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1、5-5 5-5 一阶电路的全响应一阶电路的全响应全响应:由储能元件的初始储能和全响应:由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应。独立电源共同引起的响应。下面讨论下面讨论RCRC串联电路在直流电压源作串联电路在直流电压源作用下的全响应。知:用下的全响应。知:uC(0-)=U0uC(0-)=U0。 t=0t=0时开关闭合。时开关闭合。 为了求得电容电压的全响应,以为了求得电容电压的全响应,以uC(t)uC(t)为变量,列出电路的微分方程为变量,列出电路的微分方程)0(ddSCCtUutuRCiCRt=0 +Us - +uC(0-)=U0 -其解为其解为 S CpChCe)()()(UAtutu
2、tuRCt代入初始条件代入初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0uC(0+)=uC(0-)=U0,可,可得得 S0C)0(UAUu求得求得 S0UUA那么:那么:稳态响应瞬态响应全响应强制响应固有响应全响应 )0(e )()( e )()()()( S S0CS S0CpChCtUUUtuUUUtutututRCt也就是说电路的完全响应等于零输入也就是说电路的完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。这是线性动响应与零状态响应之和。这是线性动态电路的一个基本性质,是响应可以态电路的一个基本性质,是响应可以叠加的一种体现。叠加的一种体现。 上式可改写为上式可改写为零状态响应全响应零输入响应)0(
3、)e1 (e)( S 0CtUUtutttuC(t)U0USUSU0uCzi(t)uCzS(t)tuC(t)U0USUSr(0+) tr(t)r(0+) r() r()0t0电路达到新的稳态,将电容用电路达到新的稳态,将电容用开路或电感用短路代替,得一个直流电开路或电感用短路代替,得一个直流电阻电路,再从稳态图求稳态值阻电路,再从稳态图求稳态值r(r() )。3 3,时间常数,时间常数 的计算的计算( (开关已动作开关已动作) )先计算与电容或电感连接的电阻单口网先计算与电容或电感连接的电阻单口网络的输出电阻络的输出电阻RoRo,然后用公式,然后用公式 =RoC =RoC 或或 =L/Ro =
4、L/Ro计算出时间常数。计算出时间常数。4 4,将,将r(0+),r(r(0+),r() )和和 代入三要素公代入三要素公式得到响应的一般表达式。式得到响应的一般表达式。 注意点:三要素公式可以计算全响应、注意点:三要素公式可以计算全响应、零输入响应分量和零状态响应。但千万零输入响应分量和零状态响应。但千万不要认为不要认为tCCCtCtCtStCeuuueueueUeUtu111110)()0()()1)()0()1 ()(就推广到一般,得出结论,所有的响应就推广到一般,得出结论,所有的响应r trezst( )( )()11应该是:应该是:r trezit( )()01r trezizit(
5、 )()01r trrrezszst( )( ) ()( ) 01如求全响应如求全响应 。 +RSU0)0(UuCC +itC( )itC( ) +RSU0U +iC()0riiiCCziCzs()()()()0000 图图0外激励引起外激励引起内激励引起内激励引起从另一个角度说:从另一个角度说:只要只要 电容电压电容电压 和和 电感电流电感电流 ,只要知道全,只要知道全响应表达式,就可以把它分成零输入响应响应表达式,就可以把它分成零输入响应(分量分量)和零状态响应和零状态响应(分量分量) 。否则,在仅知道全响应的表达式时,无法否则,在仅知道全响应的表达式时,无法将零输入响应将零输入响应(分量
