复变期末考试与答案

1、华南农业大学期末考试试卷（A卷）2005-0睁年第1学期 考试科目：复变函数与积分变换考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业题号一二三四总分得分评阅人、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 .下列复数中，位于第四象限的复数是（A. 4+3iB. -3-3i2 .下列等式中，不成立的等式是（A. z z =Re （z z ）)C.-1+3iD.5-3iC. Arg(3) =arg(3)3.不等式|z|>3所表示的区域为（）B. arg(-3i) =

2、 arg(-i)D. z z =|z|2A.圆的外部B.上半平面C.角形区域4 .积分Q 3. 2 dz的值为（）?z| z-2A. 8 二iB.2C. 2二 i5 .下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（A. z e B. sin z ezC. tanz eD.圆的内部D. 4二 i)D. Re(z) sinz6.在复平面上，下列命题中，错误的是（A. cosz是周期函数B.ze是解析函数D. . z2 =|z|B. z =ln4 2二 i 4D. z = ln4 2二iC. eiz =cosz i sin z7,在下列复数中，使得ez = J2 + J2i成立的是（A. z =ln2 2

3、 二i 二4C. z =ln2 2二i8.设C为正向圆周B. 2tH|z|=1,则积分D. 2兀9.设C为正向圆周1|z|=2,则兔dz等于(A.B. 0C2:iD. -2二 i2 ri10 .以下关于级数的命题不正确的是（3 <3 +2i ' A.级数3 3 2inl 7 Jn1是绝对收敛的n=2十"是收敛的十_ |是收敛的11 .已知z =1十i,则下列正确的是（A. z12.正确的是（7:i312C. z = >/2e6 二D. zj2e3A.在收敛圆内，哥级数绝对收敛C.在收敛圆周上，可能收敛，也可能发散B.在收敛圆外，哥级数发散D.在收敛圆周上，条件收敛

4、13. z=0是函数ze的(zsinzA.本性奇点C.二级极点B. 一级极点D.可去奇点14 zcosz 在点z - -z = n处的留数为（A.B.二C.1D. -115.关于=limz 01mz下列命题正确的是zA. =0B.切不存在C. 二 一1 D. = 1二、填空题（本大题共 5小题，每小题2分，共10分）16 .复数白S sin矩形式cos z 二二 3 , i 为 32217 .已知f(z)=(x +ay +x)+i(bxy + y)在复平面上可导，则 a + b =18 .设函数 f (z) = jsteht,则 f (z)等于.19.哥极数工二(-1)/2n Z=rn-n的收

5、敛半径为20 .设 Zi = -1+i, Z2 =1 一 M , 求 _ |=z2三、计算题(本大题共 4小题，每题7分，共28分)21 .设C为从原点到2 + 3i的直线段，计算积分I = fC(x-2y) + ixydz22 .设 f (z) = e 2 +COSZ . (1)求 f (z)的解析区域，(2)求 f '(z). 4-z23 将函数f (z) -1 在点z = 0处展开为泰勒级数.(z-1)(z-2)24,将函数f (z)=(z-1)在圆环0<|2-1|父笛内展开成洛朗级数.四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）22_一、25 .已知 u(x,y)=x -y

6、 +2x,求一解析函数 f (z) =u(x, y)十iv(x, y),并使f (0) =2i。26 . 计算 Lh (z 1)1z +1)(z3)-1,27,求函数 f (t) = < 1,0,-1 ：t < 00 <t <1的傅氏变换。其它28.求函数 f(t)=cos3t的拉氏变换复变函数与积分变换期末试卷答案、选择题1. D. 2. C.3. A 4. D 5. B 6. D 7. A 8. C 9.B 10.D 11.B12.D13.C14.A 15.B、填空题18. 3(zez -ez 1),31 冗16. z = cos i sin , 17. 1,619

7、. 1,-1- 3 ( 3 -1)i42分2分2分1分2分1分1分三、计算题(本大题共 4小题，每题7分，共28分)21.设C为从原点到2 + 3i的直线段，计算积分I = jC(x 2y) + ixydz解：设曲线C的参数方程为C:z = (2+3i)t 0<t<1.I = (x -2y) ixydz = (2t -6t 6t2i)(2 3i)dt - 1C2023=C (Yt +6t i)(2+3i)dt = (2+3i)(2t +2t i) |io 10-10-2i.22.设 f(z)= e 2 +cosz. (1)求 f(z)的解析区域，求 f'(z). 4 -z解

8、：(1)由方程4z2=0得z = N,故f(z)的解析区域为C2, -2. f =_e_cosz .4-z2e (4 -z2) - -ez( 2z)22(4-z)-sin z所以 f (z) = ,"z厘-sinz.(4-z)23 将函数 f (z) = 在点z = 0处展开为泰勒级数 (z-1)(z-2)解：f (z) = 1 =111+(1-z)co T U2 n 式2)(z-1)(z-2) (z-2) (1-z)QOJ zn=0nr n2<=znn=0|z|<1.24.将函数f (z)=1e有(z7?在圆环0<|z-父30内展开成洛朗级数.解:ez的泰勒展式为

9、ez =n!且为函数的孤立奇点,故e"的罗朗展式为e"n卫n!所以f (z)=(z -1) 3nz0 n!(z -1)n四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）,22_一、25.已知 u(x,y)=x -y +2x,求一解析函数 f (z) =u(x, y)十iv(x, y),并使f (0) =2i。解:由柯西一黎曼方程得:v；:u=2y,-：x ；y所以 v(x, y) = 0 2ydx C(y) = 2xy C(y).4 =2x C(y)=口=2x 2, .yex所以 C(y): 0yC(y)dx C =2y C.所以 v(x, y) = 2xy 2y C.从而 f(

10、z) = x2-y2 2x (2xy 2y C)i.又 f (0) =Ci =2i.所以C =2.所以 f (z) = x2- y2 2x (2xy 2y 2)i.26.计算zNdz(z-1)2：z 1)(z-3) -解：由柯西积分定理得11原式=2ni亘亘 dz+2n ij Jz)2(z3)也H(z-1)2忆书修(z+1)二2 二 i(z 1)(z-3)_2_ i 2_2z一 (z 1)2(z-3)2zz+2ni(z1)2(z3) Z2二 i一 162分1分2分2分1分2分2分1分2分二 i.8-1,-1<t <027,求函数f(t) =1,0 <t <1的傅氏变换。、0, 其它解：F( . ifddt_oO=0 -e