(1) (y 2)77 0；(2) 2x Jx2 9 6.【难度】【答案】(1) y 3; (2) xi 3, X2 5.【解析】(1)方程是ab 0,则得a 0,或b 。的形式，所以解(1)方程得y 2 。或0并且还要保证y 3 0,解得：丫1 2,y2 3,又因为当y 2时，没意义，所以经检验y 3是原方程的根.(

4、2)方程只含一个根号，所以整理为2x 6 Jx2 9 ,等号两边同时平方去根号得:22x 6 x2 9,整理得 x2 8x 15 0, x 3 x 50 ,得玄 3, x2 5,经检验x 3, x2 5都是原方程的根.【总结】考察无理方程的基本解法，注意不要忘了最后一步检验所得解是否是增根.【例5】解下列无理方程：(1)2x 4x31 ；.3x 2x83 2 ;(3) 5x 6【难度】2x3J3x 5 .【答案】(1) x6；(2)x1 10, x2 16 ;(3) x 2【解析】(1)方程含两个根号，要尽量分散在等号的两边，原方程整理为,2x 4 <x 3 1,等号两边平方得2x 4

5、x 3 2v x- 1 ,整理得x 2vx"飞，再等号两边平方得22x 4(x 3),整理得：x 4x 12 0,从而 x 6 x 20 ,得：x 6,先 2 ,经检验K 6是原方程的根，x22是原方程的增根；(2)原方程整理为底2 >/x8 3J2,等号两边平方得3x 2 x 8 6j2(x 8) 18,整理得x 4 3?2x 16 ,等号两边再平方得x2 8x 16 9(2x 16),整理得2x 26x 160 0,从而 x 10 x 16 0 ,得：X1 10, X2 16.经检验X1 10, X2 16都是原方程的根；(3)方程含3个根号，通过观察方程先整理为 J5X-

6、6 J亚后飞，然后等号两边 平方得 5x 6 2x 3 2j 2x 3 3x 5 3x 5 ,整理得：1 J 2x 3 3x 5 ,等号两 边平方得1 2x 3 3x 5 ,整理得x 2 6x 70 ,从而x1 2, x21 2 6经检验x 2是原方程的根.【总结】考察含有两个根号或者三个根号无理方程解法，注意最后要验根.例6解下列方程：(1) Jx2 9 Jx2 9 "5； Jx2 x 6 J2x2 1仅 15 x 3 .【难度】【答案】(1)x 4 , x24; (2) x=3.【解析】(1)整理得技9而5 Jx2 9,等号两边平方得x2 9 26(x2 9) 7 25 1042

7、 9 x2 9,整理得.7x2 63 54 9 ,等号两边平方得7x263 25(x2 9),整理得：x216 ,解得：x14,x24.经检验” 4, x24是原方程的根；(2)方程整理得7x3x2 J2x 5 x 3 x 3,为等号左边0,所以右边x 3 0,当x=3时，方程成立，当xw3时，可得J x 2 J 2x 5 Jx 3 , 等号两边平方得 x 2 2，x 2 2x 5 2x 5 x-3 ,整理得2,x 2 2x 5 2x, 因为x 3 0, x 3,所以2xp0,而左边2jx 2 2x 50,所以方程无解.综上，原方程的解为 x=3.【总结】考察含有多个根号的无理方程的解法，注意

8、解完之后进行检验.【例7】若方程 &_2m2 x 2m有一个根x=1,求m的值及方程的其他的根.【难度】【答案】m 0, x为一切非负数.【解析】把x 1代入原方程，得4'1 2m2 1 2m ,等号两边平方得，1 2m2 1 4m 4m2 , 整理得m2 2m 0 ,从而m(m 2) 0,解得：成 0, m2 2,经检验m 0是原方程的根把 m 0代入原方程4x2 2 02 x 2 0,整理得JX2 x ,所以x为一切非负数.【总结】考察无理方程的根的意义，及解无理方程的方法.【例8】解下列方程：(1) 3x2 5x 2d3x2 5x 1 2;(3)4x2 6x 6 xx2x

