D63三重积分的1计算2ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第三节3、球面坐标系下、球面坐标系下三重积分的计算 第六章 2、柱面坐标系下、柱面坐标系下1、直角坐标系下、直角坐标系下目录 上页 下页 返回 结束 复习、三重积分的概念复习、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用kkkkv),(),(kkkkv引例引例: 设在空间有限闭区域设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀内分布着某种不均匀的的物质,),(Czyx求分布在 内的物质的可得nk 10limM“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M .密度函数为目录 上页 下页 返回 结束 定义定义. 设设,),(

2、, ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(称为体积元素, vd.dddzyx若对 作任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在 上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv以下“乘中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域 上连续,则存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 为 的体积, 积和式” 极限记作记作目录 上页 下页 返回 结束 1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2

3、 . 截面法截面法 (“先二后一先二后一”) 方法方法3 . 三次积分法三次积分法 ,0),(zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:目录 上页 下页 返回 结束 zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(细长柱体

4、微元的质量为),(2yxzz ),(1yxzz 微元线密度记作yxddO目录 上页 下页 返回 结束 ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:为底, d z 为高的柱形薄片质量为zD以该物体的质量为vzyxfd),(bazDyxzyxfdd),(zDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd记作xyzO目录 上页 下页 返回 结束 投影法方法方法3. 三次积分法三次积分法设区域:利用投影法结果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得:vzyxf

5、d),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数在积分域上变号时, 因为),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均为为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.2),(),(zyxfzyxf目录 上页 下页 返回 结束 小结小结: 三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次积分三次积分”),(),(21d),(ddyxzy

6、xzDzzyxfyxvzyxfd),(zDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据vzyxfd),(vzyxfd),(三种方法各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择. 目录 上页 下页 返回 结束 其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .解解: :zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面1xyz121O目录 上页 下页

7、 返回 结束 xyz例例2. 计算三重积分计算三重积分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2222(1)dcczzabzc czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDzO目录 上页 下页 返回 结束 例例3 1,:,22zyxzdxdydz解一解一之之间间介介于于1, 0 zz zyxzD 22: )( 10)(zDdxdydzdxdydz 102 zdz先重后单先重后单目录 上页 下页 返回 结束 Drdrrddxdyyx20102222)1(4)1( 解二解二 先单后重先单后

8、重将将 投影到投影到 xoy 面得面得D 122 yx221Dxydxdydzdz dxdy 例例3 1,:,22zyxzdxdydz目录 上页 下页 返回 结束 2()2222,(.),VIz dvxyvzzhab计算三重积分其中由所围例例4xyzoh)(z2( )dvIzv20()zhz dzdxdy20hzzdz41.4abh20hzabzdz解解目录 上页 下页 返回 结束 15oxyabc解法一解法一(.)zzzv用平面去截得()z22()2zabczc2( )dvzv0cdz20czzdz2220()2cabzczdzc532230.06abcabcc例例52( ):d ,( ):

9、.1vxyzzv vabc用两种积分次序分别求解三重积分由与三坐标面所围z2()dzz目录 上页 下页 返回 结束 oxyabc解法二解法二( )().xyvxoy将向面投影得)(xy0(1. )xyzcab则2( )dvzv()dxy33()1(1) d3xyxycab301d3acx3401(1)12axbcdxa3.60abcz(1)20dxycabzz (1)30(1)xbaxydyab目录 上页 下页 返回 结束 例例62222111211()dddxxxyxyxz计算I=解2( )dvIxv2212()dxyxz222()1dxyxxy222()cos1 d dxyrrr r220

10、cosd ()dxy1350()drrroxyr11146目录 上页 下页 返回 结束 (1)( , , ):( , , ),( , , ),( , , )(1)( , , ), ( , , ), ( , , )( , , )(2)( , , )0;( , , )(3):( , , )d d ( , , ),VVf x y zVTxx u v wyy u v w zz u v wVVx u v w y u v w z u v wCx y zVJ u v wu v wT VVf x y zx yf x u v w y定理 设在有界闭域上连续，变换将有界闭域变为 ，且满足；在上雅可比式变换是一对一

11、的，则有dz( , , ), ( , , ( , , ) d d d .u v w z u v w J u v wu v w2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 目录 上页 下页 返回 结束 xyz,),(3RzyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面z),(zyxM)0 ,(yxO目录 上页 下页 返回 结束 如下图, 在柱面坐标系中体积元素为zvdddd因而zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1) 积分域

12、表面用柱面坐标表示时方程简单 ;2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.zdddzzddddxyzddO目录 上页 下页 返回 结束 2axyzO其中 为例例7. 计算三重积分计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面zvdddd20dazz0dzzddd2原式298a由柱面cos2围成半圆柱体.目录 上页 下页 返回 结束 OOxyz例例8. 计算三重积分计算三重积分解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下h:hz42dhh2022d)4(124)41ln()

13、41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所围成 .与平面其中 由抛物面42zvdddd原式 =目录 上页 下页 返回 结束 解解22243zz1,3,z222222: ( , ):03,43xyx yDxyxyzxy，222234xyxyDIdxdyzdz.134xyzo222229,43Izdxdydzxyzxyz例 计算其中 是球面与抛物面所围的立体.42329001(4)2dd 429142Dd d 目录 上页 下页 返回 结束 V22223.4( , , )V2z0.If x y z dxdydzzxyxyx课本例 把三重积分化

14、为柱面坐标下的累次积分，其中 是由锥面，圆柱面及平面所围成目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 ,),(3RzyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,zOMzr),(r则0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面, rOM 令),(rMsinrcosrz MxyzO目录 上页 下页 返回 结束 rddrdd如下图, 在球面坐标系中体积元素为dddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfr

15、F适用范围适用范围:1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.dddsin2rrxyzO目录 上页 下页 返回 结束 xyzO例例10. 计算三重积分计算三重积分,ddd)(222zyxzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解: 在球面坐标系下在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr 020其中 与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20d4Rr 目录 上页 下页 返回 结束 zD1zD2例例11 .计算积分计算积分2222RzyxzRzyx2222及,ddd2zyxz其中 是两个球 ( R 0

16、 )的公共部分.提示提示: 由于被积函数缺由于被积函数缺 x , y ,原式 =zDyx1ddzzzRzRd)2(2022利用“先二后一” 计算方便 .zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059RRzyx2RO目录 上页 下页 返回 结束 课本例题课本例题3.6 设设(V)为球面为球面x2+y2+z2=2az(a0)和锥面和锥面(以以z轴为对称轴，顶角为轴为对称轴，顶角为2)所围的空间区域，求所围的空间区域，求V的体积。的体积。xyzO目录 上页 下页 返回 结束 课本例题课本例题3.8 计算计算2V()cos() d,xyzxyzV 其其中中( , ,

17、)|01,01,01Vx y zx yx zx y z 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* * 说明说明: :三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成 ;目录 上页 下页 返回 结束 2,zxz1. 将. )(),(Czyxf用三次积分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中 由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考与练习思考与练习六个平面围成 ,:目录 上页 下页 返回 结束 2. 设设, 1:222zyx计算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用对称性利用对称性原式 = 122ddyxyx0奇函数222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz目录 上页 下页 返回 结束 3