届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法

1、高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入 坐标、整理化简、限制说明"五个基本步骤求轨迹方程，称之直接法.例1已知点A( 2,0)、B(3,0).动点P(x,y)满足PA PB x2 ,则点P的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解：PA ( 2 x, y),PB (3 x, y) , PA PB ( 2 x)(3 x) y2x2 x 6 y2.由条件，x2 x 6 y2 x2,整理得y2 x 6,此即点P的轨迹方程，所以P的轨迹为抛物线，选 D.二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆

2、、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例2已知 ABC中， A、 B、C的对边分别为a、b、c,若a,c,b依次构成等差数列，且a c b , |AB 2 ,求顶点C的轨迹方程.C y y解：如右图，以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系.由题意，a,c,b构成等差数列，2c a b"A O B x即|CA| |CB| 2|AB| 4,又CB CA ,C的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆22中，a 2,c1,b 43,故C的轨迹方程为土上1(x 0,x2).43三、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P的坐标x

3、, y来表示，冉代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点 代入法，也称相关点法、转移法.P的轨迹方程，称之例3如图，从双曲线C : x2 y21上一点Q引直线l:x y 2的垂线,垂足为N ,求线段QN的中点P的轨迹方程4y解：设 P(x, y), Q (卬 yj ,则 N(2x x2y y1). N 在直线 l 上,x X12x Xi 2y y1 2.又 PN l 得y1 1,即 x y y Xi 0 .3x y 2联解得X1 2 一乂点Q在双曲线C上，(3X y 2)2 (3y X 2)2 1, 3y x 222y1化简整理得：2x2 2y2 2x 2y 1 0 ,此即动点P

4、的轨迹方程.四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律 和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.例4已知点A( 3,2)、B(1, 4),过A、B作两条互相垂直的直线11和12,求li和 12的交点M的轨迹方程.解：由平面几何知识可知，当 ABM为直角三角形时，点M的轨迹是以AB为直径的圆.此圆的圆心即为AB的中点(1, 1),半径为1AB 巫，方程为 22(x 1)2 (y 1)2 13.故 M 的轨迹方程为(x 1)2 (y 1)2 13.五、参数法参数法是指先引入一个中间变量(参数)，使所求动点的横、纵坐标 x,y间建立起联系，然后再从所求式子中消去参

5、数，得到x,y间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例5过抛物线y2 2px ( p 0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB,求弦AB的中点M的轨迹方程.解：设M (x, y),直线OA的斜率为k(k 0),则直线OB的斜率为 工.直线OA k的方程为y kx ,由kx解得2px2Pk2 ,即2PkA(21,"),同理可得 k2 kB(2pk2, 2pk).由中点坐标公式，得P_Pkpk2，消去k, pk得y2 p(x 2 p) ,此即点M的轨迹方程.六、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些 动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法2

6、2例6如右图，垂直于x轴的直线交双曲线 工 4 1a bM、N两点，Ai,A2为双曲线的左、右顶点，求直线 AiMA2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状.解：设 P(x, y)及 M(xi，yi), N(xi, yi),又 A( a,0), A2(a,0),可得直线A1M的方程为y 一y一(x a)；直线A2N的方程为y yL(x a). xi axi aX得y2222(x2 a2).又替与i, xiaa b2 yixi2),代入得22 (x2 a2),化简得aa2 y_ b2i ,此即点P的轨迹方程.当a b时，点P的轨迹是以原点为圆心、a为半径的圆；当a b时，点P的轨迹是椭圆.高考动

7、点轨迹问题专题讲解(一)选择、填空题1 .()已知Fi、F2是定点，严正| 8,动点M满足|MFi| | MF2 | 8 ,则动点M的轨迹是(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段2 .()设M(0,5), N(0, 5), MNP的周长为36,则 MNP的顶点P的轨迹方程是 2222，xyxy(A) i ( x 0) (B)i ( x 0) 25 i69i44 i692222(C) i ( y 0) (D) i (y 0)i69 25i69 i443.与圆x2 y2 4x 0外切，又与y轴相切的圆的圆心轨迹方程是；224 . P在以Fi、F2为焦点的双曲线 i上运动，则 FiF2 P的重心G的

