2017年高考全国卷一理科数学试题及答案

1、绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷一理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题 卡右上角“条形码粘贴处”。2 .作答选择题时，选出每小题答案后， 用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能 答在试卷上。3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；

2、 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4 .考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。1 .已知集合 A=x|x<1, B=x| 3x 1,则A. AI B x|x 0 B. AU B RC. AU B x|x 1D. AI B2 .如图，正方形 ABC咕的图形来自中国古代的太极图 .正方形内切圆中的黑色部分和白色 部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是B.A.3 .设有下面四个命题I 12P1 :右复数Z满足一

3、R ,则z R ；P2 ：右复数Z满足z R ,则z R ；P3:若复数Zi , z2满足取2R ,则4z2 ;P4 ：若复数z R ,则2 R .其中的真命题为A Pl, P3B.Pi, P4CP2, P3D. P2, P44.记Sn为等差数列an的前n项和.若a4 a§ 24 , S6 48 ,则 an的公差为5.A. 1B. 2C. 4D. 8函数f(x)在()单调递减，且为奇函数.若f(x 2) 1的x的取值范围是A 2,2B. 1,1C.0,4D.1,36.A. 15B. 20C.30D.351(1 )(1 x)展开式中x的系数为 x7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图

4、和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为D. 16C. 14A. 10B. 12那么在和 =1两个空白A. A i000和 n n iB. Ai000和 n n 2C. A i000和 n n iD. Ai000和 n n 29-已知曲线 C1: y cosx,C2：ysin(2x2 ),则下面结论正确的是3A.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移单位长度，得到曲线C2B.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到

5、曲线 C2C.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的i一倍，纵坐标不变,2再把得到的曲线向右平移单位长度，得到曲线C2D.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的i、一倍，纵坐标不变,2再把得到的曲线向左平移花i2i0.已知F为抛物线C: y2 4x的焦点,个单位长度，得到曲线 C2过F作两条互相垂直的直线li,l2,直线li与C交于A、B两点，直线|2与C交于H E两点，则|AB+| DE的最小值为A. i6B. i4C. i2D. i011 .设xyz为正数，且2x 3y 5z,贝UA. 2x 3y 5zB. 5z 2x 3yC. 3y 5z 2xD. 3y 2x 5z12 .几位大学生响应国家的创业号

6、召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了 “解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列i,i,2,i, 2, 4,i,2,4,8, i, 2, 4,8,i6,，其中第一项是2O,接下来的两项是 20,2i,再接下来的三项是 20,2i,22,依此类推。求满足如下条件的最小整数N:N i00且该数列的前N项和为2的整数哥。那么该款软件的激活码是A. 440B. 330C. 220D. ii0二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13 .已知向量 a, b 的夹角为 60° , |a|=2, | b|二i，则 | a +

7、2 b |=.x 2y 114 .设x,y满足约束条件 2x y 1,则z 3x 2y的最小值为 x y 0215.已知双曲线C ：。1(a 0,b 0)的右顶点为A,以A为圆心，b为半径做圆A, b圆A与双曲线C的一条渐近线交于M N两点。若 MAN 60°,则C的离心率为16.如图，圆形纸片的圆心为 Q半彳空为5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC勺中心为 Q 0E、F为圆O上的点， DBC AEC/A FAB分别是以BC CA AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC CA AB为折痕折起 DBC ECA FAB使得 口 E、F重合，得到三棱锥。当 ABCW边长变化时，

8、所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分。17. (12 分) ABC的内角 A, B,2C的对边分别为a, b, c,已知 ABC勺面积为a一3sin A(1)求 sin BsinC ；(2)若 6cos BcosC 1,a18. (12 分)如图，在四棱锥P-ABC由，AB/CD,且 BAP CDP90°.(1)证明：平面PABL 平面 PAD(2)若 PA=PD=AB=DC APD 90°,求二

9、面角 A-PBC 的余弦值.19. （12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N( , 2).(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3 ,3 )之外的零件数，求 P(X 1)及X的数学期望；(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3 ,3 )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i )试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取

10、的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95_1 16/ 1 162/ 1 16 22 2x芯广Ws伍J，x）苗（/附经计算得0.212,其中X为抽取的第i个零件的尺寸，i 1,2, ,16 .用样本平均数x作为 的估计值？，用样本标准差s作为 的估计值？，利用估计值 判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(？ 3?,? 3?)之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01 ).附：若随机变量Z服从正态分布N( , 2),则P( 3 Z 3 ) 0.997 4 , 0.99

11、7 416 0.959 2, -0.008 0.09 .20. (12 分)22/3已知椭圆 C：今 -y2=1 (a>b>0),四点 R (1,1 ), B (0,1 ), P3 (-1, 一)，P4 (1,a b2)中恰有三点在椭圆 C上.2(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为 -1,证明：l过定点.21. (12 分)已知函数 f (x) ae2x (a 2)ex x(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，

12、则按所做的第一题计分。22. 选彳44:坐标系与参数方程(10分)x 3cos在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 x 3, ( e为参数)，直线l的参数方y sin ,程为x a 4t,(t为参数).y 1 t,(1)若a=-1,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为"，求a.23. 选彳45:不等式选讲(10分)已知函数 f(x) x2 ax 4, g(x) | x 1| | x 1|(1)当a 1时，求不等式f (x) >g(x)的解集；(2)若不等式f (x) >g (x)的解集包含-1, 1,求a的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统

13、一考试全国卷一理科数学参考答案、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。1. A 2.B 3. B 4. C5. D 6. C7. B 8.D9. D 10. A11. D 12. A二、填空题:本题共 4小题，每小题5分，共20分。13. 21314. -515.2,3316. V15cm3三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17. (12 分) ABC勺内角A B,C的对边分别为a, b, c,已

