直线与圆的位置关系之切线长定理

1、蓬莱大辛店中学 徐岩 2.2.与半径垂直与半径垂直1.1.经过半径的外端；经过半径的外端；OAOA是是OO的半径的半径OALOAL于于A AL L是是O O的切线的切线. .CABD练习练习1 1：已知：已知：ABAB是是弦弦，ADAD是切线是切线，判断，判断DACDAC与圆周与圆周ABCABC之间的关之间的关系系并证明并证明. .E在经过圆外在经过圆外一点的切线一点的切线上，这一点上，这一点和切点之间和切点之间的线段的长的线段的长叫做叫做这点到这点到圆的切线长圆的切线长OPAB切线与切线长的区别切线与切线长的区别与联系：与联系：（1 1）切线是一条与圆相切的直线切线是一条与圆相切的直线, ,

2、不可以度量不可以度量；（2 2）切线长是指切线长是指切线上某一点切线上某一点与与切点切点间的线段的长间的线段的长, ,可以度量可以度量。 若从若从O O外的一点外的一点引两条切线引两条切线PAPA，PBPB，切切点分别是点分别是A A、B B，连结连结OAOA、OBOB、OPOP，你能发现什么你能发现什么结论？并证明你所发现结论？并证明你所发现的结论。的结论。APO。BPA = PBPA = PBOPA=OPBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与O O相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPB OBPB 即即OAP=OBP=90OAP=OBP=90 OA

3、=OB OA=OB，OP=OPOP=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HLBOP(HL) ) PA = PB OPA=OPBPA = PB OPA=OPB试用文字语言试用文字语言叙述你所发现叙述你所发现的结论的结论PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PBOPA=OPB 从圆外一点引圆的两条从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角线平分两条切线的夹角。 切线长定理切线长定理APO。B几何语言几何语言: :反思反思：切线长定理为证明：切线长定理为证明线段相等线段相等、角相角相等等提提 供了新的方法供了

4、新的方法我们学过的切线，常有我们学过的切线，常有 五个五个 性质：性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；2 2、切线和圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于圆的半径；3 3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个六个AP

5、O。BM 若连结两切点若连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你你又能得出什么新的结又能得出什么新的结论论? ?并给出证明并给出证明. .OP垂直平分垂直平分AB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPBPA = PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM为顶角的为顶角的平分线平分线 OPOP垂直平分垂直平分ABABAPO。B 若延长若延长POPO交交O O于点于点C C，连结连结CACA、CBCB，你又能得出什你又能得出什么新的结论么新的结论? ?并给出并给出证明

6、证明. .CA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPBPA = PB OPA=OPB PC=PC PC=PC PCA PCA PCB PCB AC=BCAC=BCC例例.PA.PA、PBPB是是O O的的两条切线，两条切线，A A、B B为切点，直线为切点，直线OPOP交于交于O O于点于点D D、E E，交，交ABAB于于C C。BAPOCED（1 1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3 3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形AOP BOP，

7、AOC BOC， ACP BCP（4 4）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形ABP AOB（5 5）若）若PA=4PA=4、PD=2PD=2，求半径求半径OAOA（2 2）写出图中与）写出图中与OACOAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPC。PBAO（3 3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2 2）连结两切点）连结两切点（1 1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点反思：在解决有关反思：在解决有关圆的切线长问题时，圆的切线长问题时，往往需要我们构建往往需要我们构建基本图形。基本图形。1.1.切线长定理切线长定理 从从圆外一点引圆的两圆外一点引圆的两条切线，

8、它们的切条切线，它们的切线长相等，圆心和线长相等，圆心和这一点的连线平分这一点的连线平分两条切线的夹角。两条切线的夹角。 小小 结：结：APO。BECDPA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PB ,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角线段相等，角相等，弧相等，垂直关系相等，弧相等，垂直关系提供了理论提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。依据。必须掌握并能灵活应用。2.2.圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等例：例：如图，如图， ABC的内切圆的内切圆 O与与BC、CA、AB分别相切于点分别相切于点D、E、F，且

9、，且AB=8cm，BC=13cm，CA=12cm，求，求AF、BD、CE的长。的长。x12xx12x8x8x例题选讲例题选讲ADCBOFE例例. .如图，如图，ABCABC中中,C =90 ,C =90 ,它的它的内切圆内切圆O O分别与边分别与边ABAB、BCBC、CACA相切相切于点于点D D、E E、F F，且，且BD=12BD=12，AD=8AD=8，求求O O的半径的半径r.r.OEBDCAF 例例. .如图所示如图所示PAPA、PBPB分别切圆分别切圆O O于于A A、B B，并与圆并与圆O O的切线分别相交于的切线分别相交于C C、D D， 已知已知PA=7cmPA=7cm，(1

10、)(1)求求PCDPCD的周长的周长(2) (2) 如果如果P=46P=46, ,求求CODCOD的度数的度数C OPBDAE1 1、如图，、如图，ABCABC中中, ABC=50, ABC=50，ACB=75 ACB=75 , ,点点O O 是是ABCABC的内心，求的内心，求 BOCBOC的度数。的度数。AOCB随堂训练随堂训练变式：变式：ABCABC中中, A=40, A=40，点，点O O是是ABCABC的内心，的内心，求求 BOCBOC的度数。的度数。21 BOC= 90BOC= 90+ A+ A2 2、ABCABC的内切圆半径为的内切圆半径为 r , r , ABCABC的周长为的

