平方根专题复习(教师版)

1、平方根知识讲解（学生版）【学习目标】 1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方 根【要点梳理】 知识点一、平方根和算术平方根的概念1. 算术平方根的定义如果一个正数 x的平方等于 a，即 x2 a ,那么这个正数 x叫做 a的算术平方根（规定0 的算术平方根还是 0）； a 的算术平方根记作 a ，读作“ a 的算术平方根”， a 叫做被 开方数 .要点诠释： 当式子 a 有意义时， a一定表示一个非负数，即 a 0，a0.2. 平方根的定义如果x2 a，那么 x叫做a的平方根 .求一个数 a的平方根的

2、运算， 叫做开平方 .平方与开平方互为逆运算 . a （ a 0）的平方根的符号表达为a（a 0），其中 a 是a的算术平方根 .知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a 和 a2联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0 的平方根和算术平方根均为 0 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方 根；负数没有平方根（ 2）正数的两个平方根互为相反数， 根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根 . 因此，知识点三、平方根的性质aa0a2 |a | 0a0aa0知识点四、平方根小数点位数移

3、动规律被开方数的小数点向右或者向左移动向左移动 1位. 例如： 62500 250，我们可以利用算术平方根来研究平方根 .a a a 02 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者625 25， 6.25 2.5， 0.0625 0.25.基础班 1【典型例析】类型一、平方根和算术平方根的概念A. 5 是 25 的算术平方根 B.l2C. 4 的平方根是 4 D.0是l 的一个平方根的平方根与算术平方根都是 0答案】 C； 解析】 利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项A. 因为 25 5，所以本说法正确；B. 因为± 1 ± 1，所以 l 是 l 的一个平方根说法

4、正确；C. 因为±4 2 ± 16 ± 4，所以本说法错误；D. 因为0 0， 0 0，所以本说法正确；总结升华】 此题主要考查了平方根、 算术平方根的定义， 关键是明确运用好定义解决问题变式】判断下列各题正误，并将错误改正：1）9没有平方根 （）( 2) 164 （）3）（ 1）2 的平方根是1 (10） （ 4）254是 4 的算术平方根 （25）答案】 ；×； ； ×，提示：（2） 16 4；（4）2是 4 的算术平方根5 252、 填空：（ 1） 4是 的负平方根3）表示4）若3，则 x，若 x2 3，则 x思路点拨】3）1就是 1 的

5、算术平方根81111，此题求的是 1 的算术平方根99答案与解析】 (1)16 ；(2) 1 ;1 (3) 1 (4) 916 4 3总结升华】 要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化；± 3变式 1】下列说法中正确的有（）：3是 9的平方根 9 的平方根是 34是 8的正的平方根8是 64的负的平方根A1个B2 个C 3 个 D 4 个答案】 B；提示：是正确的 .变式 2】求下列各式的值：1） 3 25 （ 2） 81 363） 0.04 0.254） 0.36 121答案】（1）15；（2）15；（3）0.3 ；（4） 6553、使代数式 x 1 有

6、意义的 x 的取值范围是 【答案】 x 1；【解析】 x 10，解得 x 1.总结升华】 当式子 a 有意义时， a一定表示一个非负数，即a 0， a0.变式】若+（ 3x+y 1）2=0，求 5x+y2 的平方根答案】 解： + （ 3x+y 1）2=0，225x+y 2=5×1+（ 2） 2=9 ，5x+y 2 的平方根为 ± = ±3类型二、利用平方根解方程4、求下列各式中的 x 值 （1）169x2=144（2）（x 2）236=0【思路点拨】（1）移项后， 根据平方根定义求解； （2）先将（x2）看成一个整体， 移项后， 根据平方根定义求解【答案与解析】

7、解：（1）169x2=144，两边同时除以 169，得1442x169开平方，得x=2）（x2）236=0，移项，得 （ x 2）2=36开平方，得 x2=± 6，解得： x=8 或 x= 4总结升华】 本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3 倍，面积是 1323 平方米求长和宽各是多少米？解：设宽为 x ，长为 3x ， 由题意得， x ·3x 132323x2 1323x 21x 21（ 舍去 ）答：长为 63 米，宽为 21 米 .【总结升华】 根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中

8、边长都是正数 .基础班 2【巩固练习】一. 选择题1. 16 的平方根是（ ）A.4 B.4 C. ± 4 D. 256 【答案】 C；【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数 .2下列各数中没有平方根的是（）2A 3 2B 0C【答案】 D；【解析】负数没有平方根 .3. 下列各等式中，正确的是（ ）A= 3 B± =381D 6答案】 A；解析】解：A、=3，故 A 正确；B、3，故 B 错误；C、被开方数是非负数，故 C 错误；D、=3，故 D 错误；故选： A4. 要使代数式 有意义，则 的取值范围是 （BA【答案】 B；解析】被开方数为非负数CD5. 下列语句不

