高中数学 第二章综合曲线与方程知识精讲 文 北师大版选修1－1

1、高二数学选修11 第二章综合 曲线与方程北师大版（文）【本讲教育信息】一、教学内容选修11 曲线与方程二、教学目标1、理解曲线与方程的概念及进一步认识坐标法的应用。2、能用直译法、定义法、相关点法等方法求简单的曲线方程。3、进一步培养学生对数学思想方法的应用能力、推理能力、计算能力。三、知识要点分析1、曲线的方程与方程的曲线在平面直角坐标系中，曲线C上的点与二元方程f（x，y）=0的实数解建立如下关系：（1）曲线上的点的坐标x，y都是方程f（x，y）=0的解。（2）以方程f（x，y）=0的解x，y为坐标的点（x，y）都在曲线C上。则曲线C叫方程f（x，y）=0的曲线，方程f（x，y）=0叫曲线

2、C的方程。2、求曲线方程的步骤：（1）建系建立适当的坐标系。（2）设点设轨迹上任意点P（x，y）（3）列式写出满足某种条件的动点P（x，y）的关系式。（4）代换将动点P（x，y）转化为f（x，y）=0并化简。（5）证明证明所求的方程为符合条件的动点轨迹方程。3、求曲线轨迹方程的几种常用的方法：求曲线的轨迹方程常采用的方法有直译法、定义法、代入法、参数法。（1）直译法：是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程。（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求。（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换

3、而求动点的轨迹方程。【典型例题】考点一：用直译法求曲线的轨迹方程例1：已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为正的常数，求点M的轨迹方程。【思路分析】可设|AB|=2a（a>0），然后建立如图所示的坐标系，此时A（a，0），B（a，0），设M的坐标为（x，y），表示出|MA|，|MB|，根据已知条件得：，然后再化简。解：建立坐标系如图所示， 设|AB|=2a，则A（a，0），B（a，0）。设M（x，y）是轨迹上任意一点。则由题设，得=，代入坐标，得=，化简得（12）x2+（12）y2+2a（1+2）x+（12）a2=0即为所求的轨迹方程。【说明】建立不同的坐标系，会得到不同的轨迹方

4、程，但轨迹是相同的。如本题也可以A为坐标原点，A，B两点所在的直线为x轴建立坐标系等。考点二：定义法求曲线的轨迹方程 例2：已知圆和圆。动圆M同时和圆C1，C2相外切，求动圆的圆心M的轨迹方程。【思路分析】根据动圆与两定圆相外切的条件可得|MC2|MC1|=定值，再根据双曲线的定义写出曲线的轨迹方程。解：定圆C1圆心为（3，0），半径r1=1定圆C2圆心为（3，0），半径r2=3设动圆的圆心M的坐标为（x，y），半径是r，由题意知：|MC1|=r+1 |MC2|=r+3故|MC2| <由双曲线的定义知：动点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支即，故M点的轨迹方程是考点三：利用相关点法求点的轨

5、迹方程例3：从抛物线上任意一点P向其准线L引垂线，垂足是Q，直线OP（O为抛物线的顶点）与直线FQ（F为抛物线的焦点）交于R点，求点R的轨迹方程。【思路分析】设R的坐标为（x，y），P的坐标为，要求R点的轨迹方程只要找出R点与P点坐标的关系。然后根据P点在抛物线上，代入抛物线的方程，可求R点的轨迹方程。即求出OP的直线方程和FQ的直线方程解出（用x，y表示）。解：设R的坐标为（x，y），P的坐标为，则OP的直线方程是：（1）FQ的直线方程是：（2）由（1）（2）解方程组得：，故P（因P点在抛物线上，故有整理得R点的轨迹方程是例4：设是椭圆的长轴的两个端点，是垂直于弦的两个端点，求直线与直线的交

6、点M的轨迹方程。【思路分析】设P1的坐标为（，则P2的坐标为，M的坐标为（x，y）求出直线A1P1及直线A2P2的方程，求出（用x，y）表示出来，再根据P1在椭圆上，把P1点的坐标代入椭圆的方程。可求M点的轨迹方程。解：设P1（，则P2的坐标为，M的坐标为（x，y），易求A1P1的直线方程是（1）A2P2的直线方程是：（2）由（1）（2）解关于为未知数的二元一次方程得：故，因P1点在椭圆上，故，化简得：，即为M点的轨迹方程。【说明】相关点法求轨迹方程也叫代入法求轨迹方程，其特点是：动点M（x，y）取决于已知曲线C上的点（的坐标，可用x，y表示。再代入曲线C的方程可以求得动点M的轨迹方程。在复杂