8、轨迹方 i6 9程是；5 .已知圆C: (x 石)2 y2 i6内一点A(V3, 0),圆C上一动点Q, AQ的垂直平分线交CQ于P点，则P点的轨迹方程为.6. AABC 的顶点为 A( 5, 0 )、B(5, 0 ),ABC的内切圆圆心在直线x 3上，则2点C的轨迹方程是； 92L 116(x 3)22变式：若点P为双曲线工 9161的右支上一点,Fi、F2分别是左、右焦点，则 PFi F2的内切圆圆心的轨迹方程是;22推广：若点P为椭圆上 L 1上任一点，F259F2分别是左、右焦点，圆M与线段FiP的延长线、线段PF2及x轴分别相切，则圆心M的轨迹是;7.已知动点M到定点A(3,0)的距

9、离比到直线x4 0的距离少1,则点M的轨迹方程是y2 12x8 .抛物线y 2x2的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是.9 .过抛物线y2 4x的焦点F作直线与抛物线交于P、Q两点，当此直线绕焦点F旋转时，弦PQ中点的轨迹方程为.解法分析：解法1当直线PQ的斜率存在时,设PQ所在直线方程为y k(x 1)与抛物线方程联-5y2 k(x 1)，消去 y得 k2x2 (2k2 4)x k2 0.y 4x设 P(Xi, yi) , Q(X2,y2),PQ中点为M(x, y),则有Xi X2X 2k2y k(x 1)k2. k消 k 得 y2 2(x 1).当直线PQ的斜率不存在时，易得弦PQ的中

10、点为F(1,0),也满足所求方程.故所求轨迹方程为y2 2(x 1).解法 2 设 P(X1, y1) , Q(X2,y2),2r y1 4X1,由 2行(y y2)(y1 y) 4(x1 X2),设 pq 中点为 m(x, y),y2 4x2.当 X1 X2 时，有 2y 4 ,又 kpQ kMF 一 ，X1 X2X 1所以，y上2 ,即y2 2(x 1).X 1当X1 X2时，易得弦PQ的中点为F(1,0),也满足所求方程.故所求轨迹方程为y22(x 1).10.过定点P(1, 4)作直线交抛物线C: y 2x2于A、B两点，过A、B分别作抛物线C的切线交于点M,则点M的轨迹方程为. y

11、4x 4(二)解答题1. 一动圆过点P(0, 3),且与圆x2 (y 3)2 100相内切，求该动圆圆心C的轨迹方程.(定义法)222 .过椭圆X- y- 1的左顶点A1作任意弦A1E并延长到F ,使|EF| |AE|, A2为椭圆另一顶点，连结OF交A2E于点P ,369求动点P的轨迹方程.223 .已知A1、A2是椭圆与 三 1的长轴端点，P、Q是椭圆 a b上关于长轴A1A2对称的两点，求直线PAi和QA2的交点M的轨迹.(交轨法)4 .已知点G是4ABC的重心，A(0, 1), B(0,1),在x轴上有一点M,满足uuur uuuu uuuuuuu| MA | | MC | , GMA

12、BR .(1)求点C的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、 uuu uuirQ,且涉足|AP| |AQ|,试求k的取值范围.解：(1)设C(x,y),则由重心坐标公式可得G(-,), 3 3uuur . GMuuuAB ,点M在x轴上，；M (x,0).3uuir. | MA|uuur |MC|,A(0, 1),21(xx)2 y2，2即上3y2 1.2故点C的轨迹方程为-31 (y1).(直接法)(2)设直线l的方程为ykx1)，Pg»)、Q(x2,y2),PQ的中点为N .y kx b,3y2 3.3k2)x26kbx3(b2 1) 0 .又x136k2

