2018届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上学期第二次联考数学(理)试题

1、4 永春一中 季延中学 培元中学 石光中学 2018 届高三年毕业班第二次联合考试试卷(数学理科) 组卷学校：永春一中 :120 分钟 试卷总分：150 分 本试卷分第 I卷和第 II卷两部分 考试时间 第 I卷(选择题，共 60 分) 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 、选择题：本大题共 项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上 1.若集合 A 二x| -3 ： x : 1，集合 B 二x|x2 _4，全集为 R，则 A“ B等于 A. -3,2 B -2,1) C . 一 3,一2 D . 1,2 2.已知Z是Z的共轭复数，

2、若 (z-z)i =2 (其中i为虚数单位)，则 z的虚部为 A. 1 B . -1 C 2 2 3.若双曲线C : x2 _ y2 a b =1 a 0,b 0的焦点到其渐近线的距离等于实轴长, 则该双曲线的 离心率为 A.、2 B .、.5 C. 4.在等差数列an中，若 a3 as a6， A. 1 B. C. D. 冲 1 贝U a6 87 2 D. 4 5.四棱锥P - ABCD的三视图如图所示, 三角形，则侧面中直角三角形的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 6.学校体育节的乒乓球决赛比赛正在进行中, 盘才最后获胜，若两人每盘取胜的概率都是 D. 4 小明必须再胜2盘才最后获胜，

3、 1 -，则小明连胜2盘并最后获胜的概率是 2 其中主视图是腰长为2的等腰直角 1 A. C. 7 16 D. & 32 7.函数f(x)的定义域是 R，且满足f (x) f(-x) =0，当 x 一 0 时，f(X)二 门，则f(x) 图象大致是 11.已知抛物线y2 =x，点A , B在该抛物线上且位于 坐标原点），若 AOB的面积记为S, AFB的面积记为S2,则2$ -S2的最小值是 j , g x =l n；T ，若fm=g n，则n-m的最小值为 .2 2ln 3 C . 3 2ln 2 D . 4 In 2 第 II卷（非选择题，共 90 分） 、填空题：本大题共 4 小

4、题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案填在答题卡的横线上 13. 已知向量a与b的夹角为120s, a|= 1, b = 2，则2a + b = _ . 14. 某商场在今年情人节的促销活动中， 对 2 月 14 日 9 时至 14 时的销售额进行统计， 8某同学想求斐波那契数列 0,1 , 1 , 2，（从第三项起每一项等于前两项的和） 的前10项的和， 入的语句是 A. c = a ; i 他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填 9 B . b=c ； i 9 C . c=a ; i10 D. b=c ； i10 9.已知曲线 G : f(x) =si n2x-cos

5、2x，曲线 C2 : g(x)-. 2s in x,则下面结 论正确的是 A.把G上各点的横坐标伸长到原来的 B.把 G 上各点的横坐标缩短为原来的 C.把 G 上各点的横坐标伸长到原来的 3T 2倍，纵坐标不变，再向右平移.得到C2 4 得到C2 4 3 二 1 -，纵坐标不变, 2 2倍，纵坐标不变, D. 把G上各点的横坐标缩短为原来的 1 一 、 ,纵坐标不变, 2 10. 2 2 5 3 （x -3） （2x 1）展开式中x项的系数为 A. -780 B -660 C . 780 再向左平移 再向右平移 再向左平移 .660 得到C2 4得到C2 x轴的两侧，OA OB = 2 （其

6、中 A. 3 B. 4二 C.也 4 17、2 8 A. 2 ln 2 B 其频率分布直方图如图所示 ,后面三组成等差数列，已知 9 时至 10 时的销售额为 2 万元，则 12 时至 13 时的销售额为 _ 万元. x AO 15. 实数x, y满足 x_y1 x y -1 _0，则丫一2的取值范围是 _ . x 1 2x-y-20 16. 四边形 ABCD中，厶ADC是边长为 6 的正三 角形，:ABC为等腰直 角三角形， ABC =90 ,沿AC将 ADC翻折成三棱锥D-ABC，DB = 3，此时点A，B，C，D 在同一个球面上，则该球的表面积是为 _ . 三、解答题：本大题共 6 小题

7、，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 请在答题卡各自题目 的答题区域内作答。 17.(本题满分 10 分) 、， j 1 n2 +n _ * 已知数列 七二的前n项和Sn ， nN . (I)求数列的通项公式; (n)设 bn =2an +(1 )nan,求数列bn的前 2n项和. 18.(本题满分 12 分) 在 ABC中，内角A, B,C对边的边长分别是a,b,c ,已知sinC n A = sin B_ 2sin A (I)求 C ; (n)若c = 2，过A作在AH _ BC , H在线段BC上, 且 CH : HB =，, 1 ： ： 3 .求 ABC的面积的最大

