第一章矩阵与线性方程组

1、第一章矩阵与线性方程组在中学已经学习了有关两个未知量、两个方程的二元一次方程组的基本知识。一次方程 又称为线性方程。在自然科学、社会科学和许多工程技术问题中，常常需要处理几十、几百 甚至成千上万个未知量的线性方程组，未知量的个数和方程的个数也不一定完全一致，这就 要求我们把关于二元一次方程组的知识推广到有n个未知量和m个方程的线性方程组上去。 矩阵是解决这类问题的重要工具之一。1.1 矩阵及其运算1.1.1 线性方程组及其矩阵表示线性方程组(system of linear equations)的一般形式为aA Xi 312X2 + +dnXn二a?iXi a?2Xz+十 a2nXn b(1

2、.1) am1 X1 am2 x2amnxn _ bm显见，二元一次方程组是其特款。方程组(1.1 )中有m个方程、n个未知量。为代表第i个方程中未知量Xj的系数，bi是第i个方程的常数项。当常数项b, b2,，bm全为零时，式(1.1)称为齐次线性方程组；当常数项不全为零时，式(1.1 )称 为非齐次线性方程组。当m、n较大时，方程组(1.1)的书写需重复许多次未知量以及“+”、”上运算符号，如用计算机进行处理，则浪费很多存储空间。因此，我们将方程组(1.1 )中未知量的系数简化成如下的m行n列矩形数表ai2amn，还可以得到m行n+1列a1nb1a2nb2aaamn bm *将上述类型的数

3、表抽象为如下的矩阵定3-|na21322&2n_am1 am2如果再考虑到方程组右端的常数项(非齐次项) 矩形数表anai2.321S22.&aaFm1am2.对方程组的研究将归结于对如上形式数表的研究。义。定义1.1将mKn个数aj(i=1,2,m;j=1,2,，n)排成一个矩形数表a11a12a1 na21a22a2n&& a(1.2)A =_am1am2.amn称为一个m行n列矩阵(ma惘x),简称为mKn矩阵。其中横向各排称为行，纵向各排称为 列，mKn个数叫作矩阵A的元或元素；a。叫做矩阵A的第i行第j列元；所有元素均为。的 矩阵，称为零矩阵，记作Q元

4、是实数的矩阵称为实矩阵，元是复数的矩阵称为复矩阵。式(1.2)也简记为：A = (aj)mKn 或 A = (aj)一般情况下，我们用大写字母A, B, C,表示矩阵。本书中的矩阵除特殊说明外，都指实矩阵。定义1.2如果两个矩阵A, B有相同的行数与相同的列数，并且对应位置的元均相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。即如果A = (aj)m。，B=(bq)mKn,且 a(j = bij (i= 1,2,m;j=1,2,n),则 A = B我们可以对矩阵定义一些运算，它们都是有其实际背景的。为了说明线性方程组如何通 过矩阵来表示，先引进矩阵的乘法运算。定义1.3设矩阵A = (aik)mvi

5、的列数与B = (bkj)iXn行数相同，则由元素Cij=a iibij + ai2b2j + + aibij = ' ajkbkj k 二(i= 12,m ; j=1,2,n)构成的m行n列矩阵C = (cij )nXn = ( Xaikbkj )mxn 称为矩阵kAA与矩阵B的乘积，记为C=AB如果记.am 1x/la11a12a21a22aa2na,X二X2，b =b2 mlam2.amn矩阵在工业、农(1.3)则线性方程组(1.1)可以通过矩阵的乘法表示成矩阵方程Ax=b1.1.2矩阵的基本运算及性质需要指出，能用矩阵描述的问题并不局限于线性方程组。业、经济等许多领域有着广泛的

6、应用，伴随计算机技术的飞速发展，矩阵被更有效地运用到物理学、力学、化学、生物学、遗传学、医学等众多学科中，成 为解决线性问题的有力工具。矩阵己经有了完整的理论体系，本小节主要介绍矩阵的基本运 算。定义1.4设有两个mXn矩阵 记作A+B,规定为A = (aij )mxn, B= (bij)mxn,那么 A 与 B 的和A+B=an十九a21 *b21_am1 bm1应当注意，只有两个矩阵是同型矩阵这两个矩阵才能进行加法运算。矩阵加法满足下列运算规律(设a12a22am2时，d2+ Dn 11n+ b22 .aaa2n+ b2na,即它们的行数、列数分别对应相等B、C都是mXn矩阵)(1) A+

