数学必修二第二章经典测试题(含答案)

1、必修二第二章综合检测题一、选择题1 若直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系是()A.相交 B.平行 C .异面D .平行或异面2 .平行六面体ABCDABC1D中，既与AB共面也与CC共面的棱()A 3B 4C 5D 63 .已知平面a和直线l ,则a内至少有一条直线与1()A.平行B.相交C.垂直 D.异面4 .长方体 ABCDABCD中，异面直线 AB AD所成的角等于()A 30°B 45°C 60 °D 905 .对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面a ,使得()A.a? a ,b?aB.a?a ,b / aC.aX a ,t)Xa

2、D.a?a ,bX a6下面四个命题：其中真命题的个数为()若直线a，b 异面，b，c 异面，则a，c 异面；若直线a，b 相交，b，c 相交，则a，c 相交；若a/b,则a, b与c所成的角相等；若 a±b, b±c,贝U a/1 c.A 4B 3C 2 D 17 .在正方体 ABCDABCD中，E, F分别是线段 AB, BG上的不与端点重合的动点，如果 AE= BF,有下面四个结论: EF! AA; EF/ ACC EF与 AC#面； EF/平面 ABCD其中一定正确的有（）A.B. C. D.8 .设a, b为两条不重合的直线，a , B为两个不重合的平面， 下列命

3、题中为真命题的是（）A.若a, b与a所成的角相等，则a/b9 .若 a /a,b /B ,a / B ,贝U a / bC.若 a?a,b?B ,a/ b,则 a / BD.若 a，a , b，B , a，B ,则 a±b10 已知平面民，平面B , a n B =l ,点AS a , A? l ,直线 AB/l ,直线ACLl ,直线m/ a , n/ B ,则下列四种位置关系中， 不一定成立的是（）A. AB/1 m B . ACL m C. AB/ B D . ACL B10 .已知正方体ABCDABCD中，E、F分别为BB、CC的中点， 那么直线AE与DF所成角的余弦值为（

4、）A.B .3D.11 .已知三棱锥D- ABC勺三个侧面与底面全等，且AB= AC= <3, BG= 2,则以BC为棱，以面BCDW面BCA为面的二面角的余弦值为（）1C. 0D. -212 .如图所示，点P在正方形ABC厮在平面外，PAL平面ABCDPA= AR则PB与AC所成的角是（）A. 90 B. 60 C . 45 D . 30二、填空题三、13.下列图形可用符号表示为14 .正方体 ABCDABCD中，二面角 C AB-C的平面角等于15 .设平面民II平面B , A, C6 a , B, D6 B ,直线AB与CD 交于点S,且点S位于平面a , B之间，AS= 8, B

5、S= 6, CS= 12,则 SD=.16 .将正方形ABC酣对角线B丽成直二面角A- BD-C,有如下 四个结论： ACL BD AC虚等边三角形；AB与平面BC城60的角；AB与CD所成的角是60 .其中正确结论的序号是.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17 .如下图，在三棱柱ABOABG中，ABCWABC都为正三角形且AA，面ABC F、Fi分别是AC AG的中点.求证：（1）平面ABFi/平面CBF;平面ABF平面ACCA18 .如图所示，在四棱锥 P ABC冲，PAL平面ABCDAB= 4,BO3, AD= 5, /DAB= / AB及90 , E是 CD勺中点

6、.(1)证明：CDL平面PAE若直线PB与平面PAEJf成的角和PBW平面ABC厮成的角相 等，求四棱锥P- ABCD!体积.19 .如图所示，边长为 2的等边 PCD所在的平面垂直于矩形ABC厮在的平面，BC= 2 2, M为BC的中点.(1)证明：AML PM(2)求二面角P- AM- D的大小.20 .如图，棱柱ABC- ABC的侧面BCCB是菱形，Bid AB证明：平面ABC，平面ABC;设D是AC上的点，且AB/平面BCD求AD DC的值.21 .如图，4ABB, AC= BC=*AR ABE田边长为1的正方形，平面ABEDL底面ABC若G F分别是EQ BD的中点.DAC(1)求证

7、：GF/底面ABC求证：ACL平面EBC 求几何体ADEBCS体积V.22 .如下图所示，在直三棱柱 ABG ABC中，AC 3, BO4, ABBDA=5, AA=4,点D是AB的中点.(1)求证：ACLBC; (2)求证：AC/平面CD® (3)求异面直线AC与BC所成角的余弦值.必修二第二章综合检测题1 D 2 C AB与CC为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类:第一类与AB平行与CC相交的有：CD CD与CC平行且与AB相交的有：BB、AA,第二类与两者都相交的只有 BC故共有5条.3 C当直线l与平面口斜交时，在平面口内不存在与l平行 的直线，.A错；

8、当1? %时，在内不存在直线与l异面，.D错; 当1 / %时，在内不存在直线与1相交.无论哪种情形在平面 a 内都有无数条直线与1垂直.4 D 由于AD/ AD,则/ BA虚异面直线AB AD所成的角， 很明显/ BAD= 90° .5 B对于选项A,当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B, 若a, b不相交，则a与b平行或异面，者B存在a ,使a? a , b/ a , B正确；对于选项 C, a，a , b± a , 一定有a/ b, C错误；对于选 项 D, a? a , b± a , 一定有 a±b, D错误.6 D 异面、相交关系在空间中不

9、能传递，故错；根据等 角定理，可知正确；对于，在平面内，a/c,而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故错误.7 D 如图所示.由于 AA，平面ABGD, EF?平面ABGD, 则EF±AA,所以正确；当E, F分别是线段AB, BC的中点时， EF/ZAC,又ACZAC,则EF/1 AC所以不正确；当E, F分别不是 线段AB, BC的中点时，EF与AC异面，所以不正确；由于平面 AiBGD /平面ABCD EF?平面ABCD,所以EF/平面ABCD所以 正确.选项A中，a, b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a, b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C