14、知 ABC勺面积为3sin A(1)求sin Bsin C;6cosBcosC=1, a=3,求 ABC勺周长.解：（1）1 . 一由题息可得 S ABC bcsin A 22a3sin A '(2)化简可得2a2 3bcsin2 A ,根据正弦定理化简可得:222sin A 3sin BsinCsin A sin BsinCsin BsinCcosBcosC3八cos A16a r. r . cc1cos A Bsin BsinC cos BcosC一2因此可得将之代入sin BsinC-3中可得：sin C sinC sin C cosC 322 一一-sin C0化简可得tan

15、C C ,B , 366利用正弦定理可得bsinB 卫1J3,sin A3 22同理可得c J3,故而三角形的周长为3 2忑3。18. (12 分)如图，在四棱锥P-ABC珅,AB/CD,且 BAP CDP90o.(1)证明：平面 PABL平面PAD(2)若 PA=PD=AB=DC APD 900,求二面角 A-PBC 的余弦值.(1)证明:QAB/CD,CD PD AB PD ,又 AB PA, PA PDP , PA PD都在平面 PADrt,故而可得AB PAD 。又AB在平面PAB内，故而平面 PABL平面PAD(2)解：不妨设 PA PD AB CD 2a,以AD中点O为原点，OA为

16、x轴，OW z轴建立平面直角坐标系。故而可得各点坐标：P 0,0, J2a ,A J2a,0,0 ,B J2a,2a,0 ,C &a,2a,0 ,um - uuu -uuur- 一因此可得 PAV2a,0, J2a , PBJ2a,2 a, V2a , PC V2a,2 a, J2a ,iruu假设平面PAB的法向量n,x,y,1 ,平面PBC的法向量n2m, n,1 ,故而可得A血B p wp LrnlLrcf1o1UnnrSAoy 1oXa o -2 缶2ayuuuuir PCJ2am2an、,2a 0m 0uu同理可得ur n2uuu PB、2am2an,2a 0四,即n2 n

17、22ir uu因此法向量的夹角余弦值： cos n1,n2很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为,3319. （12 分）16个为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N( , 2).(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3 ,3 )之外的零件数，求 P(X 1)及X的数学期望;(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3 ,3 )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i

18、 )试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.951 161 161 16经计算得 X Xi 9.97, s J(xi x)2 J( xi2 16x2)2 0.212,16 i 11 16 i 1, 16 i 1其中Xi为抽取的第i个零件的尺寸，i 1,2, ,16 .用样本平均数X作为 的估计值？，用样本标准差s作为的估计值？，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(？ 3?,? 3?)之外的数据

19、，用剩下的数据估计和(精确到0.01 ).附：若随机变量 Z服从正态分布 N( , 2),则P( 3 Z 3 ) 0.997 4 , 0.997 416 0.959 2 , Jo.008 0.09 .解：（1） P X 11 P X 01 0.997416 1 0.9592 0.0408由题意可得，X满足二项分布 X B 16,0.0016(2)因此可得EX 16,0.001616 0.0016 0.0256由(1)可得P0.0408 5% ,属于小概率事件,故而如果出现(3 )的零件，需要进行检查。由题意可得M9.97,(10.212 然 3 M 9.334,然 3 M 10.606 ,故而

20、在9.334,10.606范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。此时:-9.97 16 9.22x 10.02 ,1515x x 0.09。20. (12 分)2 X已知椭圆C： -2 a2r=1 (a>b>0),四点 R (1,1 ), P2 (0,1 ), R (-1,回),P4 (1,b2旦)中恰有三点在椭圆C上.2(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明：l过定点.解：(1)根据椭圆对称性可得,3. 一 P1 (1,1 ) P4 (1, 不可能同时在椭圆上,(1,)一定同时在椭圆上,因此可得

21、椭圆经过P2 (0,1 ), R (- 1代入椭圆方程可得:2故而可得椭圆的标准方程为：4(2)由题意可得直线 P2A与直线P2B的斜率一定存在,联立kx 122 一4k 1 x 8kx 0 ,假设A x1,y1 , B x2, y2此时可得:8k 1 4k24 k2 1,4k2 1,B8 1 k 14 1k2,24 1 k 14 1k 1此时可求得直线的斜率为:/. 2214 1k 1 4ky2yl41 k2 14k2 1KabAB x2 x,8 1 k8k2T7274 1 k 1 4k 1r11化简可得kAB1一2 ,此时满足k -。1 2k2当k当k1 ,工人人升一时，AB两点重合，不合

22、题意。21 , _ , _1时，直线方程为：y218k2 x 21 2k 4k2 11 4k24k2 1,2，4k 4k 1 x即y 2，当x 2时，y1 2k1 ,因此直线恒过定点2, 121. (12 分)已知函数f")ae2x+( a - 2) e x - x.(1)讨论f (x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围xxae 1 e 1 。解:(1)对函数进行求导可得f' x2ae2xa 2 ex 1CD当a 0时，f' xaex 1 ex 10恒成立，故而函数恒递减1当a 0时，f' x aex 1 ex 10 x In ,故而可得函数在a11,In1上单调递减，在In1, 上单调递增。aa11(2)函数有两个零点，故而可得a 0,此时函数有极小值 f In In a - 1,aa要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0,1.1故而可得 ina 一 1 0 a 0,令 ga ln a 一 1, aaa 1对函数进仃求导即可得到g' a一2- 0 ,故而函数恒递增,a-，-1又 g1 0, g a in a 10 a 1 ,a因此可得函数有两个零点的范围为a 0,1。（二）选考题：共10分。请考生在第22、