11、周长为 l ,l ,求求ABCABC的面积。（提示：设内心为的面积。（提示：设内心为O O，连接，连接OAOA、OBOB、OCOC。）。）OACBrrr知识拓展知识拓展若若ABCABC的内切圆半径为的内切圆半径为 r r , , 周长为周长为 l ,l ,则则S SABCABC= = lrlr21oooo外切圆圆心：外切圆圆心：三角形三边三角形三边垂直平分线的交点垂直平分线的交点。外切圆的半径：外切圆的半径：交点到三交点到三角形任意一个定点的距离角形任意一个定点的距离。三角形外接圆三角形外接圆三角形内切圆三角形内切圆内切圆圆心：内切圆圆心：三角形三个三角形三个内角平分线的交点。内角平分线的交点

12、。内切圆的半径：内切圆的半径：交点到三交点到三角形任意一边的垂直距离角形任意一边的垂直距离。A AB BC CoA AB BC C1.1.一个三角形有且只有一个内切圆；一个三角形有且只有一个内切圆；2.2.一个圆有无数个外切三角形；一个圆有无数个外切三角形；3.3.三角形的内心就是三角形三条内角平三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；分线的交点；4. 4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。三角形的内心到三角形三边的距离相等。1 1、如图，四边形如图，四边形ABCDABCD的边的边ABAB、BCBC、CDCD、DADA和圆和圆OO分别相切于点分别相切于点L L、M M、N N、P P

13、， 求证：求证： AD+BC=AB+CD AD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得证明：由切线长定理得AL=APAL=AP，LB=MB,NC=MCLB=MB,NC=MC， DN=DP DN=DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即即 AB+CD=AD+BC AB+CD=AD+BC补充：补充：圆的外切四边形的两组对边的圆的外切四边形的两组对边的和相等和相等 OABCDEF OABCDE2 2、如图，、如图，ABAB是是O O的直径，的直径，ADAD、DCDC、BCBC是切线，点是切线，点A A、E E、B B为切点，

14、若为切点，若BC=9BC=9，AD=4AD=4，求，求OEOE的长的长. .BDEFOCA1 1、如图，、如图，ABCABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r, r, ABCABC的周长为的周长为l,l,求求ABCABC的面积的面积S.S.解：解：设设ABCABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D D、E E、F F，连结连结OAOA、OBOB、OCOC、ODOD、OEOE、OFOF，则则ODABODAB，OEBCOEBC，OFAC.OFAC.S SABCABCS SAOBAOBS SBOC BOC S SAOCAOC ABODABOD BCOEBCOE ACOFACOF2121212

15、1 lrlr设设ABCABC的三边为的三边为a a、b b、c c，面积为，面积为S S，则则ABCABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r r2Sabc有关圆的计算问题有关圆的计算问题ABCEDFO如图，如图，RtRtABCABC中，中，C C9090,BC,BCa,ACa,ACb, b, ABABc,c,O O为为RtRtABCABC的内切圆的内切圆. . 求：求：RtRtABCABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r.r. 解：解：设设RtRtABCABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D D、E E、F F，连，连结结ODOD、OEOE、OFOF则则OAACOAAC，OEBCOEB

16、C，OFABOFAB。abc2设设RtRtABCABC的直角边为的直角边为a a、b b，斜边为，斜边为c c，则，则RtRtABCABC的的内切圆的半径内切圆的半径 r r 或或r rabc2ababcABCEDFO如图，如图，RtRtABCABC中，中，C C9090,BC,BC3,AC3,AC4, 4, O O为为RtRtABCABC的内切圆的内切圆. . （1 1）求）求RtRtABCABC的内切圆的半径的内切圆的半径 . . （2 2）若移动点）若移动点O O的位置，使的位置，使O O保持与保持与ABCABC的边的边ACAC、BCBC都相切，求都相切，求O O的半径的半径r r的取值

17、范围。的取值范围。 解：解：（1 1）设）设RtRtABCABC的内切圆与三边相切的内切圆与三边相切于于D D、E E、F F，连结，连结ODOD、OEOE、OFOF则则OAACOAAC，OEBCOEBC，OFABOFAB。 RtRtABCABC的内切圆的的内切圆的半径为半径为1 1。（2 2）如图所示，设与）如图所示，设与BCBC、ACAC相切的最大圆与相切的最大圆与BCBC、ACAC的切的切点分别为点分别为B B、D,D,连结连结OBOB、OD,OD,则四边形则四边形BODCBODC为正方形。为正方形。ABODCOBOBBCBC3 3半径半径r r的取值范围为的取值范围为0 0r3r3几何

18、问题代数化是几何问题代数化是解决几何问题的一解决几何问题的一种重要方法。种重要方法。EF HG同学们要好好学习老师同学们要好好学习老师期盼你们快快进步！期盼你们快快进步！切线长定理切线长定理拓展拓展回顾反思回顾反思1.1.切线长定理切线长定理OBPA从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长切线长相等，这一点和圆心的连线相等，这一点和圆心的连线平分平分两条切线的两条切线的夹角夹角。回顾反思回顾反思2.2.三角形的内切圆、内心、内心的性质三角形的内切圆、内心、内心的性质COBADEF知识拓展知识拓展拓展一：拓展一：直角三角形的外接圆与内切圆直角三角形的外接圆与内切圆CBACOBA1.1.直角三角形外接圆的圆心直角三角形外接圆的圆心( (外心外心) )在在_，半径为半径为_._.2.2.直角三角形内切圆的圆心直角三角形内切圆的圆心( (内心内心) )在在_，半径半径r=_.r=_.abc斜边中点斜边中点斜边的一半斜边的一半三角形内部三角形内部a+b-c2知识拓展知识拓展3.3.已知：如图已知：如图,PA,PA、PBPB是是O O的切线，切点分别是的切线，切点分别是A A、B B，Q Q为为O O上一点，过上一点，过Q Q点作点作O O的切线，交的切线，交PAPA、P