7、B= B+A(A+B)+C=A+(B+C)设矩阵A=(a”)，记-A= (- aO-A称为矩阵A的负矩阵,显然有A+( A)=O由此规定矩阵的减法为A B=A+( B)A或A,规定为定义1.5数与矩阵A的乘积记作A=A =-a*i2-a?2，am2设A、B为mXn矩阵，为数，数乘矩阵满足下列运算规律(D W = '(A)(2) (b+j)A=A+A(3) (A+B )= A+ B这些运算规律都很容易从数的运算规律得到。下面给出一些矩阵基本运算的 例子。例 1.1 设 A=5 B= 2163°3 a+b= .111例1.2- 13 -1-_32 3 305 = _ 3-4 5_

8、969015-12 15例1.3矩阵乘法-1 0 0 0-12-1+0+10 + 0+0 十 0 =0-1 +0 + 01 +0+0 十 120-12'-I0101210I 001°1000例1.4 矩阵乘法例1.5 1 -1 010 11-1110给定矩阵A= 010-1 01 11-1-10012211001200 1 B= 0 00 1 卫 0们0则有AB = 0 0 10 0 100 10 10000 0 0_=0卫0 010 0 = 00 0BA=0 00 0 00 0 0 .00由定义及例1.5可以看出，矩阵乘法与数的乘法有一些根本性的区别：(1)矩阵的乘法对相乘

9、的两个矩阵在行数和列数上是有要求的，即乘积AB中A的列数必须与B的行数相一致，否则乘法无意义。(2)可交换的，即在一般情况下，有意义时，BA不一定有意义，即使有意义,(3)能变成零矩阵。因而，由矩阵的乘法一般是不ABBA。实际上，AB 两者也不一定相等。两个非零矩阵相乘有可 AB=O并不能推出A=O或B=O。随之而来的是：由AB=AC,且A=O,并不能推出 可以验证矩阵的乘法满足如下运算规律(假设运算都是可行的)结合律A(BC)=(AB)C(2)分配律 fA+B) C=AC+BC A(B+C)=AB+AC为矩阵代数。A的jk bki证毕(3)对任一数 k,有 k( AB)=( kA)B=A(

10、kB)矩阵连同对其所定义的满足如上运算规律的加法、数乘和乘法运算一起称 对于矩阵，还可以定义转置运算。定义1.6把矩阵A的各行变成同序数的列得到一个新的矩阵，称为转置(transpose ),记作 A1"(或 A1,或 A")。'I 3 例如矩阵八=12。的转置矩阵为1(3-1 14 =乙-1°1矩阵的转置满足如下运算规律(假设其中所涉及的运算都是有意义的)(1) (AT)T=A(A+B)t=AT+BT(3) (A)T= At(4) ( AB)T=BTAT前三个规律是显然的，现在证明(4):设A =)是mXn矩阵，B=(bj)是nxp矩阵。于JE A =(

11、 aij )nXm , B =( bjj )pXn,其中 aj = aji, bj= bjiBTAT中第i行第j歹阮为nnn二 bjk a kjbkia Jk八 a jk bkik"kdn而(AB)T中第i行第j列元是AB中的第j行第i列元，即、匕km所以(AB )T= BTAT设A为n阶方阵，如果满足AT= A,即aij=aji (i,j=1,2,，n)那么A称为对称阵。对称阵的特点是：它的元以主对角线为对称轴而对应相等。1.1.3 几种特殊形式的矩阵如果矩阵八=(aj)行数与列数等于n,则称A为n阶矩阵(或称n阶方阵)。在方阵主对角线，主对角线上的元称三角形矩阵。三角形矩阵有00

12、a2i 322【0,an1 Sn2中，从左上角到右下角的对角线称为为对角元。主对角线一侧所有元都为零的方阵称为 两种，分别称an Si2din0a22a2n 或ann为上三角形矩阵或下三角形矩阵。主对角线以外全为零的n阶方阵010A称为对角线矩阵(diagonal matrix ),简称对角阵，也可以记为 =diag ( 11,、2,.n)主对角线上元都为1的n阶对角阵1000 1 . 0p 0.1称为n阶单位矩阵(identity matrix单位矩阵具有如下性质：)，记为E或En°在矩阵的乘法运算中，对任意矩阵A, B,有EA =A, BE=B这里假设上述矩阵乘法都是有意义的。1

