2019年高考数学(文科)二轮复习专题5 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线的基本问题

1、第 2 讲椭圆、双曲线、抛物线的基本问题高考定位1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2 直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.真 题 感 悟x2y21.(2017·全国卷)已知椭圆 C：a2b21(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bxay2ab0 相切，则

2、 C 的离心率为()B.    3A.633C.23D.13解析以线段 A1A2 为直径的圆是 x2y2a2，直线 bxay2ab0 与圆相切，2b2                   a所以圆心(0，0)到直线的距离 d2ab b  1a 3a，

3、整理为 a23b2 即   .a    aæbö2èaø1ç  ÷    .ca2b2e 1ç ÷ æ 1 ö2 6è 3ø 32          

4、 12  3答案Ax2y22.(2017·全国卷)已知双曲线 C：a2b21(a>0，b>0)的一条渐近线方程为5x2y2yx，且与椭圆 1 有公共焦点，则 C 的方程为()A.   1B.      1C.      1D.      1x2y2810x2y254x2 y24

5、  5x2 y24  3a  2又由椭圆   1 与双曲线有公共焦点，4  5b5解析由题设知 ，x2y2123易知 a2b2c29，x2y2由解得 a2，b 5，则双曲线 C 的方程为  1.答案B3.(2017·全国卷)已知 F 是抛物线 C：y28x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线

6、交 y 轴于点 N.若 M 为FN 的中点，则|FN|_.解析如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物线 C 的准线交 x 轴于点 A，过点 M 作准线的垂线，垂足为点 B，交 y 轴于点 P，PMOF.22由题意知，F(2，0)，|FO|AO|2.点 M 为 FN 的中点，PMOF，1|MP| |FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物

7、线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.答案6x24.(2017·全国卷)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： y21 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点P 满足NP 2NM.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x3 上，且OP·PQ1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l

8、60;过 C 的左焦点 F.(1)解设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(x0，0)，NP(xx0，y)，NM(0，y0)，2由NP 2NM得 x0x，y0 2y，x2y2因为 M(x0，y0)在 C 上，所以 2  2 1，因此点 P 的轨迹方程为 x2y22.(2)证明由题意知 F(1，0)，设 Q(3，t)，P(m，n)，则OQ(3，t)，PF(1m，n)，OQ·PF33mt

9、n，OP(m，n)，PQ(3m，tn)，由OP·PQ1，得3mm2tnn21，又由(1)知 m2n22.故 33mtn0.所以OQ·PF0，即OQPF，又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.考 点 整 合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物

10、线：|MF|d(d 为 M 点到准线的距离).温馨提醒应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.2.圆锥曲线的标准方程x2y2y2x2(1)椭圆：a2b21(ab0)(焦点在 x 轴上)或a2b21(ab0)(焦点在 y 轴上)；x2y2y2x2(2)双曲线：a2b21(a0，b0)(焦点在 x 轴上)或a2b21(a0，b0)(焦点在 y 轴上)；(3)抛物线：y22px，y22px，x22py，x22py(p0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中 a

11、，b，c 之间的关系aac在椭圆中：a2b2c2；离心率为 e c在双曲线中：c2a2b2；离心率为 e b21a2.b21a2.æp  öpè2  ø抛物线 y22px(p>0)的焦点 Fç  ，0÷，准线方程 x  .æ  pöpè  2ø抛物线 x22py(p>0)的焦点

12、 Fç0， ÷，准线方程 y  .(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标x2y2b双曲线a2b21(a>0，b>0)的渐近线方程为 y±ax；焦点坐标 F1(c，0)，F2(c，0).y2x2a双曲线a2b21(a>0，b>0)的渐近线方程为 y±bx，焦点坐标 F1(0，c)，F2(0，c).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程224.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长.设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入 即当斜率为 

13、;k，直线与圆锥曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB| 1k2|x1x2| 1k2 （x1x2）24x1x2.(2)过抛物线焦点的弦长p2抛物线 y22px(p>0)过焦点 F 的弦 AB，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 4 ，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.热点一圆锥曲线的定义及标准方程x2y2【例 1】(1)(2017·天津卷)已知双曲线a2b21(a>0，b>0)的右焦点为 F