9、正确的是（A0 的平方根是 0B正数的两个平方根互为相反数C 22 的平方根是± 2Da是 a2的一个平方根答案】 C；解析】 22 没有平方根 .6.一个数的算术平方根是 a ，则比这个数大8 数是A a 8B a 4Ca2 8Da2 8答案】 D；解析】一个数的算术平方根是 a ，则这个数是 a2.二. 填空题7计算：（1） 121；（ 2） 256；（3）122；（5） （ 3）2；（6）213 答案】 11； 16； 12；9；3；28. 25 的算术平方根的相反数是答案】 5 ； 0.0001 算术平方根是；0 的平方根是答案】 6 ；0.01 ；0.510. ( 4)2

10、的算术平方根是 ； 81 的算术平方根的相反数是 【答案】 2； 3；【解析】 ( 4)2 4， 81 9，此题就是求 4 的算术平方根和 9的算术平方根的相反数11一个数的平方根是± 2，则这个数的平方是 答案】 16；【解析】一个数的平方根是± 2，则这个数是 4，4 的平方是 16. 12已知， ，则 =【答案】 578.9 ；【解析】解： ， =578.9 故答案为： 578.9 三.解答题13求下列各式中的 x （1） x2 143 1 ；（2） 4x2 1 0；(3)24（x 2）2 25 191x 12xx1= ，x2=22 2 214小丽想在一块面积为36m

11、2正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为30m2 的长方形纸片，并且使它的长宽的比为2： 1问：小丽能否用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，为什么？解：不能，设长方形纸片的长为2xcm，宽为 xcm，则：2x?x=30，2x2=30，x2=15，x= ，则长方形纸片的长为 2cm，因为 2> 6，而正形纸片的边长为cm=6cm，所以不能裁剪出符合要求的长方形15思考题：估计与35 最接近的整数解： 25<35< 36 25 35 36即 5< 35 < 635 比较接近 36， 35 最接近的整数是 6.提高班 1【典型例析】类型一、平方根和算术平方根的概

12、念1、已知 2a 1的平方根是± 3， 3a+b9的立方根是 2，c是 的整数部分，求 a+b+c 的平方根【思路点拨】 首先根据平方根与立方根的概念可得2a 1 与 3a+b9 的值，进而可得 a、b的值；接着估计 的大小，可得 c 的值；进而可得 a+b+c，根据平方根的求法可得答案 【答案与解析】解：根据题意，可得 2a 1=9， 3a+b9=8；故 a=5， b=2；又2< < 3，c=2，a+b+c=5+2+2=9，9的平方根为± 3【总结升华】 此题主要考查了平方根、 立方根、 算术平方根的定义及无理数的估算能力， 还 要掌握实数的基本运算技能，灵活

13、应用举一反三：【变式】已知 2a1与 a 2是m的两个不同的平方根，求 m的值 . 【答案】 2a1与 a 2是m的平方根，所以 2a1与 a 2互为相反数 . 解：当 2 a 1( a2)0时， a1，22所以 m 2a 1 2 2 ( 1) 123 2 92、x 为何值时，下列各式有意义？(1) x2 ； (2) x 4； (3) x 1 1 x； (4) x 1 x3【答案与解析】解：(1) 因为 x2 0，所以当 x取任何值时， x2都有意义(2) 由题意可知： x 4 0 ，所以 x 4 时， x 4 有意义x10(3) 由题意可知： 解得： 1 x 1 所以 1 x 1 时 x 1

14、 1 x 有意 1x0义x 1 0(4) 由题意可知： ，解得 x 1且 x 3 x30x3所以当 x 1且 x 3时， x 1有意义总结升华】 (1) 当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当0 时，式被开方数是非负数时，式子才有意义 (2) 当分母中含有字母时，只有当分母不为 子才有意义举一反三：【变式】已知4 3a12 2 2 3a 2，求a11 的算术平方根b2) x 1 2 289答案】解：根据题意，得3a3a0,则a0.21，所以 b 2，313b22，111 1 的算术平方根为ab1a 1b2 类型二、平方根的运算、求下列各式的值(1) 252 24242

