圆的一般式方程名师课件

1、楚水实验学校高一数学备课组楚水实验学校高一数学备课组 22x ?y?Dx?Ey?F?0一、复习回顾一、复习回顾: : 圆的标准方程的形式是怎样的？圆的标准方程的形式是怎样的？ 222(x?a)?(y?b)? r其中圆心的坐标和半径各是什么？其中圆心的坐标和半径各是什么？ ?a , b?r二、数学建构二、数学建构: : 想一想想一想 ：若把圆的标准方程：若把圆的标准方程 22( x?a )? ( y?b)? r2展开后，会得出怎样的形式？展开后，会得出怎样的形式？ 22222x ?y?2 ax?2 by? a ?b ?r ?0令 ?2a?D,?2 b?E,a?b?r?F得22222x ?y?Dx

2、?Ey?F?0讨论讨论：此方程是否表示：此方程是否表示圆圆呢？呢？ 22x ?y?Dx?Ey?F?0证明证明: 由x?2y2?Dx?Ey?F? 02222DED ? E ?4F(x?) ? (y?)?422于是, (1 )当D?E?4F?0 时,方程x?222y2?Dx?Ey?F? 0表示圆心在D?E?4F的圆22DE1(?,?)半径为2222222(2 )当D?E?4F?0 时,方程x?y2DE?Dx?Ey?F?0表示点(?,?)2222(3 )当D?E?4F?0 时,方程x?y2?Dx?Ey?F?0不表示任何图形 .定义定义 : 圆的一般方程圆的一般方程 xy2?2?Dx?Ey?F?022

3、(D?E?4F?0)方程Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F? 0思思 考考 什么时候可以表示什么时候可以表示圆圆? 22A?C?0, B?0, D?E?4 AF?0.22观察：圆的标准方程与圆的一般 方程在形式上的异同点. 圆的标准方程 222(x?a)?(y?b)? r 圆的一般方程 x2?2y2?Dx?Ey?F?02(D?E?4F?0)说明： (1)圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径 ； (2)圆的一般方程突出了方程形式上的特点. 三、数学应用三、数学应用: : 练习练习一一：下列方程各表示什么图形下列方程各表示什么图形? 22(1 )x?y?0_原点(0,0) (2)x?y?

4、2x?4y?6?0_(3)x?y?2ax?b?0_答 (2)圆心为(1,?2),半径为11的圆.案 22（3）圆心为（a，0），半径为 a?b的 22222 圆. 或点(0,0). 练习二：练习二： (1 )已知圆x?y?Dx?Ey?F?0 的圆心为(?2 ,3 ),半径为4 ,则D?_ F?_-3 4 E?-6 22(2)x?y?2ax?y?a?0 表示圆,1a?R,a?则a的取值范围是 _222(3 )圆x?y?4x?2 by?b?0 与x轴相222或或-2 切,则b?2_练习三练习三：求下列各：求下列各圆圆的的半径半径和和圆心坐标圆心坐标. (1 )x?y?6x?0 ,(2 )x?y?2

5、 by?0 ,(3 )x?y?2 ax?2 3 ay?3 a?0解：解：(1) 圆心为（圆心为（3，0），半径为），半径为3 2222222(2)圆心为（圆心为（0，-b） ，半径为半径为|b| (3 )圆心为(a, 3 a),半径为|a|.小结一: (1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系: 配方? ? ? ?一般方程 ? ? ? ?展开标准方程 (2)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? 方法一:用配方法求解 方法二:用代入法求解: 探究探究： 圆的一般方程圆的一般方程与与圆的标准方程圆的标准方程在应用上的比较在应用上的比较 (1).(1).若已知条件涉及若已知条件涉及圆心圆心和和半径半径,

6、 ,我们一般我们一般 采用圆的标准方程较简单采用圆的标准方程较简单. . 例例1： 求过点 A(5 ,?1 ),圆心为(8 ,?3 )的圆的方程.解：解：设圆的方程为 (x?8 )?(y?3 )?r222把点(5 ,?1 )代入方程,得r?13 ,故所求圆的方程为: (x?8 )?(y?3 )?13222探究探究：圆的一般方程圆的一般方程与与圆的标准方程圆的标准方程在运用上的比较在运用上的比较 (2).(2).若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程, ,我们常采用我们常采用 圆的一圆的一 般方程用待定系数法求解般方程用待定系数法求解 . . A(0 ,0 ),B(6 ,0 ),C(0 ,8

7、)的圆的方程.例例2：求过三点 设圆的方程为x?y?Dx?Ey?F? 0解：解： 把点把点A，B，C的坐标代入得方程组的坐标代入得方程组: 22F ? 06?6D?F?028?8E?F?02?D? ?6,?E? ?8,?F?0.?22故所求圆的方程为：故所求圆的方程为： x ?y?6 x?8 y?0例2另解:图象法 y (0,8) C D(3,4) r=5 o (A) B (6,0) x 如图所示,可知 过A,B,C三点的圆的 圆心即BC的中点,其 坐标为(3,4),半径为5 故所求圆的方程为：故所求圆的方程为： 22 (x?3 )?(y?4 )?25例例3. ABC的三个顶点坐标为的三个顶点

8、坐标为A (4, 3)、B (5, 2)、C (1, 0)，求其外接圆的方程，求其外接圆的方程. 比一比比一比:若设出标准方程若设出标准方程,再代入三点坐标再代入三点坐标,好不好不好好? 练一练练一练:求过点求过点O(0,0) 、M(1,1) 、N(4,2)的圆的圆的方程的方程. 小结二: 注意:求圆的方程时,要学会根据题目 条件,恰当选择圆的方程形式: 若知道或涉及圆心和半径若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用我们一般采用 圆的标准方程圆的标准方程较简单较简单. 若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程,我们常常采用我们常常采用 圆的一般方程圆的一般方程用待定系数法求解用待定系数法求解. (

9、 (特殊情况时特殊情况时, ,可借助图象求解更简单可借助图象求解更简单) ) 四、课堂小结：四、课堂小结： (1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为 x2?2y2?Dx?Ey?F?02(D?E?4F?0)(2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系 配方 ? ? ? ?一般方程 标准方程(求圆心,半径) ? ? ? ?展开(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法或代入法) (4)要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式: 若知道或涉及圆心和半径若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用我们一般采用圆的标准方程圆的标准方程较简单较简单. 若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程,我们常常采用我们常常采用圆的一般方程圆的一般方程用待定系用待定系 数法求解数法求解. 说明：本节课用到的数学方法数学方法和数学思想数学思想: 数学方法数学方法: (i)配方法配方法 (求圆心和半径求