10、中，a, B 还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a，a , a，B ,则 a/ B或a? B ,则B内存在直线l / a,又b，B ,则b±l ,所以a 1b.m/1 ? Ad m AB/1 ? AB/如图所示:AB/1 II rn Ad l ,310、511 C 取 BC中点 E,连 AE DE 可证 BC!AE BC!DE/AED二面角A- BC- D的平面角又 AE= ED= 2, AD= 2, ./AE90 ,故选 C.12 B 将其还原成正方体 ABCDPQRS显见PB/SC ACS 正三角形，/ ACS= 60° .13 a n B =AB14 45如图

11、所示，正方体 ABCDABCD中，由于BCLAR BC，AB则/CBC是二面角C AB-C的平面角.又ABC曲等腰直角三角形,贝 U/CBO 45 .15、9乂 1A如下图所示,则直线AR CDB定一个平面ACBDa II A, A AC/1 BQAS CS 8 12 _则STSd看而解得SD= 9.16如图所示，取BD中点，E连接AE CE则BDLAE BDLCE而AEA CE= E,BDL平面AEC AC?平面AEC故ACL BD故正A确.MC小门、上一r2设正万形的边长为a,则AE= CE= *a.由知/AEC= 90 是直二面角 A- BD- C的平面角，且/ AEC=90 ,.AOa

12、,.AC虚等边三角形，故正确.由题意及知，A平面BCD故/ AB盅AB与平面BCDJf成 的角，而/ ABE450 ,所以不正确.分别取BC AC的中点为M N,连接ME NE MN-11 一 -11则 MNZAB,且 MNh2AB= 5a, ME/CD 且 MPgCD= 5a,/EMN异面直线AB C所成的角.在 RtzAEC, AE= CE=*a, AC= a,11.NE= 2AG= 2a. .“£塌正三角形，./ EMN60 ,故正确.17 (1)在正三棱柱ABC- ABC中，F、F1 分别是 AC AC 的中点，. BF1/BF, AF/CF.又BF1AAE=E, GFABF

13、= F平面 ABF1/平面 CBF(2)在三棱柱 ABC- ABC 中，AA，平面 ABC,BRAA.又 BF1，AG,AGnAA= A1 .BF1,平面 ACCA,而 BR?平面 ABF1平面ABF平面AC3.18(1)如图所示，连接 AC 由 AB-4, BC= 3, /ABC= 90° ,得 AC=5.又AD= 5, E是CD勺中点，所以CDLAE. PAL平面 ABCD CD?平面 ABCD 所以 PAL CD而PA AE是平面PAEft的两条相交直线，所以 CDL平面PAE(2)过点B作BGI CD分别与AE AD相交于F, G,连接PF由(1) CDL平面PA欧口，8。平

14、面PAE于是/ BPF为直线PB与平面PAE0f成的角，且BGLAE由PAL平面ABCDB, / PB的直线PB与平面ABCDf成的角.AB= 4, AG= 2, BGLAF,由题意，知/ PBA= /BPF因为 sin ZPBA=瞿 sin / BPF=瞿 所以 PA= BF PBPB由/ DAB= / ABC= 90 知，AD/ BC 又 BG/ CD 所以四边形 BCDG是平行四边形，故 GD= BC= 3.于是AG= 2.在 RtzBAG, AB= 4, AG= 2, BGLAF,所以BG= 1ab + AG= 275, BF= AG= 二5 于是 PA= BE855. ，一一_ ，1

15、又梯形ABCD勺面积为S= 2*(5+3)X4= 16,所以四棱铤 P-ABCD体积为、，1 c 18 5 128 15W=-x Sx P/A=-x 16xj-= ，. 3351519解析(1)证明：如图所示，取 CD勺中点E,连接PE EMEAPC皿正三角形， .PEL CD PE PtSin /PD2 2sin60 二木.平面PCDL平面ABCD . PEL平面 ABCD 而 AM?平面 ABCD PE!AM 四边形ABC匿矩形，EM .ADE AECIM ABM匀为直角三角形，由勾股定理可求得=m，AM=乖,AE= 3.EM+ AM= AE. .AML EM又 PEA EM= E, .A

16、ML 平面 PEM AML PM(2)解：由(1)可知 EML AM PML AM /PME二面角P- AM- D的平面角. / PME45PE ,3 . tan / PME=;z;= p= 1, EM 3 二面角P- AM- D的大小为4520(1)因为侧面BCCB是菱形，所以BC± BC,又已知 Bid AB,且 ABA BC= B,所以BC1平面ABC,又BC?平面ABC所以平面ABC，平面ABC .(2)设BC交BC于点E,连接DE则DE是平面ABC与平面BCD勺交线.因为AB/平面BCD AB?平面ABC,平面ABCA平面BCD= DE；所以AB/1 DE又E是BC的中点，

17、所以D为AG的中点.即AiD DC= 1.21解(1)证明：连接AE，如下图所示.ADE的正方形 /.AEA BD= F,且F是AE的中点，又G是EC的中点GFI AC又AC?平面ABC GF?平面ABC. GF/ 平面 ABC(2)证明：.ADE的正方形，EBLAR又.平面 人8£1平面ABC平面ABED平面ABC= AR EB?平面ABED BEL平面 ABC BE!AC2又AOBG=万人日.CA+ CB= AB, .ACLBC又.BCn BE= B,.ACL 平面 BCE取AB的中点H,连GH .BC= AG=22TAB=万I1CHL AB且CHh2又平面ABEDL平面ABC.GHL平面 ABCD16.22解析(1)证明：在直三棱柱 ABC-ABC中，底面三边长AC =3,