6、分量)和零状态响应和零状态响应(分量分量) 分开。非要知道电路,画出零输入的分开。非要知道电路,画出零输入的 图或零状态的图或零状态的 图,求出零输入响应或零图,求出零输入响应或零状态响应来才行。状态响应来才行。00例例16 电路原处于稳定状态。求电路原处于稳定状态。求 t 0 的的uC(t)和和i(t),并画波形图。,并画波形图。 解:解:1 1,计算初始值,计算初始值uC(0+)uC(0+)、i(0+)i(0+)开关闭合前,电路已稳定,电容相当于开关闭合前,电路已稳定,电容相当于开路,电流源电流全部流入开路,电流源电流全部流入4 4电阻中电阻中,V824)0(CuuC+-0.1F442i1
7、0V+-2At=0由于开关转换时,电容电流有界,电容由于开关转换时,电容电流有界,电容电压不能跃变,故电压不能跃变,故 V8)0 ()0 (CCuu画画0+0+图如右图如右8V+-442i(0+)10V+-2AA128102)0(10)0(Cui2 2,计算稳态值,计算稳态值uC(uC() )、i(i() ) 7V52104/424/42) 2/4/4()(CuA5 .127102)(10)(C ui10VuC ()+-442i()+-2A换路后,经一换路后,经一段时间,重新段时间,重新达到稳定,电达到稳定,电容开路,终值容开路,终值图如右,运用图如右,运用叠加定理得叠加定理得3 3,计算时间
8、常数,计算时间常数计算与电容相连接的电阻单口网络的计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻,它是三个电阻的并联输出电阻,它是三个电阻的并联 12/4/4oR时间常数为时间常数为 s1 .01 .01o CR10Vi(t)uC+-442+-2A 4 4,将初始值、终值及时间常数代,将初始值、终值及时间常数代入三要素公式,得到响应表达式:入三要素公式,得到响应表达式: ) 0(V17) 78 (7)(1010Cteetutt)0(Ae5 . 05 . 1e )5 . 11 (5 . 1)(1010 ttitt下面看响应过程下面看响应过程波形波形ti(t)1.5 1.5 1 15/3uC(t)t8
9、8 70例例17 17 求求u(t)u(t)和和i(t)i(t)。知:知: uC-40.01F4+2Ai+ 2i -+ u -t=00)0(Cu解:解:1 1,计算初始值,计算初始值uC(0+)uC(0+)、i(0+)i(0+)零状态电路,由换路定则得:零状态电路,由换路定则得:0)0()0(CCuu画画0+0+图如右图如右, ,用节点法用节点法442Ai(0+)+ 2i (0+) -+ u (0+) -ab)0()0(44)0(22)4141)(0(ababuiiu解得:解得:V2 . 3)0(A8 . 0)0(abui那么:那么:V8 .4)0(u2 2,计算稳态值,计算稳态值u(u()
10、)、i(i() ) t ,电路重,电路重新达到稳定,新达到稳定,电容开路,终电容开路,终值图如右,得:值图如右,得:442Ai( )+ 2i ( ) -+ u ( ) -A2)(0)(iu时间常数为时间常数为sCReq1.0 代入三要素公式得:代入三要素公式得: )0(V8.4)(10tetut)0(Ae2 .12e )28 .0(2)(1010 ttitt3 3,计算时间常数,计算时间常数电容相连接的电阻网络如电容相连接的电阻网络如右图,用加压求流法得:右图,用加压求流法得: 44i+ 2i -Req 10eqR例例18 18 求求u(t)u(t)。知:。知: A2)0(,V1)0(CLiu
11、解:电路可分成两部分分别求响应,然解:电路可分成两部分分别求响应,然后迭加。后迭加。)()()(LCtututuuC-1 0.5F2+1A+ u -t=01HiL2+u(t)_RCRC部分:部分:V1)0()0(CCuuuC-1 0.5F2+1At=01H2+u(t)_uL-+uC+- 0.5F21As1V2)(CRCuC所以所以0Ve2)(CttutRLRL部分:部分:A2)0()0(LLiiuC-1 0.5F2+1At=01H2+u(t)_uL-+s5 . 0/0)(V2)0(LLRLuuL所以所以0Ve2)(2LttutuL+-1H21A0Ve2e2)()()(2LCttutututt例