14、，点 A 在双曲线的渐近线上，OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为()A.   112  433x2y2412x2C. y21x2 y2B.   1y2D.x2 1a3(2)(2017·临汾一中质检)已知等腰梯形 ABCD 的顶点都在抛物线 y22px(p>0)上，且 ABCD，CD2AB4，ADC60°，则点 A

15、0;到抛物线的焦点的距离是_.b解析(1)依题意知 c2， tan 60° 3，又 a2b2c24，解得 a21，b23，y2故双曲线方程为 x2 1.(2)由题意设 A(x1，1)，D(x1 3，2)，所以 12px1，42p(x1   3) p    3，x1233，所以点 A 到抛物线的焦点的距离是 x1  2  3

16、60;  4   1212p337 3.7 3答案(1)D(2)探究提高1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理 .如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.x2y2【训练 1】 (1)(2016·天津卷)已知双曲线a2b21(a&g

17、t;0，b>0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近线与直线 2xy0 垂直，则双曲线的方程为()4420  55  20x2A. y213x23y2C.1y2B.x2 13x2 3y2D.    1a244x2y2(2)已知椭圆 4  2 1 的两个焦点是 F1，F2，点 P 在该椭圆上，若|PF1|PF2|2，则PFF2 的面积是_.b1解析(1)

18、依题意得  ，又 a2b2c25，联立得 a2，b1.x2所求双曲线的方程为 y21.(2)由椭圆的方程可知 a2，c 2，且|PF1|PF2|2a4，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|3，|PF2|1.又|F1F2|2c2 2，所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|，即PF1F2 为直角三角形，且PF2F1 为直角，11所以 PF1F2 2|F1F2|PF2|2×2 2×1 2.答案(1)A(2) 2热点二圆锥曲线的

19、几何性质【例 2】 (1)(2016·全国卷)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴1长的 ，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34由题意  |bc|b2c22得 b2c2  b2a2，所以 e    .x2y2(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线a2b21(a0，b0)的右支与焦点为 F 的

20、抛物线x22py(p0)交于 A，B 两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_.x2y2xy解析(1)不妨设椭圆方程为a2b21(a>b>0)，右焦点 F(c，0)，则直线 l 的方程为cb1，即 bxcybc0.1 b，且 a2b2c2，1c14a2(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，ìïx2y21，由 ía2b2消去 x 得 a2y22pb2ya2b20，ïîx22py，

21、2 pp，即2  a        a  2a  22b2由根与系数的关系得 y1y2 a2 p，ppp又|AF|BF|4|OF|，y12y224×2，即 y1y2p，2b2b21b2.2双曲线渐近线方程为 y±2x.答案(1)B(2)y±    22xab探究提高1.分析圆锥曲线中 a，b，c，e 各量之间

22、的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式.建立关于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.ba3.求双曲线渐近线方程关键在于求 或 的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.x2y2【训练 2】 (1)(2017·德

23、州二模)已知双曲线a2b21(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线 y24x 的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 SAOB 2 3，则双曲线的离心率 e()B.    7A.322C.2D. 13æbö  æ     böaø  è    &#

24、160; aø不妨设点 A 在点 B 的上方，则 Aç1， ÷，Bç1， ÷.aax2y2(2)(2016·北京卷)双曲线a2b21(a0，b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a_.解析(1)抛物线 y24x 的准线方程为 x1，è2b|A

25、B|.12b又 AOB 2×1× a 2 3，b2 3a，则 c a2b2 13a，c因此双曲线的离心率 e  13.(2)取 B 为双曲线右焦点，如图所示.四边形 OABC 为正方形且边长为 2，c|OB|2 2，4  tan1，即 ab.|ON|æ t2öè2p  ø又AOB，ba4又 

26、;a2b2c28，a2.答案(1)D(2)2热点三直线与圆锥曲线命题角度 1直线与圆锥曲线的位置关系【例 31】(2016·全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y22px(p>0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H.|OH|(1)求；(2)除 H 以外，直线 MH&#

27、160;与 C 是否有其它公共点？说明理由.解(1)如图，由已知得 M(0，t)，Pç，t÷，æt2öè p  øt2t2æ2t2ö解得 x10，x2p        è p    ø|ON|2t        p又&#

28、160;N 为 M 关于点 P 的对称点，故 Nç ，t÷，p故直线 ON 的方程为 y x，将其代入 y22px 整理得 px22t2x0，因此 Hç，2t÷.|OH|所以 N 为 OH 的中点，即2.(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点，理由如下：p2t直线 MH 的方