9、_1 0 【难度】5【答案】(1) xi 0, x2 ; (2) x 3; ( 3) xi3x29 3 . 2910【解析】(1)设J3x2 5x 1 t0,则3x2 5x t2 1,原方程可转化为t2 12t 2,化简整理得：t2 2t 3 0 ,从而t 1 t 30,因为t 30,解得：t 1,即73x2 5x 1 1 ,等号两边平方得 3x2 5x 1 1 ,解得:x10, x25经检验x1 0, x2 -是原方程的根；3(2)原方程可转化为 后3 2d 1,设，x79 t 0，原方程可转化为t 2因为t 10解得t12_一一- 1 ,整理得t t 2 0 ,从而t 2 t 10,t2,

10、即Jx工 2,等号两边得-9 4,解得：x 3,xx经检验x 3是原方程的根；(3)原方程可以转化为 6 x2 x 1-',-22xvxx 1 2x 0 ,因式分解(3>/x2 x 1 2x)(2 Vx2x1 x) 0 ,得：34x2 x 1 2x 0,或 2>Z?x1 x 0,当3Jx2 x 1 2x 0时，解此无理方程得：“ 9 3"29 , x2 9 3/291010经检验x 9 3 29是原方程的根;10当2收 x 1 x 0,解此无理方程得：xi 2, %2经检验X是原方程的根,3综上所述原方程的根是：X19 3 2910【总结】考察利用换元法求无理方程

11、的解，求解后注意进行验根.【例9】解方程：G Lx 2 2jx2 2x 4 2x；【难度】【答案】x 1 . 4【解析】因为Vx?Vx-2 Jx2 2x ,所以原方程可以转化为(x 2&_2x x 2)Vx s/xT 60,可得(6Tx-2)2(Tx Vx-2)6 0,从而因式分解可得(jxTx-2 3)(a""2) 0,因为7x-2 3 0,可得 & Jx 2 2 0,即 Jx 2 2 Jx,解此无理方程可得x 1 ,41经检验x -是原方程的根.4【总结】考察整体换元法解无理方程，综合性较大，注意认真分析方程的特点.【例10】用换元法解无理方程：3/3x

12、 2 34 3x 1【提示：a3 b3 (a b)(a2 ab b2)】.【难度】【答案】无实数根.【解析】设3/3x 2 a,寻4 3x b ,则有a3 b3 2, a b 1 ,又 a3 b3a b a2 ab b2 a b a b2 3ab ,所以有21123ab，得ab 1 .即 3/3x 2 34 3x，3x 2) 4 3x 1 ,得(3x 2) 4 3x 1 ,解此方程可得：x 1 ,经检验x 1不是原方程的根，故原方程无实数根.【总结】考察利用换元法解特殊无理方程，注意对所求得的根进行检验.【例 11】解方程：2x2 15x J2x2 15x 199818.【难度】【答案】x1

13、9,加 -. 2【解析】)设 J2x2-15x 1998 t 0,贝U 2x2 15x t2 1998,原方程可转化为t2 1998 t 18 , 2化简整理得:t t 1980 0,从而t 45 t 440,因为 t 440,解得：t 45,即 J2x2 15x 1998 45,等号两边平方得2x2 15x 27 0 ,因式分解得 x 9 2x 30,解得：* 9,旭 -,23经检验x1 9, x2是原方程的根.2【总结】考察利用换元法解无理方程，注意对方法的提炼.【例12】设实数x、y、z满足x y z 4('x 5 Jy 4 z1z3)，求x、y、z的值.【难度】【答案】x 9,

14、 y 8, z 7 .【解析】原方程可转化为 (x 5 4&5 4) (y 4 46_4 4) (z 3 4jz 3 4) 0 ,即(V,x 5 2)2 (Jy 4 2)2 (7z- 2)20,得 dx 5 0, Jy 4 0, Jz 3 0 ,解得：x 9, y 8, z 7 ,经检验x 9, y 8, z 7满足原方程.【总结】考察几个非负数的和为零的基本模型，注意根据题目中的条件先进行配方.18 / 27【例13】下列方程是二元二次方程的有22y 1 ；7y5x1 ； y225xy 0 ； 7a y5y 1.A.B. 2C. 3D. 4是分式方程；，是二元二次方程.是二元三次方程

15、.【总结】考察二元二次方程的基本概念.【例14】卜列方程组中，不是二元二次方程组的是（A.x 3y 522x 2xy yx yB, 2y2C.x yxyD.2X2D是无理方程,二元二次方程是有理方程.【总结】考察二元二次方程组的基本概念.【例15】解下列方程组:x y(1)22x y625(2)2xy y2 122x 4y 8(3)2xxy 122y25(4)24xy 3y(1)20x215(3)y1X2y1y2(1)15y2X3y320(2)X4y4可得yX1y1（4）x 5，代入X2y2X1y1102575X3y3X4V42575X2y231,X3y3X4y，.55式得X(x 5)2 62