12、例19 19 开关在开关在a a时电路已稳定。时电路已稳定。t=0t=0倒向倒向b,t=R1Cb,t=R1C倒向倒向c c,求,求t t0 0的的iC(t)iC(t)并画波并画波形形 解:解:t0t0 iL2(t),t0 L1 L2+US-R1iL1iL2R2t=0解:(解:(1求求初始值:换初始值:换路前,电路路前,电路已稳定:已稳定:0)0()0(L21SL1iRUi换路后,全电感割集,磁链守恒换路后,全电感割集,磁链守恒 )0()0()0()0()0()0()0()0(L2L1L22L11L22L11iiiLiLiLiL 1S211L2L1)0()0(RULLLii(2求稳态值:求稳态值
13、:21SL2L1)()(RRUii(3求时间常数:求时间常数:2121RRLL (4代入三要素公式代入三要素公式0tAe )()(212121S1S21121SL2L1tLLRRRRURULLLRRUtiti例例23 23 图示图示RCRC分压器电路原已稳定。试求分压器电路原已稳定。试求t0t0时时uC2(t). uC2(t). R1R2C1C2t=0+US-+uC2(t)-+ uC1(t) -a解:将图中的电压源置零后,电容解:将图中的电压源置零后,电容C1 C1 和和C2C2并联等效于一个电容,说明该电路并联等效于一个电容,说明该电路是一阶电路,三要素法仍适用。是一阶电路,三要素法仍适用。
14、为使为使uC2(t)uC2(t)无过度过无过度过程,程,C1C1取取何值?何值?(1 1求时间常数:换路后,电源置零求时间常数:换路后,电源置零得下图。其时间常数为得下图。其时间常数为 )(212121ooCCRRRRCR R1/R2C1+C2(2求初始值:在求初始值:在tR2C2R1C1=R2C2R1C1R2C2S212URRRt0(5 5) 由上式看出,输出电压的稳态由上式看出,输出电压的稳态分量由两个电阻的比值确定,其暂态分分量由两个电阻的比值确定,其暂态分量还与两个电容的比值有关。改变电容量还与两个电容的比值有关。改变电容C1C1可得到三种情况,当可得到三种情况,当R1C1=R2C2R
15、1C1=R2C2时,时,暂态分量为零,输出电压马上达到稳态暂态分量为零,输出电压马上达到稳态值,这种情况称为完全补偿;值,这种情况称为完全补偿;当当R1C1R2C2R1C1R2C2R1C1R2C2时,暂态分时,暂态分量不为零,输出电压要经过一段时间才量不为零,输出电压要经过一段时间才达到稳态值,前者称为欠补偿,后者称达到稳态值,前者称为欠补偿,后者称为过补偿,这三种情况的波形如图所示为过补偿,这三种情况的波形如图所示。这就是在很多高频测量仪器的输入。这就是在很多高频测量仪器的输入RCRC分压电路分压电路( (例如示波器的探头例如示波器的探头) ) 中设置中设置一个微调电容器的原因,用户可以调节
16、一个微调电容器的原因,用户可以调节这个电容器来改变时间常数,令这个电容器来改变时间常数,令R1C1=R2C2R1C1=R2C2,从而得到没有失真的输出,从而得到没有失真的输出波形。波形。 例例24 24 求求t0t0时的时的uC1(t), uC2(t)uC1(t), uC2(t)和和i i (t)(t),画出它们的波形。已知,画出它们的波形。已知uC1(0-uC1(0-)=10V)=10V, uC2(0-)=0V uC2(0-)=0V 。 t=03FC12FC2+uC 1(t) - +uC 2(t) -i(t)R=10解:含全电容割集,解:含全电容割集,两个电容可等效为两个电容可等效为一个独立
