高等数学课件：2-11隐函数和参数方程所确定的函数的导数

1、第十一节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数 隐函数和由参数方程所确定的函数的导数 第二二章 一、隐函数的导数一、隐函数的导数1. 定义定义注注 1所所确确定定是是由由若若0),()()( yxFDxxyy；则则)(0)(,DxxyxF 隐隐函函数数，中中可由可由若隐函数若隐函数0),()()( yxFDxxyy.13xy 可可显显化化：如：如：若由方程若由方程0),( yxF可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,函数函数 y 为由此方程所确定的为由此方程所确定的隐函数隐函数 .则称则称2013 yx方程方程确定了一个隐函数：确

2、定了一个隐函数：y = y(x)解出，则称此隐函数解出，则称此隐函数可显化；可显化；例例1.甚甚至至不不能能显显化化有有些些隐隐函函数数不不易易显显化化，3., 013yyx 求求问题问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?31xy 此此方方程程确确定定的的函函数数：)1()1(31)1(3231 xxxy.)1(3132 x解解 (方法方法1)(方法方法2).(xyy 此方程确定的隐函数：此方程确定的隐函数：01)(3 xyx令令 )(xh0)( xh另一方面，另一方面，)(xh 0 )(13 xy)()(312xyxy )(xyu 想想0)()(312 x

3、yxy.)1(31)(31)(322 xxyxy从从而而一方面，一方面，1)(3 xyx隐函数隐函数求导方法求导方法: 0),( yxF0),(dd yxFx两边对两边对 x 求导求导( 含导数含导数 y 的方程的方程 )用复合函数求导法则，直接对方程两边求导，用复合函数求导法则，直接对方程两边求导，)(隐隐函函数数的的函函数数视视为为将将方方程程中中的的xyxy2. 隐函数求导法则隐函数求导法则.dddd0 xxyxy及及解解xe解得解得.eeddyxxyxy , 0, 0 yx时时0dd xxy. 1 求由方程求由方程0ee xyyx所确定的隐函数所确定的隐函数 y的导数的导数方程两边对方

4、程两边对 x 求导求导, ,由原方程知由原方程知ye xydd)dd(xyxy ，0 例例200ee yxyxxy 先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函然后利用隐函数的求导方法求出导数数的求导方法求出导数.3. 隐函数求导法的应用隐函数求导法的应用 对数求导法对数求导法(1) 方法方法).)(0)()(可可导导且且设设xfxfxfy 不易求导不易求导)(lnlnxfy 易求导易求导)(xh令令 xxhxyd)(dd)d(ln xyd)d(lnxyyyddd)d(ln yy 1),(1xhyy ).(xhyy (2) 适用范围适用范围.:)1的的情情形形幂幂指指函函数数)()(x

5、vxuy uvylnln yy 1uv ln )ln(uvuuvuyv vuuv lnuuvv 1按指数函数求导公式按指数函数求导公式按幂函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:,uvu 取对数得取对数得两边求导：两边求导：例例3 求求)0(sin xxyx的导数的导数 . 解解xxylnsinln 两边对两边对 x 求导求导yy 1xx lncos xxsin )sinlncos(sinxxxxxyx 求幂指函数导数求幂指函数导数用对数求导法用对数求导法(方法方法1)对数求导法对数求导法两边取对数两边取对数 , 化为隐式方程：化为隐式方程：(方法方法2)复合函数求导法复合函数求导法xxeyln

6、sin )(sinxx)(elnsin xx)ln(sin)(elnsin xxxxxxsin )1sinln(cosxxxx 注注 )(sin xx1sin)(sin xxx )(xx1 xxx?为常数）为常数）（()1 xx例例4.,)(0)(, )(lnyxfxfxfy 求求可可导导且且其其中中设设解解 0)(),(ln0)(),(ln)(lnxfxfxfxfxfy)()(xfxf (ln( ) )yf x ( )( )0)( )fxf xf x 时，时，当当0)( xf)()(xfxfy 时，时，当当0)( xf)()(1xfxfy xxy1)(ln )0( x:)2方方多多个个函函数