16、5,整理得2x 5x 300 0,解得：X20, X2 15,分别代入x y 5 0 得 yi15, V2 20,所以原方程组的解为,yi20 X2 1515, V2 20(2)由可彳导x所以原方程组可分解为y 14y2分别解这两个方程组可得原方程组的解为:x1y1X2V22575y4y2(3)式可转化为x2xy25,把 xy12整体代入,所以原方程组可分解为xy x12y 7或xyx12“、一，12 两个方程组,y 7分别解这两个方程组可得原方程组的解为:y1x2y2x3y3(4)式可分解为 x 3y x y 0,所以原方程组可转化为分别解这两个方程组可得原方程组的解为:x1x2y2【例16

17、】解下列方程组:(1)4xx(2)xy2xy6y yx3y3x3y3X4x4y4V4493y2 y或10x4y42 x2x5(x y)(1)xy43y1x2y2x1y13212x2x3y2y33212x4y4(3)x2y216,x3.43x4(1)J,y343y，,43而,y 1 ,代入 整理得3y2 8yy1y22575025y 105代入x y i,得：Xi i, X2 ,所以原方程组的解为 3XiyiX2V253 .8 '3(2)由因式分解得x 3y x 2y0,由可知xx 3y 0所以原方程组可以转化为x y 23y y2y y 2x 2yx y02四个方程组,分别解这四个方程

18、组得原方程组的解为:Xiyi3212X2V2X3y332 i2X4V40,(3)由可得 x y x y 5xy,即 xyxy5x y 0所以原方程组可以转化为22x xy y或43Xy两个方程, 43分别解这两个方程组得原方程组的解为:XiyiX2y2X3y3.43X4y，,43.43【总结】考察二元二次方程组的解法，注意代入法和因式分解法的灵活运用.22【例i7】若方程组X Xy 9y 1有实数解，求实数k的取值范围. x 3y k【难度】【答案】盘女瑛55-,一，1.,、，122【解析】由得X 3y k,代入式得3y k 3y k y 9y 1 ,整理得2921y2 7ky k2 1 0,

19、因为方程组有实数解，所以 0,即 7k 4 21 k2 10 ,22 15,2 15得 5k 12,即k .55【总结】考察二元二次方程组有实数解的应用，最终转化为一元二次方程有实数解的问题.22【例18】若二元二次方程组X y 有唯一解，求实数k的值及方程组的解.y k(x 2) 1【难度】【解析】把整理得x111 , y10故可分为两种情况:1时，代入X2V21代入1时，代入k2整理得3k2综上k53432k2 x120时，方程有唯一解,4kX1V1y2 1中，得2 4k 4k20时，即k0,此方程无实数根.X2V25343，即0,1,122k x 211,因为方程组有唯一解,此时方程为0

20、,次方程，有唯一解,2 22kVi0；0,得:X2V2k24k【总结】考察二元二次方程组有唯一解的应用，注意从多个角度进行分类讨论.【例19】解方程组:3x(1)2Xxy2y4y2 3x254y(2)2X2X3xy 4 y24xy 4y2(1)V1X2V2(2)X1V1X2V2(1)由可因式分解得从而得3x 4y x y 1所以原方程组可以转化为X3V3X3V32316X4V4X4V423163x4y x3x4y0,3x2X4y2 y以或X2y 12两个方程组,y2 25分别解这两个方程组得原方程组的解为:x1 4x24x34x43? ? ?y13 y23y33y4420/27所以原方程组可以

21、转化为x y 0x 2y 1(2)由可因式分解为 x y x 4yx y0 x4y0x4y0x 2y1 x2y1x2y 1分别解这四个方程组可得原方程组解为:22x3x43311y3y466x11x21y1 1y21【总结】考察复杂二元二次方程组的解法，注意方法的灵活运用.【例20】解方程组:(x2 3x)(x x2 4x yy) 4014(2)xy x y 1122x y xy 30【难度】【答案】(1)X5 x22x34x41 ) )W9 y22y314y49(2)x15x21x32K43y11 y25y33y42【解析】(1)原方程组可以转化为2x 3x x y 40，设 x2 3x m