17、电容。一个独立电容。是一阶电路,用三要素法是一阶电路,用三要素法 (1求时间常数求时间常数s121023232121RCCCCt=03FC12FC2+uC 1(t) - +uC 2(t) -i(t)R=10(2求初始值求初始值0)0()0(V10)0()0(2C2C1C1CuuuuA1/ )0()0(1CRvi(3求终值求终值由由KVL,得:,得:由电荷守恒:由电荷守恒:)0()()()()(1C12C21C12C1CuCuCuCuut ,电路稳定:,电路稳定:0)( i联立解得:联立解得:V610233)0()()(1C2112C1CuCCCuu(4代三要素公式,得:代三要素公式,得:0tV
18、e46e6106)(1211211Ctttu0tV )e1(6)(1212Cttu0t Ae)(121 tti10V 6V 1A0tuC1(t) i (t)uC2(t)波形图:波形图:两个电容上的两个电容上的6V电压,象掉电压,象掉入入“陷阱一样,陷阱一样,永远跑不掉。永远跑不掉。5 58 8 阶跃信号和阶跃响应阶跃信号和阶跃响应5 58-1 8-1 阶跃信号阶跃信号定义:定义: 0100)(ttt 0 t (t)1延迟单位阶跃信号:延迟单位阶跃信号: 00010)(tttttt 0 t0 t (t-t0)1阶跃信号用途:阶跃信号用途:1. 描述开关动作描述开关动作t=0+2V-电电路路 +2
19、 (t) V -电电路路2. 表示各种信号表示各种信号0 t0 tAf (t)()()(0tttAtf )2(2)1()()( ttttf 0 1 2 t21f (t)0 /2 tAf (t)()(sin)( ttttf5 58-2 8-2 阶跃响应阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应s(t):零状态时电路在:零状态时电路在单位阶跃信号激励下的响应。单位阶跃信号激励下的响应。t=0 +1V -+v-t=01Ai把把 (t)看作下图开关动作,则求解看作下图开关动作,则求解阶跃响应零状态可用三要素法阶跃响应零状态可用三要素法图图(a)RC(a)RC串联电路,初始值串联电路,初始值vC(0+)=0vC(
20、0+)=0,稳,稳态值态值uC(uC()=1)=1,时间常数,时间常数=RC=RC。图。图(b)RL(b)RL并联电路,初始值并联电路,初始值iL(0+)=0iL(0+)=0,稳态,稳态值值iL(iL()=1)=1,时间常数,时间常数 = L/R = L/R。可分。可分别得到别得到uC(t)uC(t)和和iL(t)iL(t)的阶跃响应如下。的阶跃响应如下。 )()e1()(ttsRCt )()e1()(tttstLR 例例25 25 用阶跃函数表示左图所示的方波用阶跃函数表示左图所示的方波电流,再求电流,再求iL iL ,并画出波形。,并画出波形。 iSiL1H LR 20 1 t2iS解法一
21、:左图所示的方波电流,可以解法一:左图所示的方波电流,可以用两个阶跃函数表示用两个阶跃函数表示: : iS(t) = 2iS(t) = 2(t)-2(t)-2(t-1)A (t-1)A 由于是线性电路,根据动态电路的叠由于是线性电路,根据动态电路的叠加定理,其零状态响应等于加定理,其零状态响应等于2 2(t)(t)和和 -2-2(t-1)(t-1)两个阶跃电源单独作用引起两个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。零状态响应之和。 (1先求单位阶跃响应先求单位阶跃响应s(t) (t)(t)s(t)1H LR 2sRLsss5 . 0/1)(0)0()0( )()1()(2tetst 所以:所以:(