7、数乘乘积积、商商、开开kmnxgxgxfxfy)()()()(11 例例5.)4)(3()2)(1(yxxxxy ，求，求设设 21ln y2ln1ln xx 4ln3ln xx两边对两边对 x 求导：求导： 21 yy 11x21 x31 x 41 x)4)(3()2)(1(21 xxxxy 41312111 xxxxuuu )ln(二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数间间的的函函数数关关系系，与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx )()( 例如，例如， ,22tytx2xt 22)2(xty 42x .21xy 故故消去参数消去参数问题问题: : 消去参

8、数困难或无法消去参数时，如何消去参数困难或无法消去参数时，如何 求导数求导数?t.程程所所确确定定的的函函数数则则称称此此函函数数为为由由参参数数方方定理定理 (参数方程所确定的函数的求导公式参数方程所确定的函数的求导公式),(1xt ),(tx 再再设设函函数数某某个个区区间间上上具具有有中中，设设在在)()()(txtytx ，)(1xy 且且都可导都可导,)(ty 则由参数方程所则由参数方程所单调且连续的反函数单调且连续的反函数且能构成复合且能构成复合确定的函数确定的函数)(1xy 可导，可导，,0)( t xyddxttydddd .)()(tt txtydd1dd 函数：函数：且且一

9、个半径为一个半径为a的圆在定直线上滚动时的圆在定直线上滚动时,圆周上任一圆周上任一定点的轨迹称为定点的轨迹称为摆线摆线,计算由摆线的参数方程计算由摆线的参数方程: ),sin(ttax )cos1(tay 所确定的函数所确定的函数 y = y (x) 的导数的导数.ddxy xyddxttydddd 解解 )sin()cos1(ttata )cos1(sintata txtydddd 例例6Z).,2( 2cot kktt 摆线摆线简介：简介：(sin )xa tt(1cos )yatcos()2atxatsin()2yaat即即半径为半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时的圆周沿直线无滑动地

10、滚动时 ,M 的轨迹即为的轨迹即为摆线摆线 .其上定点其上定点例例7解解(0)0(0)10,yey(0)1.y , 求求 01sin232ytettxy.dd0 txy设设，得，得令令0 t txddye tydd方程组两边同时对方程组两边同时对 t 求导求导, 得得26 ttydd tsin 0dd tyteycos teteyysin1cos 0dd txy tydd，teteyysin1cos txtydddd 0)26)(sin1(cos tyyttete.2e 0 t txdd，26 t1)0(0 yyt(0)2ye sin)(cos)(yx xydd极坐标系下的曲线的切线问题极坐标

11、系下的曲线的切线问题 xydddd cos)(sin)( sin)(cos)( ，极极坐坐标标系系下下曲曲线线)( 处处的的切切线线，求求点点)( 解解 .)2, 0(0处处的的切切线线方方程程上上点点求求阿阿基基米米德德螺螺线线aaa sincosyx xydd例例8,cos a ,sin a xyddddaacossin aasincos 先写出曲线的参数方程：先写出曲线的参数方程： 2dd2 xy点点的的对对应应的的直直角角坐坐标标系系下下的的时时当当,2 022 xay .22 ayx 即即故故所所求求切切线线方方程程为为，坐坐标标为为)2, 0(a 内容小结内容小结直接对方程两边求导

12、直接对方程两边求导2. 对数求导法对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘适用于幂指函数及某些用连乘,连除连除,乘方乘方,开方表示的函数开方表示的函数3. 参数方程求导法参数方程求导法极坐标方程求导极坐标方程求导转化转化1. 隐函数求导法则隐函数求导法则思考题思考题,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx 求求.y 1y2y提示提示: 分别用对数求导法求分别用对数求导法求.,21yy 答案答案: :21yyy )1sinln(sec)(sin2tan xxxx32ln)2(31xxxx )2(32)2(3ln21xxxxx 备用题备用题例例2-1解解 .0dd0sin xxxyxyy