22、, x y n ,2f' jx 3x x y 14 mn 40则原方程组可转化为，由韦达定理，设以m、n为两根的方程为t2 14t 40 0,m n 14因式分解得t 10 t 40 ,解得:10, t24 ,所以m110ni 422m24x3x 10 或x3x 4n210'xy 4xy 10x15x22x34x41再分别解这两个方程组得原方程组的解为：c ， C， ,J C；y19y22y314y49xy x y 11(2)原方程组可以转化为y y ，所以设以xy和x y为两个实数根的一元二次xy x y 30方程为m2 11m 30 0 ,从而因式分解为 m 5 m 6 0

23、,得：m1 5, m2 6.xy 5Xi 1 X2 5,得：，x y 6y15y2 1同理解方程组xy 6 得 x3x y 5' V32 x4 33 y4 2综上，原方程组的解为:x15x21x32x43? ? ?y11y25y33y42【总结】考察利用整体换元法求二元二次方程组的解，注意对方法的归纳总结.【例21】设方程组x x y 0的解是x x1y 2x 1y y1x2y2,、11.，求一 一和y1gy2的值.x1x2【难度】【答案】1 1 3; y1 y2 1 .x1 x2【解析】把方程组中22y 2x 1代入x *丫0中，得* x2x 10,整理得，x2 3x 1 0,由韦达

24、定理知x1 x2 3, Xi x2 1 ,所以1 工学2x1x2Xi x23 °一 3，yi V212为 1 2x2 14x1x2 2 x1 x21【总结】考察二元二次方程组的应用，利用方程组的解再结合韦达定理求出相应的值.【例22】解下列方程组:(1)2x2 5xy 2y2 5223x xy 6y 8(2)222x 4xy 8y 3x y 8 03x2 6xy 12 y2 4x 2y 13 0【难度】【答案】（1）Xi1x2yiiV21X31V323.220223 220 正，40(2)x1 13 x2 1yi 11y2 i【解析】（i）由X8- X5 得 8 2x2 5xy 2y

25、25 3x2 xy 6y2 5 8 8 5,整理得x2 45xy 46y2 0,因式分解得:x y x 46y0,解得：Xi y, X2 46y；当x y时，代入,得 2y2 5y2 2y2 5,解得：y1 1 , y2i,从而得方程组的解为:x11x21yiiy2i即xy 5或xy 6,用同样方法解方程组x y 6 x y 524 / 27X323 . 223. 2同理当x2 46y时，解得方程组的解为:y32040x4202 y440综上，原方程组的解为x11x21y11y21X323.2202y340X4V423, 22040(2)观察到方程组中前面三个二次项的系数成倍数关系,所以得：3

26、 2x2 4xy 8y2 3x y 82 3x2 6xy12y24x 2y 130,整理得：x y 2,代入8y2 3 2y y 8 0,整理得：y2 10y 11 0,解得:yi所以 X 13, x2 1 ,综上原方程组的解为:Xiyi1311，X2y2【总结】考察特殊二元二次方程组的解法，注意对两种方法的总结以及所适应的方程的特征的 归纳.2【例23】解方程组:xy y 3x 6y 3 02x x xy 2 y 1 0【难度】dx2x11y11V2517415 3 174517415 3 174【解析】观察两个方程,2x y -4 x 2y 4 0,-得 x2 y2 4 x 2y 44 x

27、 2y 4 0,与 2 xy + 得 x y 2 x 2y 2 0 ,从而 24 x2y 4 0 联立相加得：2 xy 2x y x y 0,2斛信y1x ,y23x;把y x代入式中得xx x 3 x 6 x3 0,整理得：3x 3 0,得x1 ,得 1 ,从而得原方程的解为x11y1同理把y23x代入式中得x 3x 3x解得:X25 i74X33x,得y2中V3i5 3 i74故原方程组的解为:XiyiiX2i，y25 万4i5 3 i74X3V35 .万4i5 3、斤7 .【例24】解方程组:y xy i4y2 xy 84【答案】Xi 8yi 2x2 2y2 8【解析】设x y m,an

