初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题03根的检测器[精品]

1、专题3根的检测器阅读与思考一元二次方程的根的判别式是揭示根的性质与系数间联系的一个重要定理，是解直接或间接与一元二次方程相关问题的有力工具，其主要应用于以下几个方面：1 、判断方程实根的情况；2 .求方程中字母系数的值与字母间的关系、字母的取值范围；3 .证明等式或不等式；4 .利用一元二次方程必定有解的代数模型，证明几何存在性问题.许多表面与一元二次方程无关的数学问题，可以通过构造一元二次方程，把原问题转化为讨论方程的根的性质，然后用判别式解，这是运用判别式解题的技巧策略.例题与求解20 和（m 2）x2 2x 1 0,若其【例1】如果方程x4 6x3 9x2 3px2 2p2 0有且仅有一

2、个实数根(相等的两个实数根算作一个) 则p的值为.【例2】已知三个关于x的方程：x2 x m 0, (m 1)x2 2x 1中至少有两个方程有实根，则实数m的取值范围是(）.一 一 一1一A . m 2 B m 或1m24_ . _. k【例3】已知P(2,3)是反比仞函数y k图象上的点. xk(1)求过点P且与双曲线y 一只有一个公共点的直线解析式； xkk(2) Q是双曲线y 一在第三象限这一分支上的动点，过点 Q作直线，使其与双曲线 y 一只有一个公 共点，且与x轴，y轴分别交于C, D两点，设(1)中求得的一直线与 x轴，y轴分别交与 A, B两点, 试判断AD BC的位置关系.【例

3、4】已知a,b,c满足a b c 0, abc 8,且c 0,求证c 33/4【例5】已知关于x的方程x2 (3k 1)x 2k2 2k 0.(1)求证：无论k取何实数值，该方程总有实数根；(2)若等腰三角形 ABCW一边长a 6,另两边长b,c恰好是这个方程的两个实数根，求ABCW周长.【例6】已知 XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(/= 90。)，它的三个顶点分别在等腰直角三角形ABC(/C= 90° )的三边上.求ABC直角边长的最大可能值.能力训练A级1 .若关于x的一元二次方程 x2 2x m 0有两个实数根，则 m的取值范围是22 .关于x的万程ax (a 2)x 2

4、 0只有一解(相同的解算一解)，则a的值为3 .设a,b, c是 ABC三边，且关于x的方程c(x2 n) b(x2 n) 2nax 0(n 0)有两个相等的实数根，则 ABC是 三角形.4 .方程x2 xy y2 3x 3y 3 0的实数解为5.关于x的一元二次方程x2(2 k 1)x k 1 0的根的情况是A.有两个相等的实数根B .有两个不相等的实数根C.有两个实数根.没有实数根6.如果关于x的方程mx2 2(m2)x m 5 0没有实数根，那么关于x的方程(m 5)x2 2(m 2)x m 0的实数根的个数为()A. 2个 B.1个 C .0个 D .不确定7 .关于x的方程(a 6)

5、x2 8x 6 0有实数根，则整数 a的最大值是()A. 6 B .7 C . 8 D .98 .已知一直角三角形的三边为a,b,c, / B= 90° ,那么关于x的方程a(x2 1) 2(x b)(x2 1) 0的根为()A.有两个相等的实数根B .有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定9 .在等腰三角形 ABC中，/ A, / B, / C的对边分别是 a,b,c .已知a 3, b和c是关于x的方程21x2 mx 2 -m 0的两个实数根，求 ABC的周长. 2m)x 3 n 0有两个不相等的实数根；10 .已知m,n为整数，关于x的三个方程：x2 (72(4 m)x

6、 n 6 0有两个相等的实数根；x(m4)x n 1 0没有实数根.求 m, n的值.11 .若 a,b,c,d 0,证明：在方程 1x2 V2a_bx Vcd 0；1x2 72b_cx Vad 0;221 2 -1 2 一. x 22cdx jab 0；一x x/2dax Vbc 0中，至少有两个方程有两个不相等的头数22根.12.若实数x, y满足x2 2x 4y 5,求x 2y的最大值.B级1.当 a , b 时，方程 x2 2(1 a)x (3a2 4ab 4b2 2) 0 有实数根.2112 .已知二次万程(ab 2b)x 2(b a)x 2a ab 0有两个相等的实数根， 那么 =

7、. a b3 .如果方程 x3 5x2 (4 k)x k 0的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数k的值为.4 .已知实数a,b,c满足a b c 0, abc 2,那么a b c的最小值是 .5 .已知实数a,b,c是不全为零的三个数，那么关于x的方程2222x (a b c)x a b c 0的根的情况是()A .有两个负根B .有两个正根C .有两个异号的实根D .无实根22226 .关于x的两个方程x 4mx 4m 2m 3 0, x (2 m 1)x m 0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是()313 31A.mB.m一或m2424113 31C.mD.m一或m42227 .方程x(x 1) k 0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是(“1,八八，1.1.1A.一k 0 B .0k C . k D . k 44448 .关于x的方程|-x| a仅有两个不同的实根，则实数 a的取值范围是()|x 1A . a 0 B . a 4 C . 2 a 4 D . 0 a 429 .当a在什么范围内取值时，万程 x 5x a有且只有相异二实根.10 .求证：对于任意一个矩形A,总存在一个矩形