29、程为 ytx，即 x(yt).代入 y22px 得 y24ty4t20，解得 y1y22t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其它公共点.探究提高1.本题第(1)问求解的关键是求点 N，H 的坐标.而第(2)问的关键是将直线 MH 的方程与曲线 C联立，根据方程组的解的个数进行判断.2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到

30、交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.【训练 3】 (2016·江苏卷改编)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：xy20，抛物线 C：y22px(p>0).æp  öè2  øæp  öè2  ø2y22x，(1)若直线

31、 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；(2)当 p1 时，若抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.求线段 PQ 的中点 M 的坐标.解(1)抛物线 C：y22px(p>0)的焦点为ç ，0÷.由点ç ，0÷在直线 l：xy20 上，p得 020，即 p4.所以

32、抛物线 C 的方程为 y28x.(2)当 p1 时，曲线 C：y22x.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段 PQ 的中点 M(x0，y0).因为点 P 和 Q 关于直线 l 对称，所以直线 l 垂直平分线段 PQ，于是直线 PQ 的斜率为1，设其方程为 yxb.ìïyxb，由í消去 x 得 y22y2b0.&

33、#238;ï因为 P 和 Q 是抛物线 C 的两相异点，得 y1y2.从而 44×1×(2b)8b4>0.(*)因此 y1y22，所以 y01.又 M(x0，y0)在直线 l 上，所以 x01.所以点 M(1，1)，此时 b0 满足(*)式.故线段 PQ 的中点 M 的坐标为(1，1).命题角度 2有关弦的中点、弦长问题x2y232 

34、;                                    【例 32】 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：ab21(ab1)过点 P(2，1)，且离心率&

35、#160;e 2.2解  (1)e22  ，a24b2.故所求椭圆 C 的方程为      1.ïî      1，则|AB|      1(1)求椭圆 C 的方程；1(2)直线 l 的斜率为 ，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B

36、 两点，求PAB 面积的最大值.c2a2b23aa2441又a2b21，a28，b22.x2y2821(2)设 l 的方程为 y2xm，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，ìïy1xm，                 联立í2消去 y 得 x22mx2m240，2yx 282判别式 

37、 164m20，即 m24.又 x1x22m，x1·x22m24，14× （x1x2）24x1x2 5（4m2），4点 P 到直线 l 的距离 d|m|112|m|.52112|m|5因此 PAB 2d|AB|2×× 5（4m2）m2（4m2） m2（4m2）2，当且仅当 m22 时上式等号成立，故PAB 面积的最大值为 2.探究提高1.在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数

38、关系与弦长公式 |AB| 1k2|x2x1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算.2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件 >0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练 4】 (2016·全国卷)已知抛物线 C：y22x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2 分别交 C于 A，B 两点，交 

39、C 的准线于 P，Q 两点.æ1  öè2  øæa2ö  æb2ö  æ1  ö  æ1  ö且 Aç   ，a÷，Bç   ，b÷，Pç  ，a÷，Q

40、31;  ，b÷，æ1aböè22  ø所以 k1，k21a21122所以 k121a2a aba   a所以 ABF  |ab|FD|  |ab|ïx1 ï，又 PQF2(1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明：ARFQ；(2)若PQF 的面积是ABF

41、0;的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.解由题意可知 Fç ，0÷，设 l1：ya，l2：yb，则 ab0，è 2øè 2øè2øè2øRç ，÷.(1)证明记过 A，B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x(ab)yab0.因为点 F 在线段 AB 上，所以 ab10，

42、记直线 AR 的斜率为 k1，直线 FQ 的斜率为 k2，abbb，又因为 ab10， abab1ab b，所以 k1k2，即 ARFQ.(2)解设直线 AB 与 x 轴的交点为 D(x1，0)，11ï1ï22ï2ï|ab|，所以由题意可得 SPQF ABF2×  ·|ab|·ïx1 ï，即|ab|

43、    1         ï 1ï2       2         ï 2ï又    2aby解得 x10(舍)或 x11.设满足条件的 AB 的中点为 E

44、(x，y).2y    当 AB 与 x 轴不垂直时，由 kABkDE 可得abx1(x1).1 ，所以 y2x1(x1).当 AB 与 x 轴垂直时，E 与 D 重合，所以，所求轨迹方程为 y2x1.1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为 Ax2By21，其中 A，B 是不等的常数，AB0 时，表示焦点在 y轴上的椭圆；BA0 时，表示焦

