随机变量的数字特征练习题

1、窗体顶端1.设随机变量X的概率分布为X 1 2 3 4p 1/81/4 1/2 1/8求E(X),E(X2),E(X+2)2.解. 由离散型随机变量的数学期望公式可知       E(X)=1×1/8+2×1/4+3×1/2+4×1/8=21/8;      E(X2)= 12×1/8+22×1/4+32×1/2+42×1/8=61/8;      E(X+

2、2)2=E(X2+4X+4) =E(X2)+4E(X)+4=61/8+4×21/8+4=177/8.窗体底端窗体顶端2.某种产品共有10件,其中有次品3件.现从中任取3件,求取出的3件产品中次品数X的数学期望和方差.解.由题意可知,随机变量X的取值范围是0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为 ;   ; ; .因此 E(X)=0×7/24+1×21/40+2×7/40+3×1/120=9/10;           

3、0;     E(X2)=02×7/24+12×21/40+22×7/40+32×1/120=13/10; D(X)=E(X2)-(E(X)2=13/10-(9/10)2=49/100.窗体底端窗体顶端3.一批零件中有9个合格品与3个废品,在安装机器时,从这批零件中任取1个,如果取出的是废品就不再放回.求在取得合格品之前,已经取出的废品数的数学期望和方差.解. 随机变量X表示在取得合格品之前,已经取出的废品数.所以 X的所有可能取值为0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为 P(X=0)=9/12=3/4 ; &#

4、160;     ;     ;      .所以由数学期望公式得到 E(X)=0×3/4+1×9/44+2×9/220+3×1/220=0.3 ;     E(X2)= 02×3/4+12×9/44+22×9/220+32×1/220=9/22 ; D(X)=E(X2)-(E(X)2=9/22-0.32=0.319.窗体底端窗体顶端4.射击比赛,每人射四次(每次一发),约定全

5、部不中得0分,只中一弹的得20分,中两弹得40分,中三弹得70分,中四弹得100分.某人每次射击的命中率均为3/5,求他得分的数学期望.解. 随机变量X表示此人的得分. 根据题意,可得       ,                 ,           &

6、#160;   ,                 , . 所以                  =54.05.窗体底端窗体顶端5.设随机变量X的概率分布密度函数为 ,求X的数学期望和方差.解. 根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知 ; 又因为  &#

7、160;        ; D(X)=E(X2)-(E(X)2=2/12-1/2 .窗体底端窗体顶端6.设随机变量X的概率分布密度函数为 .求X的数学期望和方差.解. 根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知 ,又根据密度函数的性质 得到                         A=15/

8、16 即 E(X)=1. 又                                ; D(X)=E(X2)-(E(X)2=8/7-1=1/7.窗体底端窗体顶端7.设随机变量X的概率分布密度函数为 , 且已知方差D(X)=1, 求常数a和b.解. 显然常数a0.由密度函数的性质 可知    根据数学期望公式得到 ;       ; 由已知 D(X)=E(X2)