高等数学课件：2-6 函数的微分

1、 高等数学（上）高等数学（上）第六节第六节 函数的微分函数的微分一、微分的定义一、微分的定义 边长为边长为 的正方形，当边长由的正方形，当边长由 变到变到 时，面积时，面积 的改变量的改变量0 x0 xxx 0S0 xx 2020 xxxS 202xxx xoxx02当当 很小时很小时x xxS021s2s2)( x 实例实例 正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量. . 高等数学（上）高等数学（上）)()(00 xfxxfy 则称则称 为函数为函数 在点在点 处的处的微分微分，xA )(xfy 0 xxAxdfxAdyxx)(00或定义定义 设函数设函数 在在U(x

2、0)内有定义内有定义, ,若对若对于该领域内任一点于该领域内任一点 及及 , ,存在常数存在常数 ( 是与是与 无关的常数无关的常数), ,使得函数的增量使得函数的增量y可表示为可表示为)(xfy 0 xxx 0Ax A 高等数学（上）高等数学（上）由定义知由定义知: :;)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量 xdy ;)()2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxodyy .,dyyx很小时当.的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增量量微微分分ydy ( (微分的实质微分的实质) ) 高等数学（上）高等数学（上）二、可微与可导的关系二、可微与可导的关系xxfxdf)()

3、(00).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处处可可导导在在点点数数可可微微的的充充要要条条件件是是函函在在点点函函数数定理定理即即证证 必要性必要性,)(0可可微微在在点点 xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数 高等数学（上）高等数学（上）即即)()(0 xoxxfy所以，所以， 在点在点 处可微，故处可微，故可导必可微可导必可微. .)(xfy 0 x综合得综合得可导可导等价于等价于可微可微且且xxfdy)(01.0101.01xxxxydy； 充分性充分性,

4、)(0可可导导在在点点函函数数xxf),1 ()(0oxfxy即),(lim00 xfxyx 02. 0 0201. 0 高等数学（上）高等数学（上）例例1 设 ，求，求 . .)12ln( xydy解解 )12ln( xy122 xdxxdy122 .)(dxxfdy ).(xfdxdy 高等数学（上）高等数学（上）三、微分的几何意义三、微分的几何意义xyOxx 0y 0 xdy)()()(000 xxxfxfxfdyy即)( xo 高等数学（上）高等数学（上）四、微分的运算法则四、微分的运算法则1、四则运算、四则运算2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvd

5、uvud 例例2 设 ，求，求 . .xeyxcos31 dy解解 xeddyxcos31 xdeexdxxcoscos3131 xdxedxxexxsincos33131 四则运算四则运算 高等数学（上）高等数学（上） dxxxexsincos331 2、复合函数微分法则复合函数微分法则dxxufdy)()( duuf)( )(ufy duufdy)( 一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性 设设 , ,则不论则不论 u 是自变量还是中是自变量还是中 间变量间变量, ,都有都有证证 设设 ， 则则)(xu 高等数学（上）高等数学（上）解解 由微分形式不变性由微分形式不变性 1212cos xd

6、xdy 12122112cos xdxx例例3 设 ，求，求 . .)12sin( xydydxxx12112cos dxxx1212cos 高等数学（上）高等数学（上）22yxlnxyarctan解解 由微分形式不变性由微分形式不变性 , ,可得可得2222212111yxdyxxydxy222211yxydyxdxxydxxdyxydxyxyxdy 高等数学（上）高等数学（上）例例5 在下列等式左端的括号中填入适当的函在下列等式左端的括号中填入适当的函数数, ,使等式成立使等式成立. .)()()(sin) 2cos)() 12xdxdtdtd 解解 1)(sin1costdtdt tdt

7、Ctd cos)sin1( );sin1(td 2cos4xxx )()cos4()(sin22xdxxxxd dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin22 2) 高等数学（上）高等数学（上）)()()(000 xxxfxfxfxxxxxxxxxex）（）（1ln11tansin1xxfy)(xxffxf,)0()0()( 高等数学（上）高等数学（上）例例6 计算 的近似值. .05.1有时须变形有时须变形. .例如例如: : 等等. .)1ln(,103e 49*311911033 ee )1ln(61341*311241122810333 eeeee11)11ln(1)11(ln)1ln( 高等数学（上）高等数学（上）1.1. 设 ，求，求 . . xey2sin1ln dyXT3.3. 设 ，求，求 . .yxey 1dy xxdxdsin24.4. 求求 . .5.5. 求求sin30sin30。3030 . .dyxxxxxy求设) 1( ,11112.2.xxedxxedy22sinsin12sin 322sincossinxxxxxxdxd