8、值. 19.(本题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形, AB/CD , AB _ AD , CDP =90 。 (I)证明：平面 ABCD _面PAD ； (n)若PA二PD二DC AD ,若二面角P - BC - A余弦值为 2 ，求直线PB与面PAD所成角的正切值. 2 20.(本题满分 12 分) 某工厂改造一废弃的流水线 M，为评估流水线 M的性能，连续两天从流水线 M生产零件上 随机各抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：记抽取的零件直径为 X 第一天， 直径/ mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 6

9、9 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 第二天 直径/ mm 58 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 2 4 5 21 34 21 3 3 2 1 1 1 100 经计算，第一天样本的平均值 叫=65，标准差匚,=2.2 ；第二天样本的平均值 =65，标 准差二2二2 （I）现以两天抽取的零件来评判流水线 M的性能 （i）计算这两天抽取 200 件样本的平均值 J和标准差匚（精确到 0.01 ）； （ii） 现以频率值作为概率的估计值，根据以下不等式进行评判（ P表示

10、相应事件的概率）， P（，!-；：X ：，；）_ 0.6826 ; P（，! -2；：X _0.9544 ; P（-3；：:： X 広二3二）_0.9974 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为优；仅满足其中两个，则等级为良； 若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格，试判断流水线 M的性 能等级. （n）将直径 X在-2匚,“范围内的零件认定为一等品，在 -3；二.3.:范围以外的 零件认定为次品，其余认定为合格品 .现从200件样本除一等品外的零件中抽取 2个，设为 抽到次品的件数，求 的分布列及其期望. 附注：参考数据：.442 2.102, .44 6

11、.648, .442 21.024 ； 参考公式：标准差 C (Xi -x)2 . 21. （本题满分 12 分） 2 2 i 已知椭圆C : x2 y2 =1(a -b .0)的长轴长为4，离心率为一，点P是椭圆上异于顶点的 a b 2 任意一点，过点P作椭圆的切线丨，交y轴于点A，直线过点P且垂直于丨，交y轴于 点B. (I)求椭圆的方程； (n)试判断以 AB为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由. 22. (本题满分 12 分) 已知函数f (x) =ae2x-(b-2)ex-x(aR)，其中e为自然对数的底数，e = 2.71828)1. (I)若a二b，判断

12、函数f(x)的单调性，并说明理由； (n)当 a = 0, b : 2 时，若函数 y = f (x)有两个零点 x1, x? (% ： x2), (i) 求实数b的取值范围； (ii) 求证：f i xi x2 ：o . I 2丿 永春一中 20 培元中学 届高三年毕业班第二次联合考试数学（理）科试卷 季延中学石光中学 参考答案 一、 选择题：（本大题共 1212 小题，每小题 5 5 分，共 6060 分） 1.B 2.A 3.B 4.A 5.C 6.C 7.A 8.B 9.C 10.D 11.C 12.D 二、 填空题：（本大题共 4 4 小题，每小题 5 5 分，共 2020 分） 1

13、3. _2 _ 14. _5_ 15. k _ _3，或 k _ 3 16. 84r: 三、 解答题： （1717 题 1010 分，1818- 2222 题各 1212 分，共 7070 分） 17. (本题满分 10 分) 解 (1)当 n = 1 时，a1 = S = 1 ； . 1 分 2 “ 2 “ , , n + n n 1 + n 1 八 当 n2 时，an= Sn Sn 1 = 2 = . 3 分 a1也满足an = n, . 4 分 故数列an的通项公式为an = n. . 5 分 由(1)知 an = n,故 bn= 2n+ ( 1)nn. 记数列 bn的前 2n项和为T2

14、n, 则 T2n= (21 + 22 + 22n) + ( 1 + 2 3 + 4+ 2n) . . 6 分 1 2 2n 记 A= 2 + 2 +-+ 2 , B= 1 + 2 3+ 4+ 2n, 2 1 22n 2n+1 则 A= 12 = 2 2, . 8 分 B= ( 1 + 2) + ( 3 + 4) + (2n 1) + 2n = n. . 9 分 故数列bn的前 2n 项和 T2n= A+ B= 22n+1 + n 2. 10 分 18. （本题满分 12 分） .sin C -sin A _ sin B -2 sin A b c a 由正弦定理可得c _ a = b _ 2a