7、的求轨迹方程 的问题中，可以先确定较易求得的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程。【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲述求轨迹方程几种常用的方法。其中定义法，代入法（相关点法）体现了数与形结合的思想、等价转化的数学思想的应用。预习导学案（直线与圆锥曲线的位置关系）（一）预习前知：1、直线与椭圆、双曲线、抛物线有哪些位置关系？2、已知曲线C上两点，且PQ的直线的斜率为K，则|PQ|=_3、已知圆，过P点作圆的切线，那你能求出切线长和切线方程吗？4、如何判断直线与圆的位置关系？有哪些方法？（二）预习导学反思与探究反思探究的任务：直线与圆锥曲线的位置关系。1、设直线方

8、程是Ax+By+C=0，圆锥曲线的方程是f（x， y）=0，由消去x（或消去y）得：（*）（1）当a=0时，此时圆锥曲线是椭圆吗？当圆锥曲线是双曲线时，此时直线与双曲线的渐进线之间有何关系？当圆锥曲线是抛物线时，直线与抛物线的对称轴之间有何关系？（2）当时，（*）的判别式若时，直线与圆锥曲线分别有何位置关系？直线与圆锥曲线的公共点的个数分别是多少？2、设直线Ax+By+C=0与圆锥曲线f（x，y）=0交与两点，直线PQ的斜率是k，则|PQ|=_（用K表示）3、过圆锥曲线的焦点且垂直于对称轴的直线与圆锥曲线交与M，N两点，则|MN|是圆锥曲线的通径，写出椭圆、双曲线、抛物线的通径分别为 、 、

9、。【模拟试题】（答题时间：100分钟）一、选择题：（每题6分，计36分）1、在直角坐标系中，|AB|=2a，（a>0）A，B两点分别在x轴，y轴上移动，则AB的中点M的轨迹是（ ）A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 圆2、动点P及两定点A（2，0），B（2，0），满足|PA|PB|=4，则P点的轨迹是（ ）A. 双曲线 B. 双曲线的一支C. 射线 D. 线段AB3、动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M（2，0）的距离之差等于2，则动点P的轨迹是（ ）A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线4、过椭圆上任意一点M作x轴的垂线，垂足是N，则MN的中点轨迹方程是（ ）

10、A. B. C. D. 5、经过抛物线的焦点弦的中点轨迹是（ ）A. 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 直线6、已知点P在定圆O的圆内或圆周上，动圆C过P点和定圆O相切，则动圆C的圆心的轨迹可能是（ ）A. 圆或椭圆或双曲线 B. 两条射线或圆或抛物线C. 两条射线或圆或椭圆 D. 椭圆或抛物线或双曲线二、填空题：（每题6分，计24分）7、动点P到两定点（0，1）（0，1）的距离之和为，则P点的轨迹方程是 8、动点P到定点（1，0）与定点（1，0）的距离之差为2，则动点P的轨迹方程是 9、坐标平面上的两定点A，B，动点P，若直线PA，PB的斜率之积是定值m，则P点的轨迹可能是（1）椭圆，

11、（2）双曲线，（3）抛物线，（4）圆，（5）直线。将正确的序号填在横线上 。10、已知椭圆的焦点，P是椭圆上的动点，若延长到Q，使|PQ|=|PF2|，则动点Q的轨迹是 。三、计算题（40分）11、一动圆过定点A（1，0），且与定圆相切时，求动圆的圆心轨迹方程。（10分）12、已知坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状。（15分）13、椭圆与双曲线有共同的焦点，并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，求椭圆和双曲线的交点的轨迹方程。（15分）【试题答案】一、选择题：1、（D）解析：设AB的中点M（x，y），则由平面几何定

12、理得：|OM|=，（O为坐标原点），故有：2、（C）3、（D）解析：由已知：动点P到M（2，0）的距离等于它到定直线x=2的距离，由抛物线定义可得答案。4、（B）解析：设M（，则N（。MN的中点是P（x，y）.则故M（x，2y），由M点在椭圆上得：5、（A）解析：设抛物线的焦点F（，弦AB的中点是M（x，y），由A，B两点在抛物线上得：由6、（C）当点P在定圆O上时，圆C与圆O或内切或外切。O，P，C三点共线。故此时轨迹为两射线。当点P在圆O内时（非圆心）。|OP|+|PC|=r（定值），轨迹为椭圆。当P与O重合时，圆心的轨迹是椭圆。故选（C）二、填空题：7、根据椭圆的定义可得轨迹方程是8、y=0 （x9、设A（a，0），B（a，0），P（x，y）则：当m<0且m不等于1时，是椭圆。当m>0时是双曲线，当m=1时，是圆。当m=0时是直线。故正确答案是（1）（2）（4）（5） 10、圆，由第一定义得：定值。定值即是定值，即动点Q到定点的距离是定值。三、解答题：11、解：设动圆的圆心是P（x，