高等数学课件：8-1常数项级数的基本概念和性质

1、无穷级数 第一节第一节 常数项级数的基本概念与性质常数项级数的基本概念与性质第二节第二节 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法第三节第三节 任意项级数及其审敛法任意项级数及其审敛法第四节第四节 幂级数幂级数第五节第五节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数第一节常数项级数的 基本概念和性质 二二 、收敛级数的性质、收敛级数的性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 第八八章 引例引例1 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念.31化化为为小小数数数数且且,3 . 033. 031 1033 . 0 210310303. 03 . 033. 0 32103103103003. 003. 03

2、 . 0333. 0 无无限限循循环环小小数数概概念念之之中中无无穷穷级级数数的的思思想想蕴蕴涵涵在在1. 引例引例表表示示成成无无穷穷多多项项之之和和将将31求求极极限限nn103103103333. 02 个个一般地，一般地，33. 031 于是于是 n1031031032相当于求相当于求引例引例2 , )1()1(lim2 aaaann.12 naaa无穷多项的和无穷多项的和级数级数的和和2. 定义定义给定数列给定数列,321nuuuu 1nnu,321 nuuuu无穷级数无穷级数:nu一般项一般项： nkknuS1部分和部分和：nuuuu 321,lim存在存在若若SSnn 无穷级数无

3、穷级数收敛：收敛：记作记作 1nnuS 21nnnnuuSSr收敛级数的收敛级数的余项余项：,lim不存在不存在若若nnS 无穷级数无穷级数发散发散 ：0lim nnr例例1 1 (几何级数几何级数) 0nnqa 1) 若若,1 q12 nnqaqaqaaSqqan 11）（时，时，当当1 q, 0lim nnq由由知知qaSnn 1lim故级数收敛故级数收敛 ,;1qa ,1时时当当 q,lim nnq由由知知,lim nnS则部分和则部分和故级数发散故级数发散 .其和为其和为证明等比级数证明等比级数)0(2 aqaqaqaan当当 时收敛时收敛,1 q当当 时发散时发散 .1q证证2) 若

4、若,1 q,1时时当当 qanSn 级数发散级数发散 ;,1时时当当 q aaaaan 1)1( nSn 为奇数为奇数n 为偶数为偶数nnS lim结论：结论：1 q时收敛时收敛,1 q时发散时发散 .则则, 级数为级数为,a,0不存在不存在 , 0nnqa等比级数等比级数 0nnqa等比等比级数级数 因此级数发散因此级数发散.拆项相消拆项相消 1ln1 nnn解解 12ln nS)1ln2(ln )1ln( n） n(所以级数发散所以级数发散.23ln 34ln nn1ln 例例2 判别级数判别级数 的敛散性的敛散性.部分和部分和)2ln3(ln nnln)1ln( 例例3证明调和级数证明调

5、和级数证证nSn131211 )0()1ln( xxx由由 nnn13121111发散发散. )11ln(nS)1ln(n )1ln(limnn nnSlim发发散散 11nn)11ln(n )211ln(01 xx0) 0()( fxf)1ln(xxf 二、收敛级数的性质二、收敛级数的性质 性质性质1 1 若若 1nnuS 1nnuc收敛收敛 ,证证 令令,1 nkknuS则则 nkknuc1,nSc nn limSc 1nnuc收敛收敛 , 其和为其和为 c S . nnSc lim推论推论1 其和为其和为 c S.收敛，则收敛，则故故敛散性相同敛散性相同 . .nncS , 0 c若若

6、11nnnncuu 与与则则证毕证毕.性质性质2 设收敛级数设收敛级数,1 nnuS 1nnv，则则)(1nnnvu 也收敛也收敛, 其和为其和为.S 注注 )(21nnnvu 的敛散性规律：的敛散性规律：收收为收，收收为收， 收发为发，收发为发， 发发发发不一定不一定发发.例如例如, ,)1(2nnu 取取,)1(12 nnv0 nnvu而而1 收敛级数可逐项相加（减）收敛级数可逐项相加（减） .与与 1nnu 1nnv 均发散，均发散，.)(1收敛收敛但但nnnvu 性质性质3级数前面加上级数前面加上 不影响级数的敛散性不影响级数的敛散性.证证 1nnu去掉前去掉前 k 项项, 1nnku