15、. 2 分 b c + a Ji C . 6 分 4 (2)设 HB = x，贝U HC 二 AH = . 7 分 HB2 AH 2 二 AB2,解: (1) 化简得 a2 b2 2 -c 2ab =cosC , C 0,二 . 1 2 X2 =4 . 9 分 一1 当且仅当黑=：2 1时取等号 . 12 分 19. (本题满分 12 分) 解析：(1) ； AB/CD , ABCD 为直角梯形， AB _ AD , .CD 一 AD . . . 1 分 .CDP =90 即 CD _ DP . 2 分 又AD和DP为面ADP的两条交 线, . 3 分 .CD _ 面 ADP . . 4 分

16、又 CD 面 ABCD , . . 5 分 .面ABCD _ 面ADP . . . 6分 (2)设DC =2，易得 ADP为等腰直角三角形. 取AD中点O , BC中点M，连接PO , MO ,以OA , OM , OP分别为x , y , z轴. 则 S ABC 1 ，2 11 分 A 2,0,0 , D - 2,0,0 , C -、2,2,0 , P 0,02 . . 设 B、2,a,0 , 易得面ABCD的法向量n,= (0,0,1) . 8 分 设面PBC的法向量n2 = x, y, z , 又 PC =172,2, -、. 2 , B 2,2 一 a,0 , - f - * J2x

17、+2y -屮2z = 0 由PC丄n2 , BC丄n2得 _2 +(2 _ a )y = 0 令x =1则r) 2J2 a 2 2 a 2 a 因为二面角 P -BC -A余弦值为1 , 3 .2 2 ，解得 10 11 分 则直线PB与面PAD所成角的正切值为 12 分 20. (本题满分 12 分) 解：(I) (i )依题意：200 个零件 的直径平均值为 =65. 分 由标准差公式得： 100 2 2 第一天： (Xi -65) =1006 =484, i 100 2 第二天： (Xi -65) =100二22 = 400, i 1 则匚2 = 1 200 1 云+ O Y cos n

18、i, n2 二 P(62.9 ： X 乞67.1)=型=0.82_0.6826 200 ， 189 P （-2- : X _ 2二） 二 P （60.8 ： ： X 冬 69.2） 0.945 ： 0.9544 , 200 196 P（）-3二：X 乞3二）=P（58.7 ： X 乞 71.3） 0.98 - 0.9974 200 仅满足一个不等式，判断流水线 M 的等级为合 格 . . 6 分 （n）可知 200 件零件中合格品 7 个，次品 4 个， 的可能取值为 0,1,2，则 10 分 匕 0 1 2 P 21 28 _6 55 55 55 则 21 28 6 8 = 0 +1 +2

19、= . 55 55 55 11 12 分 21. (本题满分 12 分) . c 1 解：(1) 2a= 4 -=2, a 2 （注如果写出匚 1 (2.20 2) = 2.10 不给分) (ii) 由( 1)可知: P( =0) C72 C12 21 55 P( -1) C7 28 P( 2) 2 11 55 C C21 55 a= 2, c= 1, b= 3. . 3 分 2 2 椭圆的方程为 二+ y = 1. . 4 分 4 3 (2)设点 P(xo, yo)( XoH 0, 0), 2 2 x y 直线I的方程为y yo= k(x xo)，代入二+三=1, 4 3 整理，得(3 +

20、4) x + 8k(y kxo)x + 4(yo kxo)1 2 12= 0. T x = xo是方程的两个相等实根， 4yo 2 xo 八 又 T+ 3 =1, 4y2 + 3x2o= 12. ,2 小 2 、 4 yo + 3x o 以AB为直径的圆的方程为 3 yo x x + (y) (y+ 3) 令 y = 0，得 x = 1, 以AB为直径的圆恒过定点(1,0)和(一 1,0) . . 12 分 22. (本题满分 12 分) 解 ： ( f (x) =2ae2x -(a -2)ex -1 =(2ex -1)(aex 1). . 1 分 由 f (x) 0 可得 x *l n ；由 f (x) ： 0 可得- 2xo = 8k( yo kxo) 3 + 4k2 ， 解得k= 3xo 4yo. 直线I 的方程为yyo=談x-xo). 整理得 x2 + y2 +(y y3) 得点A的坐标为 o, 2 yo =0. (i) 当 a 0 时 x -In 2 ； (ii)当 a 0 时，由 f(x)=0 可得人二一1 n2，x2 立; 若x1 x2即a ” 一2，则 -1 na( : x)： _ ； -I4 分 若 Xi ： x?即 a -2，则 -1 n ：20可得x_l n 2 或 x ： ： ： na(