高等数学课件：7-1微分方程基本概念

1、 高等数学（上）高等数学（上） 河海大学理学院河海大学理学院第七章 常微分方程 高等数学（上）高等数学（上） 高等数学（上）高等数学（上）解解.用用微微分分方方程程表表示示此此关关系系)(TmKdtdT 第一节 微分方程的基本概念一、问题的提出 高等数学（上）高等数学（上）解解)(xyy 设设所所求求曲曲线线为为xdxdy2 xdxy22,1 yx时时其中其中,2Cxy 即即, 1 C求求得得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为 高等数学（上）高等数学（上）例例 2 2 列列车车在在平平直直的的线线路路上上以以 2 20 0 米米/ /秒秒的的速速度度行行驶驶, ,当当制制动动时时列列车车

2、获获得得加加速速度度4 . 0 米米/ /秒秒2 2, ,问问开开始始制制动动后后多多少少时时间间列列车车才才能能停停住住？以以及及列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了多多少少路路程程？解解)(,tssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后4 .022 dtsd,20, 0,0 dtdsvst时时14 . 0Ctdtdsv 2122 . 0CtCts 高等数学（上）高等数学（上）代入条件后知代入条件后知0,2021 CC,202 . 02tts ,204 .0 tdtdsv故故),(504 . 020秒秒 t列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了 ).(5005020502

3、. 02米米 s开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需 高等数学（上）高等数学（上） 微分方程微分方程: : 含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy 实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函未知函数以及未知函数的某些导数数的某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .二、微分方程的定义yyycos12 高等数学（上）高等数学（上） （2 2）微分方程的阶）微分方程的阶: : 微分方程中出现的未微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数知函

4、数的最高阶导数的阶数. .注（注（1 1）如果方程中的未知函数如果方程中的未知函数 是是 的一的一元函数，则称该方程为元函数，则称该方程为常常微分方程微分方程. . 否则称否则称为为偏偏微分方程微分方程. ., 0),( yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶( (n) )微分方程的一般形式微分方程的一般形式, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfyyx 高等数学（上）高等数学（上）（3 3）线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程. . 如果微分方程中出现的含未知函数及其导如果微分方程中出现的含未知函数及其导数的项都是一次的，则称其为线性微分方程数

5、的项都是一次的，则称其为线性微分方程. .),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx线性微分方程的一般形式线性微分方程的一般形式: :)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn 线性微分方程的性质与线性代数方程组的性质线性微分方程的性质与线性代数方程组的性质类似类似. . 高等数学（上）高等数学（上）4齐次方程的性质齐次方程的性质:41)加性加性: L(y1+y2)=0;42)齐性齐性:L(Ky)=0,K-常数.4通解通解:4齐次方程的n个线性无关解的线性组合是齐次方程的通解.4非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解.)()()()()(1) 1(

6、1)(xfyxayxayxayyLnnnn ., 0)(;, 0)(称为非齐次称为非齐次称为齐次称为齐次 xfxf 高等数学（上）高等数学（上）微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为该微分方程的解称为该微分方程的解. . 且且阶阶导导数数上上有有即即在在区区间间是是解解设设,.)(nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：三、主要问题-求方程的解(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且且其中独立的任意常数的个数与微分方程的阶其

7、中独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同数相同. . 高等数学（上）高等数学（上）(2)(2)特解特解: : 不含有任意常数的解不含有任意常数的解. ., yy 例例;xCey 通通解解,0 yy;cossin21xCxCy 通解通解定解条件定解条件: :用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .初始条件初始条件: :在某一固定点给出各阶导数的定解条件在某一固定点给出各阶导数的定解条件. .初始条件是初始条件是0)0(,20)0( ssxCysin: 问题问题是特解是特解, ,还是通解还是通解? ? 高等数学（上）高等数学（上）解解,2Cxy 代代入入xyC2 yxxxyCxy 21

8、222:则则所所求求的的微微分分方方程程为为yxy 2 高等数学（上）高等数学（上）过定点的积分曲线过定点的积分曲线; ; 00),(yyyxfyxx一阶一阶: :二阶二阶: : 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. .初值问题（初值问题（CauchyCauchy问题）问题）: : 求微分方程满足求微分方程满足初始条件的解的问题初始条件的解的问题. . 高等数学（上）高等数学（上）例例 3 3 验验证证:函函数数ktCktCxsincos21 是是微微分分方方程程0222 xkdtxd的的解解. 并并求求满满足足初初始始条条件件0,00 ttdtdxAx的的特特解解.解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的的表表达达式式代代入入原原方方程程和和将将xdtxd 高等数学（上）高等数学（上）. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx , 0,00 ttdtdxAx.