13、eyxx处处的的导导数数在在隐隐函函数数所所确确定定的的求求由由方方程程求求导导：方方程程两两边边对对 x ,ddd)sin(dsinxyexyxxyxx 于于是是 .cos1cossinddyxxeyxxyxxyx ,dd)cos(sinxyeyxxyxx xyxd)d( )dd1(xy ，0 x，得得1 y0 x所所以以把把式式，得得代代入入与与)1(1 y。11sindd0 xxy )1(cos1cossinddyxxeyxxyxxyx 中中，令令在在原原方方程程yeyxxx sin例例2-2 求椭圆求椭圆191622 yx在点在点)3,2(23处的切线方程处的切线方程.解解 椭圆方程两

14、边对椭圆方程两边对 x 求导求导8xyy 920 43 故切线方程为故切线方程为323 y43 )2( x即即03843 yxy 2323 xyyx169 2323 xy例例2-303275 xxyy)(xyy 在在 x = 0 处的导数处的导数.0dd xxy解解 方程两边对方程两边对 x 求导求导 )32(dd75xxyyx得得xyydd54xydd2 1 621x 0 25211dd46 yxxy由原方程得由原方程得 x = 0 时时 y = 0 , 故故210dd xxy0确定的确定的例例3-3求由方程求由方程隐函数隐函数求其反函数的导数求其反函数的导数 .,xexy 解解 xydd

15、yxdd(方法方法1)xe 1xydd1xe 11(方法方法2)等式两边同时对等式两边同时对 求导求导y 1yxddxe yxdd yxdd例例2-4xe 11设设例例3-1解解.).0(yxxxyxaxx 求求设设,21xaxxxyxy 令令21yyy 则则,lnln1xxyx ,1ln)(111xxxxyyxx 而而)( xx)(ln xxe)1(lnln xexx 1ln xxx xxxxxxxxxy ln1ln)(11故故,lnln2xayx ,lnln122xaxaayyxx 所所以以)lnln(2xaxaaxyxxxa ,2xaxy xxxxxxxxx ln1ln)(121yyy

16、).lnln(xaxaaxxxxa 设设解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得1lnln xy上上式式两两边边对对 求求导导得得x11 xyy,)4(1)1(23xexxxy .y 求求1ln31 x4ln2 xx )1(31 x142 x例例5-1 ,3,323tyttx设设.ddyx求求解解yxddtt6332 32121tt 例例6-1yttxdddd tytxdddd 221tt 例例6-2 抛射体运动轨迹的参数方程为抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx 求抛射体在时刻求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和

17、方向. 解解 先求速度大小先求速度大小:速度的水平分量为速度的水平分量为,dd1vtx 铅直分量为铅直分量为,dd2tgvty 故抛射体故抛射体速度大小速度大小22)dd()dd(tytxv 2221)(gtvv 再求再求速度方向速度方向(即轨迹的切线方向即轨迹的切线方向):设设 为切线倾角为切线倾角, tan xyddtyddtxdd12vtgv 则则yxo2212tgtvy 抛射体轨迹的参数方程抛射体轨迹的参数方程 22121 tgtvytvx速度的水平分量速度的水平分量,dd1vtx 垂直分量垂直分量,dd2tgvty tan12vt gv 在刚射出在刚射出 (即即 t = 0 )时时,

18、 倾角为倾角为12arctanvv 达到最高点的时刻达到最高点的时刻,2gvt 高度高度ygv2221 落地时刻落地时刻,22gvt 抛射抛射最远距离最远距离xgvv212 速度的方向速度的方向2vt g22vt gyxo例例7-1 设由方程设由方程)10(1sin 222 yytttx确定函数确定函数, )(xyy 求求.ddxy解解 方程组两边对方程组两边对 t 求导求导 , 得得故故 xydd)cos1)(1(ytt tyddtxdd t 2yttycos12dd 22 tycos tydd0 )1(2dd ttxtyddtxdd解解 处处的的切切线线的的斜斜率率。，在在点点为为常常数数，求求心