22、2应用线性及时不变性应用线性及时不变性A)()1()()(2tetstt由于)()1(2)(2)(2)()1(2)(2)(222tetsttetsttt 线线性性)1(1 )1()1(12 tetstt )(时不变时不变(3 3叠加,叠加,2 2(t)-2(t)-2(t-1)(t-1)作用的零作用的零状态响应为状态响应为 A)1(1 2)()1 (2)1(2)(2)()1(22tetetststittL黄线和紫线分别表示黄线和紫线分别表示2s(t)2s(t)和和-2s(t-1)-2s(t-1)。它们相加得到它们相加得到iL(t)iL(t)波形,如红线所示波形,如红线所示iL(t)20 1 t-
23、2解法二:将激励看作两次开关动作解法二:将激励看作两次开关动作2AiL1H LR 2t=0 t=1iL(t)20 1 t第一次换路,第一次换路,充电充电第二次换第二次换路,放电。路,放电。)1 ( 22 e例例26 26 求求 t0t0时的时的i (t)i (t),已知,已知uC(0-)=2VuC(0-)=2V。 0.5F+uS-2 +uC-i(t)uS2-10 1 2 t先求零输入响应先求零输入响应izi (t).izi(0+)=-1A,时间常数,时间常数=RC=1s。解:(解:(1)0A)(tetitiz所以:所以:(2求零状态响应求零状态响应iCzs (t).先求单位阶跃响应先求单位阶跃
24、响应s(t).0.5F+uS-2 +uC-i(t)初始值初始值 uC(0+)=0, uC(0+)=0, iC(0+)=0.5AiC(0+)=0.5A,)(5.0)(tetst 由于由于uS(t)= -uS(t)= -(t)+3(t)+3(t-1)- (t-1)- 2 2(t-2), (t-2), 所以,零状态响应为所以,零状态响应为 A)2() 1(5 . 1)(5 . 0)2(2) 1(3)()()2()1(tetetetstststitttzs(3全响应全响应)()()(tititisziz 0A)2() 1(5 . 1)(5 . 0)()2()1(tetetetetitttt5-9 脉冲
25、序列作用下的一阶电路分析脉冲序列作用下的一阶电路分析C+uS-R+uC-+ uR -0 T 2T 3T 4T tuS(t)US1.当当T4 时:在时:在0tT,电容由零,电容由零状态充电,状态充电,t=T时达稳态值时达稳态值US ;在;在Tt2T,电容由,电容由US放电,直至放电,直至0。TtTeUTteUtuTttC20)1()(SSTtTeUTteUtuTttR20)(SS0 T 2T 3T 4T tuS(t)US0 T 2T 3T 4T tuC(t)US0 2T 4T tuR(t)US-UST微分电路:微分电路:(输出等于输入的微分输出等于输入的微分)dRuCudiCuuRRRS)(1)
26、(1tdtudRCtuduRCtuTRCSRtRS)()(,)(1)(,当当(即即RC 很小时很小时)2.T4 时:在时:在0tT,电容由零状态,电容由零状态充电,充电,t=T时,时, uC(T)尚未至稳态值尚未至稳态值US ;在在Tt2T,电容由,电容由uC(T)放电,放电, uC(2T) 不为不为0。第二周期由。第二周期由uC(2T)开始充电。开始充电。0 T 2T 3T 4T tuC(t)US若干周期后,充放电过程达稳态。若干周期后,充放电过程达稳态。0 T 2T 3T 4T tuC(t)USUAUB-UB0)(teUtutBChTtTeUTteUUUtuTtAtSBSCp20)()(对
27、照式对照式(5-55):tpCCpCCeuututu)0()0()()()()()(tututuhCpCC)()()(tututuCpChCTATTABCpTSBSACpeUeUUTueUUUUTu2)2()()(解得:解得:TTSBTSAeeUUeUU1101)(teeeUtutTTSCh可见:可见:SBAUUU积分电路:积分电路:( (输出等于输入的积分输出等于输入的积分) )vtdtudRCtutuCCS)()()(当当T T 时,时,( (即即 =RC =RC 很大很大时时) )duRCtututdtudRCtutSCRCS)(1)()()()(摘摘 要要1 1、线性时不变电容元件的特