28、 ,则x22y xy2xyxy xi26 / 27i4 m n84m n i4原方程组可转化为22 ，因为mm n 84所以可得m n 6,又因为m n i4,联立得m i0,即n 4xyy i0i6 ，根据韦达定理设以x,y为两实数解的二次方程为t2 10t i6 0,因式分解得t 8 t 2。，得ti8, t2 2x y i0所以方程组xy i6的解为Xix22即原方程组的解为XiX2yiV2yiV2 8【总结】考察利用整体换元法解二元二次方程组，综合性较强.【例25】已知方程组X(2k i)y 4 0y x 2(i)求证：不论k为何值时，此方程组一定有实数解;是该2(2)设等腰 ABC的

29、三边长分别为ax a,b , c ,其中c 4,且，y a 2方程的两个解，求 ABC的周长.【难度】【答案】（1）见解析；（2） 10.【解析】（1）将 y x 2 代入 x2 2k 1y 4 0,得 x2 2k 1 x 24 0,2o2整理得 x2 2k 1 x 4k 2 0, 2k 14 14k 2 4k212k 9 2k 30 ,所以不论k为何值时，此方程组一定有实数解；（2）可分为两种情况 a b ,或者a 4 .第一种情况a b,即方程组有两个相等的实数根，可知 0,从而k ,2由韦达定理得a b 2k 1 4,此时a, b, c不能构成三角形，舍去；第二种情况a 4,将x 4代入

30、x2 2k 1 x 4k 2 0 ,得k 9,2由韦达定理得a b 2k 1 6,可得：b 2,此时a, b, c能构成三角形，故周长=4+4+2=10 .【总结】考察二元二次方程组的应用及对方程组有解的准确理解.ax y 2a 10 0【例26】已知方程组, 只有一组实数解，求x y 2 0【难度】【答案】a 12或a 6 .【解析】由x . y2由 ax y 2a 10整理得x2 ax 120 ,知 x 0,y0可知ax 2a2a 0 ,因式分解得 a 12 a 4当 a 12 时，x2 12x 12经检验x 6是原方程根；当 a24 时，x24 x经检验x2是原方程增根.222,x2 y

31、 2, x2 210 y ,把 x2 2当 a2 4 1 120,解得：a1 12, a2422 12 0,得 x 12x 3612 240 ,得 x2 4xa的值.y,2y代入，可得ax 2a 10 x 2 ,2a 0时，整理得a2 8a 48 0,0 ,解得：x 6,31 / 27当 有两个异号实数根时，则4 >0且2a+12<0,a 6; 当 有一负根另一根为零时，则>0且a<0, 2a+12=0,综上所述：a 12或a 6 .注意从多个角度去分类讨论.【总结】本题综合性较强，考察二元二次方程组的唯一解的应用,随堂检测1(3) x2(6) x2【练习1】下列方程是

32、哪些是无理方程 ？(1)3/ 4；(2) Jx2 3625 0；29x2 4a x12r(4) 1;(5) 3 -x 7；xa【难度】【答案】(1) (2) (3) (4) (6)【解析】无理方程的概念即被开方数是涵未知数的代数式，根据概念可知只有(5)不符合要求.【总结】考察无理方程的基本概念.【练习2】不解方程试说明下列方程为什么没有实数根？(1) Vx-T <2-x 5;(2) 4V 2 yl 0.【难度】【答案】见解析.【解析】(1)有题意知x 3 0且2 x 0,两不等式无交集，所以方程无实数根.(2)由题意知 Jy 2 0,且 JV-T 0,要 Jy 2 JV_7 0,只有

33、0+0=0,此时y 2且y 1 ,不符合实际情况，所以无实数根.【总结】考察无理方程中增根的理解，即要注意验根.【练习3】(1)若关于x的方程 ""x a 1 0有实数根，则a的取值范围是 ;(2)将 “ x 16 4x 0化成整式方程是 .【难度】【答案】(1) a 1; (2) 16x4 128x2 x 252 0.【解析】(1)由题知JE a 1 0,所以a 1;(2)由题知44 x 16-4x 4 4 x ,原方程可转化为 4 x 16(16 8x2 x4),42即 16x128x x 252 0【总结】(1)考察无理方程中增根的产生过程，解无理方程中一定要验根.(

