证明数列收敛

1、本文讨论了一类递推数列Xn i f(Xn)的单调性与收敛性问题，同时也 推广与包含了近期一些文献中的结果.运用单调有界性来证明收敛，而能用单调有界定理证明收敛的有四种 情况：?易知单调递增或递减，需证有上界或下界。?易知有上界或下界，需证单调递增或递减。?易知既有上界又有下界，需证单调。?易知单调，需证既有上界又有下界。 用导数来求证Xni f(xn)单调有界性vnniisni-an-ami"如果f'(x)0，即函数f (x)单调递增时，数列 Xn具有单调性是可以肯定的，而研究递增递减那要看X1跟X2的比较了(如果X1=X2的话，那么Xi=X门)具体的说若Xi X2时，由f(

2、Xi) f (x2),那么可以判定 Xn为减数列。若X1 X2时，由f(xi) f(X2),那么可以判定Xn为增数列。例题1.2x-! =0,当n 1时，xn+1=2-cos xn,证明数列xn收敛并且极限值位于，一23证：记 f(x)=2-cosx,则 f'(x)=sinx 0因为xi 0 , X2=1，则x-0 X2=13，由于f(x)在0,上递增所以 f(X-) f(X2) f(X3)，即 x2 x33那么Xn具有单调有界性，上界为3然后对数列两边取极限，记极限为 A则 A =2-cosA.设函数g(x)=x-2+cosx，其中A为方程g(x)的根,由于g(x)在0，上连续，在0

3、，内可导，则g'(x)=1-sin x 0所以函数递增，又由于-44 -106所以g(x)的根在-士内如果f'(x)0 ,即函数f(x)单调递减时，数列 Xn肯定不具有单调性的.但是，它的奇数项子数列 X2ni和偶数项子数列x2n都可以看作是通过单调增加函数g(x).其中g(Xn) f f (xn)f(Xni)X. 2 所以肯定具有单调性，而且其增减性恰好相反.Xn收敛，并求=1例题 1当 X1=1 , n 1 时，Xn 1 = 1+X其极限值。1证：设函数f(x)忑，则函数在°,上连续，在0,内可导,1易知£(刈=-(7尹°。所以f(x)十在&#

4、176;,上递减。由于 Xi=1,X2=2，X3=|,可知 XX3又 f (x)11+X 在 °，上递减。所以有f Xif X3f X2 ,即X2X4X3,所以 X2X4X3Xi可推得X1X3X5X2n-1X2nX6X4X2由此可知奇数项子数列X2n 1单调递减有下界1X2= 2 ,偶数项子数列X2n单调递增有上界Xi=1 ,则两子数列都收敛。设奇数项子数列X2n i收敛于P，偶数项子数列X2n收敛于QP= iii+Q对Xni = i+x两边去极限得：0=丄 i+P5-1解方程得P=Q= 一厂V5-i那么数列Xn收敛于一2- 利用不动点与导数的结合来证单调有界性。定义：对于函数f (

5、x)，若存在实数C,使得f(C)=C，则称C为 f (x)的不动点。命题1.设函数f(X)在a,b上连续，在a, b内可导，且f (x)0,f (a) a, f(b) b.设 xi=a，则递推数列 Xn i f (Xn)收敛。命题2.设函数f (x)在a,b上连续，在a,b内可导，且f'(x)0,f (a)=a, f (b) b.设xi=b，则递推数列人i f(x.)收敛。命题3.如果函数f(x)在a,b有唯一的不动点，那么数列必收敛于该不动点。axn b推论：对于递推数列Xn 1 x c ,如果n(ac b, a、b、c、都为正数，n 1、2、3)，那么数列收敛，且收敛于L,其中L=

6、(ac) x (a c)2 4bL3(Xn 1)例题 1设 o Xi V3， Xni ( n 1,2,3丄)，求 xn 3证:数列人收敛，并求其极限。3(x 1)6解：数列Xn的迭代方程f(X)，f '(X)2 0x 3(x 3)f( J3)< 3。(J3x1)、又 f (xj 人1- 0，即 f (xj X1。3 x1故数列Xn在区间治，3上满足命题1的条件,于是数列 Xn收敛。又f(x)在Xi八3上有唯的不动点 <3 ,于是nim Xn3。32X11、例题2.已知函数f (x) x x -，且存在X。(0,-)，使1f(Xo)X。.设 Xi0,Xn 1f(Xn),yi2

7、，yn1 f(y n),其中 n 1,2,，证明:Xn Xn 1 Xo yn 1 y.。32X1证：由数列Xn的迭代函数f(X)X x得24' 2 11 2 1f (x) 3x 2x 3(x -)o236从而在区间(O,Xo)上，由命题1的结论得0 Xn Xn 1 Xo，1在区间(xo, 2)上，由命题2的结论得1Xo yn 1 yn2于是有Xn Xn 1 Xo yn 1yn .证毕. 利用单调性的定义或数学归纳法。例题1.设印 c , an 1V' an C ,证明数列an极限存在思路：先试求an 1/an c的极限，对两边取极限，解得lim anx1+ 1+4c2，猜想它是数列的一个上界，那么问题就转换为证明这个猜想。证：易从an 1an C看出数列an递增1+1+4c接下来用数学归纳法求证an有上界显然a1<c1+ "+4c，假设a n-11+ P1+4 c2，便有了an1+立+4c1+1+4c2an为单调递增有上界的数列，故数列 an收敛例题 3. a1b1°，a2般地亦专1E 2觞，证明数列an与bn收敛证：利用数学归纳法对n进行归纳证明，n Z，a1 bi 0。当n=1时已知成立。假设an-1bn 10 ,由重要不等式得：anan-1bn-1