13、.1.4 逆矩阵定义1.7 设A是一个n阶方阵，如果存在n阶方阵B,使得AB=BA=E则称A为可逆阵，B是A的逆矩阵(in verse )，简称逆阵；可逆阵也称为 非退 化阵或非奇异阵。性质1.1 如果方阵A可逆，则A有唯一的逆阵。证明设矩阵B、C都是A的逆阵，则有B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C所以A的逆阵是唯一的。证毕由于可逆阵A的逆阵为唯一确定，所以可以用符号表示，有A A= A A= E 利用逆矩阵的记号，可以方便地表示出某些线性方程组的解。考虑由n个方程、n个未知量构成的线性方程组："anXi +A2X2 +amXn321 Xi +322X2 +a2nXn =23

14、nlXl - 112X2SnnXn - g其系数矩阵是方阵311L|J 2.ama21a22a2nA a a a_an1an2ann假设A可逆，则可对如上方程组的矩阵表示形式Ax=b两端同时左乘Aj得到11A Ax= A b一1即Ex= A b从而解得x= A-1 b这说明，只要能够求得A-二则利用矩阵的乘法，就可以求出方程组的解。为了能求得A-i需要进一步探讨逆矩阵的性质。性质1.2如果矩阵A可逆，且AB=E,则必有BA=E ；如果矩阵A可逆，且BA=E,贝ij必有AB=Eo证明由A可逆，必有A1A=AAT=E又己知AB=E于是有 BA=E(BA)=(A 1 A)(BA)=A1 (AB)A=

15、A -1EA=A1 A=E 同理可以证明后一结论。证毕性质1.3如果n阶方阵A, B都可逆，则AB也可逆，并且-1 -1 -1(AB)=BA证明由于(AB) (BiA")=A(BBT)A-i=AEAT=AAi=E利用性质1.2直接可得(B A)(AB) =E所以A可逆，由逆阵的唯一性得：(AB)证毕这个性质可以推广到有限个方阵乘积的情况，即(AiA2.An) -1=An1 .A21Ar1性质1.4如果方阵A可逆，则AT可逆，而且(A1)i=A.证明直接利用逆阵的定义即可证明。A的每一列也AA1的第i行全A的每一列 证毕性质1.5如果方阵A可逆，则A的每一行都不能全为零,都不能全为零。

16、证明假设A的第i行全为零，则由矩阵乘法的定义可知 为零，这与AAGE矛盾。所以A的每一行都不能全为零。同理， 也都不能全为零。性质1.6如果方阵A可逆，则AT, kA ( k为任一非零常数)都可逆,(At) -1=(A-1)t 及(kA) t= A1 k11证明 因为 At(A1)t=(A-1A)t=Et=E 以及(kA) ( A-1) =( k )( A A1)= Ekk由性质1.2及定义即得结论。1.2矩阵的初等变换与逆矩阵的求法1.2.1 线性方程组的同解变换对于(1.1)所示的线性方程组，可以做如下的三种变换：(1)互换两个方程的位置；(2) 把某一个方程两边同乘以一个非零常数C;(3

17、) 将某一个方程加上另一个方程的k倍。这三种变换都称为初等变换。应当指出，如上的变换是可逆的。也就是，如果经过一次 变换把方程组(1.1)变成一个新方程组，那么，新方程组必可经过一次同类型的变换变为原方程组(1.1)o具体讨论如下：（1如果互换方程组（1.1）中第i,j两方程的位置，则对新方程再互换第i,j两方程的位置就变回原方程组（1.1）；（2）如果将方程组（1.1）的第i个方程乘以非零常数 c,那么，只要将新方程组的第i个方程乘以非零常数1/c就变回方程组（1.1）；（3）如果将方程组（1.1）的第j个方程加上第i个方程的k倍，那么，只要将新方 程组的第j个方程加上第i个方程的一k倍就变回原方程组（1.1）。因此，如果将方程组（1.1）经过若干次变换化为一个新方程组，那么，新方程组也可 以经过若干次变换化为一个原方程组（1.1）。另外，在做变换的过程中，方程组中方程的个数既不增加也不减少。定理1.1 设方程组（1.1）经过某一初等变换后变为另一个方程组，则新方 程组与原方程组同解。证明 设方程组（1.1）有一组解Xi = kl , x2=k2,xgkn,（1 .4）代入（1.1）之后得到m个恒等式a11k1 +a12k2+