34、2)考察解无理方程的一般方法.【练习4】下列方程组中哪一个是二元二次方程组()A.B.x y 5xy 62323x25y0-7x4厂 2 d D , xxy1x2 y21【解析】二元二次方程组是含两个未知数,且最高次为两次的整式方程组.A中最高次为1次；C中含 返，是无理方程；D中分母中含未知数，为分式方程.所以答案是 B.【总结】考察二元二次方程组的基本概念22 G【练习5】由方程组x y 3,消去x后得到的方程是.x 2y 1【难度】【答案】3y2 4y 2 0.【解析】由得x 1 2y代入中得1 2y 2 y2 3 ,整理得3y2 4y 2 0 .【总结】考察代入消元法解二元二次方程组的

35、方法.【练习6】解下列方程：(1) Vx 3 x 1 0 ;(2) Jx2 2 V2x 1 0.【难度】【答案】(1)为1, x2 2 ； (2) x 3.【解析】(1)由题得Jx 3 x 1 ,两边同时平方得x 3 x 1 2,整理得x2 x 2 0 ,因式分解得 x 2 x 1 0 ,从而得x1 1, x22 ,经检验，x 1 x 1, x22是原方程的解；(2)由题得Jx2 2 J2x 1,两边同时平方得 x2 2 2x 1,整理得x2-2x 3 0,因式分解得x 1 x 3 0,从而得：x11, x2 3,经检验x 3是原方程的解，x 1是增根.【总结】考察无理方程的基本解法，注意最后

36、要验根.【练习71解下列方程:i34 / 27x(i)2x(2)y2 25 y 7【解析】（i）yix2iy22'(2)Xiyiy 3，代入中得yX2V20,整理得7y因式分解得yy 50,解得：%2,V2代入x y 3,xii, x22 ,所以原方程组的解为XiyiX2y2（2）由得xy,代入整理得7yi20,因式分解得yy 4 o,得yi3 , y24 ,故得:xi4 , x2所以原方程组的解为yiX2y2【总结】考察二元二次方程组的方法,注意对代入法的正确理解及运用.【练习8】解下列方程组:(2)22x 2xy y ix 2y 4(x i)得y x i ,代入得9(y i)2 i

37、(i)94x y i【难度】【答案】（i）x(yi345x2 229V2 i5(2)x2xi22yiiy2【解析】（i）由2i ,整理得 5x 44x 68 0 ,因式分解得:5x 34 x 20 ,解得：xi34二，x22 ,代入y x i中得yi综上原方程组的解为:xyi345x2 229V2 1g2(2)由得x y 1,所以原方程组可转化为x y 1和x y 1两个方程组,x 2y 4 x 2y 4分别解上述两个方程组得方程组的解为:x12y1 1x2V2(2) 5x2 x xv5x21 2 0.2jx2 5x 1 2 0,【总结】考察利用因式分解法求二元二次方程组的解.【练习9】解下列

38、方程：(1) 3x2 9x 2&5x 1 2(1 3x)；【难度】【答案】(1)为 0, x2 5 ； (2) x1 -0, x25【解析】(1)原方程可以转化为3x2 15x 2>/x2 5x1 2 0，3 x2 5x设 Jx2 5x 1 t 0 ,贝U 3 x2 5x223 t2 1 ,原方程可以转化为3 t210,因为t 0,所以t 1,整理为3t2 2t 5 0 ,因式分解为t 1 3t 5即Jx2 5x 1 1,整理得x2 5x 0,因式分解为x x 50,得x 0, x25,经检验用0,x25是原方程的解；(2)原方程可以转化为(5x2 1) 1 x xj5x2 1

39、0,整理得 V5x2 11 J5x211 x J5x2110 ,从而因式分解为J5x2 11d5x2 1 1x0,所以原方程可以转化为.声7 1解 J5f1 1 0 得，X 上10 , 加 5解 Vsx21 1 x 0 , 即)5x2 11经检验x31, x4 -是方程V5X70或者V5x1 1 x 0两个方程.10；5 -1x 1 ,斛得 *31 , x4 -,1 1 x 0的增根，综上X10 , X2 0是原方程的根.55【总结】考察利用整体换元法解无理方程，注意解完后要验根.【练习10解下列方程组:(1)2Xxy x y 1 0y2 3x 3y 16 0(2)22x 2xy y 3x 3