45、点在 x 轴上的椭圆；AB0 时表示双曲线.2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准aa方程的基础.c3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出 a，c，计算 e ；方法二：根据已知条件确定 a，cb，c 的等量关系，然后把 b 用 a，c 代换，求 .4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求

46、中点弦的直线方程的常用方法(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x1x2，y1y2，y1y2x1x2三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助x弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.一、选择题ky1.(2016·全国卷)设 F 为抛物线 C：24x 的焦点，曲线 y (k>0)与 C 交于点 P，PFx 轴

47、，则 k()A.C.1232B.1D.2又因为 PFx 轴，所以 P(1，2)，把 P 点坐标代入曲线方程 y  (k>0)，即  2，所以 k2.2   22解析因为抛物线方程是 y24x，所以 F(1，0).kkx1答案D2.(2017·长沙一模)椭圆的焦点在 x 轴上，中心在原点，其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是2 的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为()x2y2x2A.&

48、#160;1B. y21C.      1D.      1x2y242y2 x24  24  23解析由题设知 bc 2，a2，x2y2椭圆的标准方程为  1.答案Cy23.(2017·全国卷)已知 F 是双曲线 C：x2 1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 

49、与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1，则APF 的面积为()A.13B.12C.23D.323又 A 的坐标是(1，故APF 的面积为  ×3×(21)  .解析由 c2a2b24 得 c2，所以 F(2，0)，y2将 x2 代入 x2 1，得 y±3，所以|PF|3.1322答案Dx2y2a4.(2017·全国卷)若双曲线 C：2b21

50、(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x2)2y24 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为()D.2   3A.2C. 2B. 33a                              &#

51、160;                        a2b2b|2b|解析设双曲线的一条渐近线 y x，化成一般式 bxay0，圆心(2，0)到直线的距离为 2212，又由 c2a2b2 得 c24a2，e24，e2.答案Ax2y25.(2017·新乡模拟)已知双曲线

52、0;C：a2b21(a>0，b>0)的右焦点为 F，点 B 是虚轴上的一个顶点，线段BF 与双曲线 C 的右支交于点 A，若BA2AF，且|BF|4，则双曲线 C 的方程为()A.      1B.   1C.      1D.      1x2y265x2y284x2 y28

53、  12x2 y24  6x，y  ，解析设 A(x，y)，右焦点为 F(c，0)，点 B(0，b)，线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 A，且BA2AF，2cb334c21代入双曲线方程，得9a291，且 c2a2b2，b    6a2.双曲线 C 的方程为      1.m121aa|BF|4，c2b216，a

54、2，b 6，x2y246答案D二、填空题y26.(2017·北京卷)若双曲线 x2 1 的离心率为 3，则实数 m_.1m解析由题意知e23，则 m2.答案27.(2017·邯郸质检)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点.若FP4FQ，则|QF|等于_.解析过点 Q 作 QQl 

55、;交 l 于点 Q，因为FP4FQ，所以|PQ|PF|34，又焦点 F 到准线 l 的距离为 4，所以|QF|QQ|3.答案3x2y28.(2017·石家庄三模)已知抛物线 y22px(p>0)上的一点 M(1，t)(t>0)到焦点的距离为 5，双曲线a2 9 1(a>0)的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行.则实数 a 的值为_.p解析由题设 1 5

56、，p8.不妨设点 M 在 x 轴上方，则 M(1，4)，由于双曲线的左顶点 A(a，0)，43且直线 AM 平行一条渐近线， ，则 a3.答案3三、解答题x2y222                     9.(2017·佛山调研)已知椭圆 E：ab21(a>b

57、>0)的离心率为 2，右焦点为 F(1，0).ìï1ïîa2b21，2(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)设点 O 为坐标原点，过点 F 作直线 l 与椭圆 E 交于 M，N 两点，若 OMON，求直线 l 的方程.2，ìa 2，解(1)依题意可得ía2解得íîb1.x2椭圆 E 的标准方程为 y21.

58、(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，当 MN 垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为 x1，不符合题意；212k212ky1·y2k x1x2(x1x2)12212kx1·x2y1·y2212k4y y2x1x2(2)由 y   ，得 y  .4   x1x2，x ·x 12则 x1x2，y1   ，y2