28、性曲线是通过、线性时不变电容元件的特性曲线是通过q-vq-v平面坐标原点的一条直线,该直线方程平面坐标原点的一条直线,该直线方程为为 Cuq 电容的电压电流关系由以下微分或积分方程描述电容的电压电流关系由以下微分或积分方程描述 tdiCtuttuCti)(1)(d)(d)(CCCC可见,电容电压随时间变化时才有电容电流。若电可见,电容电压随时间变化时才有电容电流。若电容电压不随时间变化,则电容电流等于零,电容相容电压不随时间变化,则电容电流等于零,电容相当于开路。因此电容是一种动态元件。它是一种有当于开路。因此电容是一种动态元件。它是一种有记忆的元件,又是一种储能元件。储能为记忆的元件,又是一
29、种储能元件。储能为)(21)(2CCtCutW电容的储能取决于电容的电压,与电容电流值无关电容的储能取决于电容的电压,与电容电流值无关 2、线性时不变电感元件的特性曲线是通过、线性时不变电感元件的特性曲线是通过 -i 平平面坐标原点的一条直线,该直线方程为面坐标原点的一条直线,该直线方程为 Li 电感的电压电流关系由以下微分或积分方程描述电感的电压电流关系由以下微分或积分方程描述 tduLtittiLtu)(1)(d)(d)(LLLL可见,电感电流随时间变化时才有电感电压。若电可见,电感电流随时间变化时才有电感电压。若电感电流不随时间变化,则电感电压等于零,电感相感电流不随时间变化,则电感电压
30、等于零,电感相当于短路。因此电感是一种动态元件。它是一种有当于短路。因此电感是一种动态元件。它是一种有记忆的元件,又是一种储能元件。储能为记忆的元件,又是一种储能元件。储能为 )(21)(2LLtLitW 电感的储能取决于电感的电流,与电感电压值无关电感的储能取决于电感的电流,与电感电压值无关 3、 电容和电感的一个重要性质是连续性电容和电感的一个重要性质是连续性若电容电流若电容电流iC(t)在闭区间在闭区间t1,t2内有界,则电容电内有界,则电容电压压uC(t)在开区间在开区间(t1,t2) 内是连续的。例如电容电内是连续的。例如电容电流流iC(t)在闭区间在闭区间0+,0-内有界,则有内有
31、界,则有)0()0(CC uu若电感电压若电感电压uL(t)在闭区间在闭区间t1,t2 内有界,则电感内有界,则电感电流电流iL(t)在开区间在开区间(t1,t2) 内是连续的。例如电感内是连续的。例如电感电压电压uL(t)在闭区间在闭区间0+,0-内有界,则有内有界,则有)0()0(LL ii利用电容电压和电感电流的连续性,可以确定电利用电容电压和电感电流的连续性,可以确定电路中开关转换路中开关转换 (称为换路称为换路) 引起电路结构和元件参引起电路结构和元件参数等改变时,电容电压和电感电流的初始值。初数等改变时,电容电压和电感电流的初始值。初始值是求解微分方程时必须知道的数据。始值是求解微
32、分方程时必须知道的数据。 4,动态电路的完全响应由独立电源和储能元件的,动态电路的完全响应由独立电源和储能元件的初始状态共同产生。仅由初始状态引起的响应称为初始状态共同产生。仅由初始状态引起的响应称为零输入响应;仅由独立电源引起的响应称为零状态零输入响应;仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。线性动态电路的全响应等于零输入响应与零响应。线性动态电路的全响应等于零输入响应与零状态响应之和。状态响应之和。5,动态电路的电路方程是微分方程。其时域分析,动态电路的电路方程是微分方程。其时域分析的基本方法是建立电路的微分方程,并利用初始条的基本方法是建立电路的微分方程,并利用初始条件求解。对于线性件求解。对于线性n阶非齐次微分方程来说,其通阶非齐次微分方程来说,其通解为解为)()()(phtftftf fh(t)是对应齐次微分方程的通解,称为电路的固是对应齐次微
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