2.4.1平面向量的数量积(精编教案)

1、2. 4. 1平面向量的数量积考试目标主词填空1 .定义及运算律.两个向量的内积(即数量积，其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”.设a及b是具有共同始点的两个非零向量，其夹角0满足：0。< 0 W180。，我们把|a| |b| cos。叫彳aa 与 b 的数量积，记作 ab若 a=(xi,yi),b=(X2,y2)Ua b=xiX2 + yiy2.其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律"，即:ab= b a，(入a)b=(a .b),(a ± b) c= a c ± b c.2 .平面向量数量积的重要性质 .1a1=Ja a =

2、 *；|a | |a | cos6 =、；|a |2 ;cos。= (a b) ;|a - b|< |a| |b|,当且仅当 a,b共线时 |a| |b|取等号. 设a=(xi ,yi), b=(x2,y2),则:|a|= qx2 +y12;cos 0(七*2_% 丫2)_ xi2yi2、x2 y2;|xix2+yiy2| <xi2yfx2 y23 .两向量垂直的充要条件若a,b均为非零向量，则:abu a b=0.若 a=(xi,yi),b=(x2,y2),贝U abu xix2+yiy2=0.4 .向量的模及三角不等式|a|2= a ,a 或|a|= Ja a ;|a - b|

3、< |a| -|b|;|a|2-|b|2=(a+b) - (a-b);|a± b|= Ja2+b2 ±2 |a | |b| cosO(0 为 a,b 夹角);|a|-|b|< |a± b|< |a|+|b|.5 .三角不等式的推广形式|ai+a2+ an|< |ai|+|a2|+|an|.题型示例 点津归纳【例1】 计算下列各题(1)已知等边三角形 ABC边长为1,且BC = a,CA=b,AB = c,求a b+ b c+ c a;(2)已知a、b、c是空间中两两垂直的向量 ，且|a|=1,|b|=2,|c|=3，求r=a + b+ c的

4、长度以及它和 a,b,c的夹角;(3)已知(a+3b)与(7a-5b)垂直，且(a-4b)与(7a-2b)垂直，求a、b的夹角；(4)已知|a|=2,|b|=5,a,b的夹角是兀，p=3a-b,q=入a+17b,问系数入取向值时，p±q.3【解前点津】(1)利用x2=x 乂通过对(a + b+ c)2的计算得出结论；(2)运用公式及运算律;(3) 利用两向量垂直的充要条件 ；(4)利用两向量垂直的充要条件，运算律以及内积定义.构造关于入的方程，解之即得.【规范解答】(1) - (a+ b+ c)2= a2+b2+ c2-2(a b+b c+c a)=3-2( a b+b c+ c a

5、)=03=a b+ b c+ c a=./|r|=Jr2(2)cos r,a = r a|r | |a|r2=( a + b+ c)2= a2+b2+ c2-2( ab+bc+ c - a)=14-2( a - b+ b c+ c - a)=14.1 |r|= J4 -cos r, a =2(a ' b ' c) a |a |J4 |a| J4 |a |14 ;14 ，cos r, b =(a b c) b | b |2、14 |b | J4 |b |cos r, c =(a - b c) c | c |2由条件:(a+3b) - (7a-5b)=7|a|2-15|b2+16a

6、 b=0,(a-4b) - (7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a b=0=|a|2二|b|2=2a b= (|a| - |b|)2=4(a b)2二a b|a| |b|由 cosa,b)=工得：<a,b)= W; 23由 cos (a,b >=-1得:(a,b )= u(4)令 p - q=0 得:(3a-b) -(入 a+17b)=0n 3 入 |a|2-171b|2+(51-入)a - b=0将 |a|=2,|b|=5,a - b=|a| - |b| cos n代入得 3 入 4-17 x 25+(51-入)(-5)=0 解之：入=40. 3【解后归纳】综合利用内积的

