最新《导数及其应用》知识点总结

1、学习-好资料导数及其应用知识点总结f(X2) f (Xi)X2 - Xi、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数f(x)在区间x1, x2上的平均变化率为:2. 导数的定义：设函数 y =f(x)在区间(a,b)上有定义，(a,b)，若Cx无限趋近于 0时，比值 弓(x° 学 f(x°)无限趋近于一个常数 A，则称函数f(x)在x = xo处可导, 并称该常数A为函数f(x)在X=Xo处的导数，记作f (xo)。函数f (x)在x=xo处的导数的实 质是在该点的瞬时变化率。3. 求函数导数的基本步骤：(1)求函数的增量.Vy =f(Xo .Vx) - f (Xo)

2、 ；( 2)求平均变化率：f(Xo . ：x) f(Xo)；( 3)取极限，当lx无限趋近与0时，f(Xo：X) f(Xo)无限趋ZAx近与一个常数A，贝y f (x0A.4. 导数的几何意义：函数f(x)在x=Xo处的导数就是曲线 y=f(x)在点(Xo,f(Xo)处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：(1) 求出y = f(x)在xo处的导数，即为曲线 y = f(x)在点(xo, f (xo)处的切线的斜率;(2) 在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y -yo =(xo)(x -xo)。当点P(xo, yo)不在y =f(x)上时，求经过点 P

3、的y = f(x)的切线方程，可设切点坐标， 由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线y = f(x)在点(xo, f(xo)处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x=x°。5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S是时间t的函数S(t)，则V =S(t)表示瞬时速度，a=v(t)表示瞬时加速度。二、导数的运算1. 常见函数的导数：(1) (kx bf = k(k,b 为常数)；(2)C =0(C 为常数)；(3) (x) =1 ;(4)(x2) =2x ；(5)(x3) =3x2;(6)(1)'丄一舌；x x学习-好资

4、料(7) (. x)y_1_ ;2仮(9) (ax)二axlna(a 0,a=1)；(11) (ex)ex ；(13) (sin x) =cosx ;(8) (x“)： = ox"(a为常数)；(10) (logaX)Wlogae=：x1a(a 0,a=1);(12) (lnx)：W ;(14) (cosx) = _sin x。2. 函数的和、差、积、商的导数：(1) f(x) _g(x) =f (x)_g(x)；(2) Cf (x)KCf (x)( C 为常数)；(3) f(x)g(x)ff (x)g(x) f (x)g (x)；(4) 単(x)g(x)2 f(x (g(x)=0)

5、。g(x)g (x)3. 简单复合函数的导数:若 y = f (u), u 二ax b，贝V yyu Ux，即 yx =yu a。三、导数的应用1. 求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数 y二f(x)在区间(a,b)内可导，(1) 如果恒f (x) 0 ,则函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数；(2) 如果恒f (x) :0，则函数y = f(x)在区间(a,b)上为减函数；(3) 如果恒f (x)=0，则函数y二f(x)在区间(a,b)上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数 y = f (x)的定义域；求导数 (x)； 解不等式f(x) .0，解集在定义

6、域内的不间断区间为增区间；解不等式f(x)：0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)：设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，(1) 如果函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数，则f(x)_0(其中使f (x0的x值不构 成区间)；(2) 如果函数y=f(x)在区间(a,b)上为减函数，则f (x)乞0(其中使f(x)=0的x值不构 成区间)；(3) 如果函数y = f(x)在区间(a,b)上为常数函数，则f (x) =0恒成立。2. 求函数的极值：设函数y=f(x)在X。及其附近有定义，如果对 X。附近的所有的点都

7、有f(x) f(x0)(或f (x) £ f(X0),则称f(X0)是函数f (x)的极小值(或极大值)可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：学习-好资料(1 )确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f (x) ; (3)求方程f(x)=o的全部实根，Xi ：X2 ：:：:Xn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：X变化时，f(X)和f (x)值的变化情况：X(°o, X1)X(MX)Xn(Xn , Sf (X)正负0正负0正负f(x)单调性单调性单调性(4) 检查f(X)的符号并由表格判断极值。3. 求函数的最大值与最小值：如果函数f(X)在定义域I内

8、存在Xo，使得对任意的X，I，总有f(X)_f(Xo)，则称f(Xo)为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数f (x)在区间a,b上的最大值和最小值的步骤：(1 )求f (x)在区间(a,b)上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a), f(b)比较，得到f(x)在区间a,b上的最大值与最小值。4. 解决不等式的有关问题：(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。f (x)(x A)的值域是a,b时,不等式f(x) ：0恒成立的充要条件是f (X)max : 0 ,即 b 0 ；不等式f(x) 0恒成立的充要条件是f(x)min 0，即 a 0。f(x)(xA)的值域是(a,b)时，不等式f (x) :：: 0恒成立的充要条件是 b岂0 ；不等式f(x) 0恒成立的充要条件是 a _ 0。(2)证明不等式f(x) <0可转化为证明f(X)max ：0，或