40、y 2 0(2x y)2 (2x y) 12 0X2V2X3V3X4V4Xi(2)yX2V22353X3V3X4V41373【解析】(1)由因式分解得X 1 y 10,得 x 1 或 y 1 .把x 1代入式整理得2y 3y 18 0,解得：y 6, y23,所以原方程组的解为X11X2y16V2把y 1代入式整理得x2 3x 18X33,所以原方程组的解为X3V3X4V4综上原方程组的解为X1X2V21X363y31X4V4(2)由可整理为2 0,因式分解为 X y 2 x y 10;由因式分解为2x y 4 2x y 30,x y 1 0所以原方程组可转化为2x y 4 0x y 2xx

41、y 2 0 x y 2 0 2x y 4 0' 2x y 3 0 '分别解这四个方程组得原方程组的解为:X1y15323X2V22353X3X4V3V41373【总结】考察二元二次方程组的解法，能因式分解的尽量因式分解来降次，从而转化为次数低50 / 27些的方程组来求解.【练习11解方程：2x 27弋7x & Jx 7 35.【难度】【答案】x 841. 144【解析】观察方程，可以转化为x 2&7x x 7 7x vx7 35 7，2从而得瓜Vx_7 xxx>T42 0,因式分解为Vx Jx7 7& Jx 7 60 ,因为Vx-7 0 ,-_,

42、 、“、841所以只有57x万6 0 ,解这个无理方程得 x，144，一一 841经检验x不是原方程的解.144【总结】考察复杂方程的解法，注意整体变形，解完后要检验.【练习12解方程:【难度】22_.x y 5y 122x xy 6y 2【答案】x11x2y10y21x30 , y3114152114110x4y4114121,14110【解析】由得 x2 y2 5y 1,由 得 2x2 xy 6y 2,则 25y22 2x xy 6y,解得:y 0或2y x 4 0,所以原方程组的解为x11x21y10y20当2y x 4 0,得2y 4 x,代入整理得 5y2 21y 15 0,解得：y

43、12114110y12114110代入2y 4x得x111411.141,K 55综上原方程组的解为X1x2yi0V2X3y31141521 .14110X4V41141521 JT4110【总结】考察复杂二元二次方程组的解法，注意进行方法的归纳总结.【练习13】已知方程组y 4X有两组实数解y 2x mxx-xx2-和,且x1x2y y1yy20,_2x2(1)求m的取值范围；(2)试用关于m的代数式表示出n;(3)是否存在这样的值 m,使n的值等于-2,若存在，求出这样的所有的m的值;若不存在，请说明理由.【难度】【答案】(1) m 1 且m 0； (2) n 8m-； (3) m 2 2

44、厄.222【解析】(1)把 代入 得2x m 4x,整理得4x 4 m 1 x m 0,21此一兀二次方程有两个实数根，所以0,即 16 m-116m2 0,得m 1,1 一因为乂泾 0,即两个解都不为 0,所以可得 m 0,综上m 2且m 0；，2 x1 x24 m 1m2(2) n ,由韦达te理知 x1 x2 ,x1x2 ,2442 K x28m 8代入n ,整理得n .x1x2m(3)因为n 2 ,即22 一,整理得m2 4m 4 0 ,m1-解得：m 2 272 ,因为m -,所以m 2 272 .【总结】考察二元二次方程组的解的应用，综合性较强，注意韦达定理的熟练用.课后作业【作业

45、U用换元法解无理方程 J2x22x i 2x2 2x 7 0时，如果设J2x2 2x i y ,将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是 【答案】y2 y 6 0 .2x2 2x y2 i ,则无理方程7 0,整理得y2y 6 0.【解析】 辰2x i y ,则2x2 2x i y2 ,所以J2x2 2x i 2x2 2x 7 0可以转化为y【总结】考察换元法解无理方程的方法.【作业2】下列方程哪些是二元二次方程：2x底2 缶2y 0,xy 3 0 ,ixy【答案】【解析】二元二次方程的概念是含两个未知数且最高次是2次的整式方程.由此可以判断因为只含有一个未知数，不是二元二次方程.是分式方程，也不是二元二次方程.【总结】考察二元二次方程的基本概念.【作业3】方程组2x的一组解是（x A.yB.C.D.【解析】观察知2x3,整理得2x 3x0,解得xix2i,代入y xi,得yi5, y20,从而原方程组的解为xiyix2y2i 一, .所以答案选C.0【总结】考察方程组的解的概念.【作业4】下列方程有无实数根 ？并说明理由(1)JX2 0;(2)44x x 7;(3)772x "&quo