15、(2)2011 0.3631 900 5思路点拨】 (1)首先要弄清楚每个符号表示的意义答案与解析】2)注意运算顺序 .解： (1) 252 24232 42 49 25 735；(2) 201 1 0.36 1 9004 3 513 0.61 30592 0.2 61.7【总结升华】 (1) 混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先 后顺序进行 (2) 初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根 据 a2 a(a 0) 来解类型三、利用平方根解方程、求下列各式中的 x.( 1) x2361 0;(2) x 1 2 289 ；(3) 9 3x 2

16、2 64 0【答案与解析】解：( 1) x2361 02 x361x361192 x 1 289 x1± 17 x 16 或 x 18.3) 9 3x2 64 0 3x 264 3x 2149元二次方程， x 2 或x9总结升华】 本题的实质是3）小题中运用了整体思想分散了难度开平方法是解元二次方程的最基本方法. （ 2）举一反三：变式】求下列等式中的 x ：1）若 x21.21，则 x 2) x2169 ，则 x 3）若 x299,则x44）若 x222 ，则 x 答案】（1）±1.1 ；（2）± 13；（ 3）3；24)±2.类型四、平方根的综合应用

17、5、已知 a 、b是实数，且 2a 6|b2| 0，解关于 x 的方程 （a 2）x b2答案与解析】解： a 、b是实数，2a6|b 2| 0，2a 60，|b2| 0， 2a60，b20a3，b2把a3，b2 代入(a2)x b2 a1，得x 24， x 6【总结升华】 本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出 a 、b的值，再 解方程此类题主要是考查完全平方式、 算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分 别等于零即可举一反三：【变式】若x2 1 y 1 0，求 x2021 x 2022的值答案】解：由 x2 1 y 1 0，得 x2 1 0，y 1 0，即 x 1， y

18、 1当 x1， y1 时， x2021 x2022 12021 - 1 2022 2当 x1， y 1时， x2021 x2022 -1 2021 -1 2022 06、小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm 2 的长方形纸片，使它长宽之比为 3 : 2 ，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求 的长方形纸片 .【答案与解析】解：设长方形纸片的长为 3x （ x>0） cm ，则宽为 2x cm ，依题意得3x 2x 300.6x2 300.2x 50 . x>0， x 50 . 长方形纸片的长为 3 50 cm . 50>

19、 49, 50 7. 3 50 21, 即长方形纸片的长大于 20cm.由正方形纸片的面积为 400 cm2, 可知其边长为 20cm , 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长 .答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片 . 【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽， 再判断能否用边长为 20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片 .【变式】某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m2 的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420m2，其中长是宽的 倍，篮球场的四周必须留出 1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？ 【答案】2

20、8解：设篮球场的宽为 xm，那么长为xm，15由题意知 ，2所以 x2=225，因为 x 为正数，所以 x=15，又因为=900< 1000，所以按规定在这块空地上建一个篮球场提高班 2【巩固练习】一. 选择题1下列说法中正确的有（）只有正数才有平方根 2是 4 的平方根 16 的平方根是 4 a 2 的算术平方根是a （ 6）2 的平方根是6 9 3A1个B 2 个答案】 A；【解析】只有是正确的2若 m 40 4，则估计的值所在的范围是（A1< m<2B. 2答案】 B；< m < 3C. 3< m < 4 D. 4 < m < 5解析

21、】 6 40 7 ，所以2< 40 4<3 .3. 试题下列说法中正确的是（ ）A.4 是 8 的算术平方根 B.16 的平方根是 4 C. 6 是 6 的平方根 D. a没有平方根 【答案】 C；【解析】 A.4是 16的算术平方根，故选项 A错误； B.16的平方根是± 4，故选项 B 错误； C. 6 是 6的一个平方根，故选项 C正确； D.当 a0时， a也有平 方根，故选项 D 错误4. 能使 x 3的平方根有意义的x值是（） A.x>0B.x>3C.x 0D.x 3【答案】 D；【解析】要使 x 3 的平方根有意义， x 3 0，即 x 35.

22、若 =a，则 a的值为（） A 1 B1 C0或 1 D±1【答案】 C；【解析】解：=a，a0当 a=0 时， =a；当 0<a<1 时， >a；当 a=1 时， =a； 当 a>时， < a；综上可知，若=a，则 a 的值为 0 或1故选 C20206. 若 x， y 为实数，且|x 1| y 1 0，则x的值是（ ）yA.0B.1C. 1D.2020【答案】B；2020【解析】 x 10，y10，解得 x 1；y1 x1.y二. 填空题7. 若 10404 102，则 1.0404 .【答案】 1.02 ； 【解析】被开方数向左移动四位，算术平方根的值向左移动两位 .8.如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3cm和 5cm 的正方形的面积的和， 则这个正方形的边长为 .【答案】