13、b2 12(13k2)(b21)0,3k2X26 kb1 3k2一y1y2k(x1x2)2b6k2b1 3k22b2b手，N(3kb b2 ，1 3k 1 3k2)uuir uuur. | AP| | AQ |,AN PQ ,b1 3k23kb3k21 3k2 2b,又由式可得2b b20,二 0 b0 1 3k2 4 且1 3k2 2,解得故k的取值范围是1 k 1且k2_335.已知平面上两定点 M (0, 2)、N(0,2),P为一动点，满足uuu uuuuMP MNUULT UUUUPN MN .(I )求动点P的轨迹C的方程；(直接法)UULT(n)若A、B是轨迹C上的两动点，且AN

14、uurNB .过A、B两点分别作轨迹C的UULT切线，设其交点为Q,证明NQAB为定值.解：(I)设P(x,y).由已知uultMP (x, y 2)uuuuuuurMN (0,4), PN ( x,2y),uuurMPuuurMN 4y 8 .uuurPNuuuuMN4jx2 (y 2)unr uuuu . MP MNuuurPNuuurMN， 4y 84jx2 (y 2)2 整理,得 x2 8y .即动点P的轨迹C为抛物线，具方程为uuuuuur6.已知。为坐标原点，点E( 1,0)、F (1,0),动点 A、M、N 满足 |AE| m|EF |uuuuMNunrAFuur0,1 uuuu

15、 ON -(OAuuuruuuu UULTOF) , AM /ME .求点M的轨迹 W的方程.uuur解：: MNunr AF0,uurON1 UUU2(0AuuurOF) MN垂直平分AF.uuur UULT又AM /ME，:点 M在AE上,uuuu. | AM |uuir|ME |uur|AE|unruuum|EF | 2m , | MA |UULT |MF | ,uuur|ME |uruur|MF |UUT2m |EF|点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆,且半长轴a m ,半焦距c 1 ,2_2_22 b a c m 1 .2点M的轨迹W的方程为与 m2y2 m7.设 x, yR, i,

16、j为直角坐标系内x,y轴正方向上的单位向量，若向量ra xi (yr2)j , b xi (y 2)j ,r r且 IaI |b| 8.(1)求点M (x, y)的轨迹C的方程；(定义法)uuu uuu uuu(2)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设OP OA OB,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程，若不存在，试说 明理由.22解：(1) 土 工 1 ；12 16(2)因为l过y轴上的点(0,3).若直线l是y轴，则A,B两点是椭圆的顶点.uuu uuu uuuQ OP OA OB 0,所以P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾.故直线l的

17、斜率存在，设l方程为y kx3 ， A(Xi, y1), Bd, y) y kx 3,由x2y2消y得(41,12 16223k )x 18kx21 0,此时(18k)24(4 3k2)( 21)> 0包成立，且x1X218k2-， x1x24 3k21Z2 ，4 3kuuu uuu uuuQ OP OA OB ,所以四边形OAPB是平行四边形.uuu若存在直线l ,使得四边形OAPB是矩形，则OA OB,即OAuuuOB 0 .UUUuuuQOA (x1,y)OB (”*),uuu uuu二 OA OB x1x2 y1y2 0 .即(1 k2)x1x2 3k(x1 x2) 9 0.2(

18、1 k )(212) 3k4 3k,18k 、八八，25/日，(2-) 9 0 . k ，行 k4 3k216故存在直线l:.5y x43,使得四边形OAPB是矩形.8.如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2,定点E满足:uuu| EF |=2,且 EF luuuu uuuuuuir uuir于G,点Q是直线l上一动点，点 M满足：FM MQ，点P满足：PQ/EF, uuuu uiur PM FQ 0.(I)建立适当的直角坐标系，求动点 P的轨迹方程；(II)若经过点E的直线li与点P的轨迹交于相异两点A、B,令 AFB , 3 3当3时，求直线li的斜率k的取值范围.4解：(1)以FG的中