7、定义及运算律，内积运算形式与实数运算形式的相互转化，是计算的一项基本功.例2在ABC中，AB =(2,3), AC =(1,k),且 ABC的一个内角为直角，求 k的值.【解前点津】因谁是直角，尚未确定，故必须分类讨论【规范解答】当/ A=90°时，因为AB AC =0,2X 1+3 - k=0,.1. k= 3当/B=90° 时，BC = AC - AB =(1-2,k-3)=(-1, k-3) AB11- BC =0,. .2X(-1)+3 X(k-3)=0= k=213 ,当/C=90° 时，. aC - bC =0, .-.-1 + k - (k-3)=0

8、,k2-3k-1=0=> k= 3"v'32.k的取值为:-24或*3【解后归纳】在三角形中计算两向量的内积，应注意方向及两向量的夹角【例3 用向量法证明以下各题(1)三角形中的余弦定理：a2=b2+c2-2bc - cosA;(2)平行四边形成为菱形的充要条件是其对角线互相垂直；(3)内接于半圆且以直径为一边的三角形为直角三角形.【解前点津】(1)(如图1)在 ABC中，构造内积AB - AC ,(2)在平行四边形 ABCD中，证明内积AC BD =0.【规范解答】(1)在 ABC中.由 AB AC =| AB | | AC | cosA=bc cosA=2 AB A

9、C =2 bccosA又. AB AC =( AC + CB ) - AC =( AC - BC ) - AC=Ac 2- ac - bcAb Ac = AB - ( Ab + Be )= AB 2+ AB - Be + 得:2AB - AC = AC 2- AC - BC+AB2+AB - BC=AC 2+ AB 2- BC 2=b2+c2-a2 代入得： b2+c2-a2=2bc cosA 故:a2=b2+c2-2bc cosA.(2)必要性，因平行四边形 ABCD为菱形(如图2), 那么：| AB |=| Be |=| Cd |=| DA |于是:AC BD =( AB + BC ) -

10、 (BC + CD )=(-CD + BC ) - ( BC + CD )=BC 2- CD 2=| BC |2-| CD |2=0,. AC ± BD .例3题图解(3)(3)如图3,。是半圆的圆心，直径 AB是4ABC的一条边，连CO,则OA=OB=OC, cA cb =(co + oA ) - (co + oB )=( co-ob) (co +oB)= co 2- oB2=| co |2-|oB |2=o,CA ± CB，/ACB=90° .【解后归纳】将平面图形中垂直关系的论证，转化为内积的运算，是应用向量知识的常规方法.例4已知平行四边形以 a=(2,1

11、), b=(1,-3)为两邻边.(1)求它的边长和内角；(2)求它的两对角线的长和夹角.【解前点津】利用内积的有关运算性质.【规范解答】(1)|a|= .22 12 =、,5 ,|b|,. 12 (_3)2 =、,10a b (2 1 -1 3). 2=cos a =,|a l|b| .5 J010a = % -arccos、2-.10(2)|a+b|= . (a b)2 =；a2 b2 2ab 5 10 2(-1) =,;13 ,|a-b|= a2 b2 -2ab =.J5 10-2 (_1)=J17.cos 3 =1 ,、 1 ,、(a b) (a -b)221 (a -b) 212(a

12、b)二 a2 -b2 = 5-10_ 5. 22113 、17.13 - .17221【解后归纳】本题综合运用了向量的有关运算性质，也可利用余弦定理求解 对应训练 分阶提升一、基础夯实1 .已知|a|=1,|b|二拒,且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是()A.60°B.30°C.135°D.45°2 .已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为 5,则向量m= a-4b的模为 ()A.2B.2 ,3C.6D.123 .a2是两个非零向量,(a+ b)2= a2+ b2是ab的 ()D.既不充分又不必要条A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要

13、条件4 .若 a=(-4,3), b=(5,6)，则 31a|2-4a b 等于 ()A.23B.57C.63D.835 .已知a=(入，2),b=(-3,5)且a与b的夹角为钝角，则 入的取值范围是A10B.入京10 兰c1010A.入一C.入 < D.入 w 33336 .已知a=(4,3)，向量b是垂直a的单位向量，则 b等于 (A囱4 ':成色3'； B色冬在口2-A(5,5 尸(5,5)Bl5,5 f 5 5, 5)C(3,_4KC4,3j口 白,“或 J")55. 5 555. 5 57 .已知a=(2,3), b=(-4,7),则a在b方向上的投影