7、的部分的部分 nllknu1knkSS nknS 与与,时时令令 n数敛散性相同数敛散性相同. 收敛时收敛时, 其和其和.kSS 故新旧级故新旧级新级数新级数同敛散，同敛散，有限项不影响有限项不影响级数的敛散性级数的敛散性（去掉、或修改）（去掉、或修改）有限项有限项, 证毕证毕.和为和为性质性质4 收敛级数收敛级数加括弧加括弧后后原级数的和原级数的和.所成的级数仍收敛于所成的级数仍收敛于推论推论2 若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散, )11()11(但但 1111例如例如， 则原级数必发散则原级数必发散.用反证法用反证法注注加加括括号号后后的的级级数数收收敛敛？去去掉掉括括号号后后的的

8、级级数数收收敛敛收敛级数去括弧后所成的级数收敛级数去括弧后所成的级数不一定不一定收敛收敛. .,0 收敛收敛 发散发散例例4 4 判断级数的敛散性判断级数的敛散性31212121112 nn121解解 加括号级数为加括号级数为)3121()2121()11(2 )121(nn 1)(nnnvu 1nnu由于由于收敛，收敛， 121nn 1nnv而而发散，发散， 11nn故加括号级数发散故加括号级数发散, 从而原级数发散从而原级数发散.例例5判断判断 nnn13121111的敛散性的敛散性.加加括括号号级级数数 )16191( 1nnv)211( )4131( )8151( 解解 )21211(

9、1nn,212111 v,21414141312 v,21161161161914 v121211 nnnv 823项项 112121 nn 2 项项n212121 nn )21211(1nn 1nnv)211( )4131( )8151( nnSlim)(,221211 nnvvSnn发发散散，从从而而加加括括号号级级数数 1nnv.11发发散散故故 nn性质性质5（级数收敛的必要条件）级数收敛的必要条件） 设设 1nnuS收敛，则收敛，则.0lim nnu证证 1 nnnSSunnu lim故故, 0 SS1limlim nnnnSS注注0lim nnu非级数收敛的充分条件非级数收敛的充分

10、条件. .例如例如, , 调和级数调和级数 nnn13121111. 01limlim nunnn但但发散，发散，证毕证毕. 54433221)2(故所给级数发散故所给级数发散. .nnu lim)2(, 0 nu则级数则级数 必发散必发散 . 1nnu, 01)1(lim1 nnnn,1)1(1 nnn推论推论3 若若例例6 (1) 11nnn,011limlim nnnnnu解解 (1)故原级数发散故原级数发散. .小结小结:0nu 1nnu收敛收敛0 nu 1nnu发散发散例例7 判断敛散性判断敛散性, 若收敛求其和若收敛求其和:.!1 nnnnne解解 令令,!nnnnneu 则则 n

11、nuu1nne)1 (1 ),2,1(1 neuuunn 11,0lim nnu故级数发散故级数发散. .11) 1(! ) 1( nnnnennnne!eannn )1(1单单增增数数列列)1(1431321211 nnSn 211111 n） n(1所以级数收敛所以级数收敛, 其和为其和为 1 . 3121 4131 111nn利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和 .)1(1 1的敛散性的敛散性判断级数判断级数 nnn解解 备用题备用题例例2-1例例2-2 判断敛散性判断敛散性, 若收敛求其和若收敛求其和:解解.231123 nnnnnnn23123 )2)(1()2(21 nnnnn

12、 )2)(1(1)1(121nnnn),2,1( n)2)(1(1 nnn nknkkkS123231 nkkkkk1)2)(1(1)1(121拆项相消拆项相消,41原级数收敛原级数收敛 ,其和为其和为 )2)(1(121121nn.41 例例3-1 判别级数判别级数 2211lnnn的敛散性的敛散性 .解解 211lnn 221lnnn nnnln2)1ln()1ln( 2211lnkSnkn 2ln21ln3ln 3ln22ln4ln ln2)1ln()1ln(nnn 5ln 4ln23ln 2ln nnln)1ln( 2ln)1ln(1 n, 2ln 故原级数收敛故原级数收敛 , 其和为其和为.2ln 例例4-1 4-1 判断级数的敛散性判断级数的敛散性121121 解解 加括号级数加括号级数)(121121 1111 nnan12 nnna 2因加括号级数因加括号级数发散发散 , ,故原级数发散故原级数发散 . .nn121 一般项一般项131131 141141)(131131 )(