19、点。为原点，以EF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xoy,设点 P(x, y),则 F(0, 1), E(0, 3), 1:y1 .uuuu uuuu uuur uuu. . FM MQ , PQ/ EF ,Q(x,1) , M(-, 0).2uuur uuurx. PM FQ 0 ,；(-) 2x ( y)(2)0,即所求点P的轨迹方程为x2 4y .(2)设点 A(xi, yi), B(x2 ,y2)(xiX2)设AF的斜率为k1, BF的斜率为k2 ,直线11的方程为y kx 3y kx 3由 x2 4y6 分彳#x2 4kx12 0x1 x2 4kx4212227分2气亍(竿)2y1

20、y2k(Xx2)64k2 6cos事工3由于一42k 2FAFB224k 8 k 2|FA|22|FB| 4k 16 k2 口.1 cos 即210分k2 42k2 2V2解得kk2 21 -2k 44 8或k11分13分直线11斜率k的取值范围是k|k V8，或k4/89.如图所示，已知定点F(1, 0),动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点ujuuM ,并延长MP到点N ,且PMuur PFuuju 0 , |PM |uur|PN |.(D求动点N的轨迹方程;直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若uur uurOA OB 4 ,且4,6| AB | 4而，求直线l的斜率k的取值范围.

21、解:(1)设 N(x, y),uuuu uur由 |PM | |PN | 得 M( x,0),P(0,uuuu PMx,uuirPFuuur uur 又 PM PF0,即动点N的轨迹方程为y2 4x .10.已知点F(0,1),点M在x轴上，点N在y轴上，P为动点，满足uuuu uuurMN MFuuuu0 , MNuuur rMP 0 .(1)求P点轨迹E的方程；(2)将(1)中轨迹E按向量a (0, 1)平移后得曲线E ,设Q是E上任一点，过Q作圆x2(y1)2 1的两条切线，分别交x轴与A、B两点，求| AB |的取值范围.解:(D设 M (a, 0)、N(0, b)、P(x, y),u

22、uuuMNuuura,b)、MF ( a, 1)、umrMP(xa,由题意得a, b) ( a, a, b) (x1) 0, a,y) (0, 0).0,x .2,by,故动点P的轨迹方程为OS、OT上移动，且uuuOA11.如图A(m,T3m)和B(n, 73n)两点分别在射线 uur 1OB 一，2uur uuu uuu。为坐标原点，动点P满足OP OA OB.(1)求m n的值；(2)求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线?若直线l过点E（2, 0）交（2）中曲线C于M、N两点，且uuuruiurME 3EN ,求l的方程.解:uuu uuu _(i)由已知得 OA OB (m,V

23、3m) (n, V3n)2mnimn 一4uur uur设P点坐标为(x, y) (x 0),由OP OAuurOB得(x,y)(m, .3m) (n, . 3n)(m n, 73( m n),m_ n,消去m, n可得x2、3(m n)又因mn工，. P点的轨迹方程为4它表示以坐标原点为中心，焦点在2X2 y- i的右支.32Y i(x（3）设直线l的方程为x ty2,X轴上，且实轴长为2,将其代入C的方程得焦距为4的双曲线3(ty 2)2y23 即(3t2i)y2i2ty 9 0,易知（3t2 1） 0 （否则,直线i的斜率为V3,它与渐近线平行，不符合题意）又i44t2 36(3t2 i

24、)236(t1) 0,设皿卬丫外出儿则y y2召皿2923t2 i: l与C的两个交点M ,N在y轴的右侧X1X2(tyi2)(ty22),2t yy2 2t(yi y?)2t12t3t2 3t2 4 3t2 i3t2t2又由XiX20同理可得t2uur 由MEuuur3EN 得(2Xi,yi)3(2 X2 , y2) ，2 X yi3(2 3y2X2)由yiy23y2 y2由丫伙（3y2川23y212t 7 日2J寸 y23t i-9-得 y23t2 i6t2，3t 133t2 1 '2消去y2得36t 2V解之得：t22，满足0 t2(3t21)23t2 115故所求直线l存在，其