14、为()8 bTc.5D.q555138.已知A(3,2),B(-1,-1)，若点P(x,-1)在线段AB中垂线上，则x为 ()2A. - B. -C.2D.-2449 .已知a=(3,0), b=(k,5),且a与b的夹角为 空，则k的值为 ()A.-4B.4C.5D.-510 .已知a=(3,-1), b=(1,2)，求满足条件:xa=9与x b=-4的向量x为 ()A.(2,3)B.(2,-3)C.(-2,3)D.(-2,-3)、思维激活11 .已知向量 a、b 的夹角为-3,|a|=2,|b|=1a+b| |a-b|=.212 .已知 ab、c与 a,b 的夹角均为 60，且|a|=1,

15、问=2,|和=3,则(a+2b-c) =13 .已知 a=(1,2), b=(1,1), c=b-ka,若 c，a,则 c=.14 .已知点 A(1,0),B(3,1),C(2,0)，且 a= BC ,b=CA,则 a 与 b 的夹角为 三、能力提高15 .设A、B、C、D是平面内任意四点，求AB CD + BC AD + CA BD值.16 .设 OA=(3,1), OB =(-1,2), OC LOB ,BC / OA ,O 是原点，求满足 OD + OA = OC 时的OD坐标.17 .已知两单位向量 a与b的夹角为120° ,若c=2a-b,d=3b-a,试求:c与d的夹角.

16、18 .已知 a=(石,-1),b= ,3-!；且存在实数k 和t,使彳导x=a+(t2-3) b,y=-ka+t-b,且 x22±y,M求心；的最小值.t第4课平面向量的数量积习题解答1.Da - (a-b)=a2-a - b=0, a - b=1=1 近 cos 0 ,.1. cos 0 = 1=.22.B|m|= m2 = a2 16b2 -8a b ='；22 16 -8 2 1 cos - 20_16cosi 二 ,3=2-. 3 .3.C4.D5.A展开得:a2+b2+2a - b= a2+b2= a - b=0.原式=3(42+32)-4 (-20+18)=83

17、.1. a - b=10-3 入,|a|= 4 +*,|b|= J34，.二由 cos a =10 1电.34 . 4 -2<0得入6.D设b=(x,y),贝U x2+y2=1且4x+3y=0解方程组得<x =5或4y = 一554y 二一57.C13656558.C由条件知AB中点为M !1,；2，令 MP AB=0 得:(x-1,-1) (dTAqx-D+bl) (-3)=0, x=2.a - b=2 x (-4)+3 x 7=13,|a|= <13 ,|b|= 765" ,13=，13父65 - cos 0 ,|a| - cos 09.D10.B设x=(m,n

18、),则由条件得3m -n =9m +2n = -4m =2，故 x=(2,-3).n = -3作内积:a - b=3k=3 <k2 +25 cos- n k<0 且 Jk2 +25 =-五 k= k=-5.411 .由已知条件得：a b=1,故原式=J(a+b)2 (ab)2 = J(4* +2)(4+12)=历.3一12 .由条件得：c a=3X1Xcos60 =,c b=3 x 2 cos60 =3.2二原式=a2+4b2+ c2+2a - c+4a - b-4b - c=1+16+9+3-12=17.13 .二。*/2。.由 c a=0 得 1 (1-k)+2(1-2k)=0 得 k= 二 c='-,- 55514 .由条件 a=(-1,-1), b=(-1,0)= |a|= J2 ,|b|=1,由 a b=V2cos。得:(-1 - (-1)+(-1) 0=«2cos。II.I痴15 .AB = AD - BD , BC = BD -CD ,CA = CD - AD , .原式=(AD-BD ) CD +( BD - CD ) - AD +( CD - AD ) - BD=AD CD - BD - CD + AD BD - AD -