圆周运动中的临界问题

1、圆周运动中的临界问题1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题如图 1、图 2 所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况vvR绳RR 杆Ov0图1图 2图3临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用v 临界 Rg能过最高点的条件：v Rg ，当 v Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。不能过最高点的条件：v v 临界 （实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。如图 3 所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力能过最高点v 临界 0，此时支持力N mg当 0 vRg 时， N 为支持力，有0 N mg，且 N 随 v 的增大而减小当 vRg 时， N 0

2、当 vRg ， N 为拉力，有N 0， N 随 v 的增大而增大例 1（99 年高考题）如图4 所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中a、 b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是（）bA 、a 处为拉力， b 处为拉力B 、a 处为拉力， b 处为推力OC、a 处为推力， b 处为拉力D 、a 处为推力， b 处为推力a图4供参考例 2长度为 L 0.5m 的轻质细杆 OA ， A端有一质量为m 3.0kg 的小球，如图 5所示，小球以 O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m s，g 取

3、 10m s2，则此时细杆OA 受到（）mA 、 6.0N 的拉力B、 6.0N的压力ALC、 24N 的拉力D、 24N的压力O例 3长 L 0.5m ，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O图5点，上端连接着一个质量m 2kg 的小球 A ，A 绕 O 点做圆周运动（同图 5），在 A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：当 A 的速率 v1 1m s 时当 A 的速率 v2 4m s 时2、在水平面内作圆周运动的临界问题在水平面上做圆周运动的物体，当角速度 变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝

4、哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。例 4如图 6 所示，两绳系一质量为m 0.1kg 的小球，上面绳长 L 2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与 45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad s 时，上、下两绳拉力分别为多大？A30°B45°C图 6供参考例 5 如图 7 所示，细绳一端系着质量 M 0.6kg 的物体，静止在水平肌，另一端通过光滑的小孔吊着质量 m 0.3kg 的物体， M 的中与圆孔距离为 0.2m，并知 M 和水平面的最大静摩擦力为 2N 。现使此平面绕中心轴线转动， 问角速度 在什么范围

5、 m 会处于静止状态？（ g 10m s2） 说明： 一般求解“在 什么范围 内 ”这一类的问题就是要分析两个临界状态。Mrom图73、巩固练习1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10m s 时，车对桥的压力为车重的3。如果使汽4车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为（）A 、 15 m sB、 20 m sC、 25 m sD、 30m s2、如图 8 所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到ro转轴的距离为 r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的 倍。求： g当转盘角速度 1时，细绳的拉力T 1。2r图 83 g当转盘角速度 2时，细绳

6、的拉力T2。2r三、小结1、解圆周运动的问题时，一定要注意找准圆心，绳子的悬点不一定是圆心。2、把临界状态下的某物理量的特征抓住是关键。如速度的值是多大、某个力恰好存在还是不存在以及这个力的方向如何。供参考答案例 1 分析：答案 A 是正确的，只要小球在最高点b 的速度大于gL ，其中 L 是杆的长；答案B 也是正确的，此时小球的速度有0v gL ；答案 C、D 肯定是错误的，因为小球在最低点时，杆对小球一定是拉力。例 2 解法：小球在A 点的速度大于gL 时，杆受到拉力，小于gL 时，杆受压力。V 0=gL 10×0.5 m s5 m s由于 v 2.0 m s5 ms，我们知道：

7、过最高点时，球对细杆产生压力。小球受重力mg 和细杆的支持力N由牛顿第二定律mg N m2vLv2Nmg m L6.0N故应选B 。例 3解法一：（同上例）小球的速度大于5 m s 时受拉力，小于5 m s 时受压力。当 v1 1ms5 ms 时，小球受向下的重力mg 和向上的支持力 NNv2由牛顿第二定律mgN m L2Nmg m vL 16N16N 。mg即杆受小球的压力当 v2 4ms5 ms 时，小球受向下的重力mg 和向下的拉力 F2mg由牛顿第二定律mgF mvLv 2F m Lmg 44NF即杆受小球的拉力44N 。解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的

8、作用力也可以是拉力或者是压力。我们可不去做具体的判断而假设一个方向。如设杆竖直向下拉小球A，则小球的受力就是上面解法中的的情形。2由牛顿第二定律mg F m vL2得到Fm（ vL g）供参考当 v11m s 时， F1 16NF1 为负值，说明它的实际方向与所设的方向相反，即小球受力应向上，为支持力。则杆应受压力。当 v24m s 时， F244N 。F2 为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。则杆也应受拉力。例 4 解析： 当角速度 很小时， AC 和 BC 与轴的夹角都很小， BC 并不张紧。 当 逐渐增大到 30°时，BC 才被拉直（这是一个

9、临界状态），但 BC 绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为1，则有：TAC cos30° mgTAC sin30° m 12Lsin30 °将已知条件代入上式解得 1 2.4 rads当角速度 继续增大时TAC 减小， TBC 增大。设角速度达到2 时， T AC 0（这又是一个临界状态），则有：TBCcos45° mgTBCsin45 ° m 22Lsin30 °将已知条件代入上式解得 2 3.16 rad s所以 当 满足2.4 rad s 3.16 rad s， AC、 BC 两绳始终张紧。本题所给条件 3 rad s，此时两绳

10、拉力 TAC 、 TBC 都存在。T ACsin30° TBC sin45° m 2Lsin30 °T ACcos30° TBCcos45° mg将数据代入上面两式解得TAC 0.27N ，TBC1.09N注意： 解题时注意圆心的位置（半径的大小）。如果 2.4 rad s 时， T BC 0，AC 与轴的夹角小于30°。如果 3.16rad s 时， TAC 0， BC 与轴的夹角大于45例 5 解析：要使 m 静止， M 也应与平面相对静止。而M 与平面静止时有两个临界状态：当 为所求范围最小值时， M 有向着圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N 。Mo此时，对 M 运用牛顿第二定律。r有T f M