25、方程为： 55x y 275 0或/5x y 2厌 0 .12.设A, B分别是直线y2 52 5.uuu2sx和y35x上的两个动点，并且|AB|55uuur uuu uuu动点P满足OP OA OB .记动点P的轨迹为C.(I)求轨迹C的方程;(II)若点D的坐标为(0,求实数的取值范围.Luuur16) , M、N是曲线C上的两个动点，且DM解：(I)设 P(x,y),因为A、B分别为直线誓*和y §x上的点,uuurDN ,故可设A(X1,警X1)uuu OPuuuOAuuuOB ,X1 X2,2,5 /、(X1 X2) .5XiXiuuuAB5 2 .4y.,2020.(I

26、I)设 N (s,(xs, y 16(t. M、N在曲线C上，.2 , 一 ，2、消去s得 (16 t )16由题意知0,又t 4,X2X2x,5./、24 , (X1 X2) (X15X2)220.2即曲线C的方程为 25y),则由DM2.215 W 1,2 2s25(t 1616(t 1616)217215161,解得t2L 1.16DN ,可得(x, y-16) = (s16)21I .17152t-16).故实数的取值范围是5 l(1)1的两个焦点分别为E、F2,离心率为2.213.设双曲线士 a(1)求此双曲线的渐近线li、12的方程；(yJ)3(2)若A、B分别为li、12上的动点

27、，且21ABi5|2|,求线段AB的中点22轨迹方程，并说明是什么曲线.(二丝 1)7525提示:|AB| 10(x1x2)210 ,又 yi、3W x1' y2J3 x2'又2x3 ,、y2 (x2 X),y2y1X x2 , 2y y1y2代入距离公式即可.rur(3)过点N(1,0)是否存在直线l,使l与双曲线交于P、Q两点，且OP存在，求出直线l的方程；若不存在,说明理由.(不存在)14 .已知点 F(1, 0 ),设动点P到直线l的距离为d知1PF1久且(1)求动点P的轨迹方程;15 .如图，直线l : ykx1与椭圆C:ax2 y2 2 (a 1)交于A、0,若已u

28、uur OQ两点，以OA、OB为邻边作平行四边形 OAPB (O为坐标原点)(1)若k 1 ,且四边形OAPB为矩形，求a的值；(a 3)(2)若a 2,当k变化时(k R),求点P的轨迹方程.(2x22y0(y 0)216.双曲线C: -2a0)的离心率为2,其中A(0, b)B(a, 0),uur uuu且 |OA|2 |OB|2uurr uuu|OA|2 |OB|2.(1)求双曲线C的方程;(2)若双曲线C上存在关于直线l : y kx 4对称的点，求实数k的取值范围.2,解：(I)依题意有：a2b2b2-a2b2,解得：a 1,b V3, c32 c .2.所求双曲线的方程为x21.3

29、(H)当k=0时，显然不存在.当kwO时，设双曲线上两点 M、N关于直线l对称.由lMN,分直线MN的方程为y1-x b.则M、N两点的坐标酒足方程组 k由y 3x21 -x k2 y6消去丫得邰2 1)x23.2kbx (b2 3)k2显然3k20,(2kb)2 4(3k21)(b2 3)k20 .即2 242kb 3k 1设线段MN中点D (xo,y°)X0则y。kb3k2 1.3k 2 1 - D(x0,y0)在直线 3k2b2.3k 1l上一b 4.即3k 1k2b=3k2 1 把带入中得k2b2+bk2 0,解得b 0或b 1 .22.3k2 1 3k2 120或2kk k

30、的取值范围是(.311.3” 3，0)U(0,2)U(.uuir17.已知向量OA =(2, 0)并且满足 COM -AMr =K( CuMrWUTOC = AB =(0, 1),动点M到定直线y=1的距离等于d, uuuuBM - d2),其中O为坐标原点，K为参数.(I )求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；(R)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率 e满足?&e&与，求实数K 的取值范围.cuur uuur18 .过抛物线y2 4x的焦点作两条弦AB、CD,若AB CD 0,uuuu 1 uuu uuuuuLr 1 uuur uurOM (OA OB), ON (OC OD). 22(1)求证：直线MN过定点；(2)记(1)中的定点为Q,求证 AQB为钝角；(3)分别以AB、CD为直径作圆，两圆公共弦的中点