全称量词与全称命题

1、3 全称量词和存在量词全称量词和存在量词复习回顾复习回顾什么是充分条件?什么是必要条件?什么是充要条件?在给定的真命题“若p则q”中，如果p q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件如果p q且q p,则p是q的充要条件填写填写“充分不必要，必要不充分，充要，既充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要不充分又不必要”。1）sinAsinB是是AB的的_条件。条件。2）在锐角）在锐角ABC中，中，sinAsinB是是 AB的的 _条件。条件。既不充分又不必要既不充分又不必要充要条件充要条件在数学中,常常见到下列形式的命题:(1)所有正方形都是矩形;(2)每一个有理数都能写成分数形式;(3)

2、如果直线 垂直于平面 内的任意一条直线,那么直线 垂直于平面 ;(4)任何实数乘0都等于0;(5)一切三角形的内角和都等于180度.ll在上式的命题条件中,我们发现都有“所有”，“每一个”“任何一个”“任意一个”“一切”等这样的描述定义全称量词：像上面的描述，在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题全称命题举例：全称命题举例：全称命题符号记法：全称命题符号记法：命题：对任意的nZ，2n+1是奇数； 所有的正方形都是矩形。 通常，将含有变量通常，将含有变量x的语句用的语句用p(x), q(x), r(x),表示，变量表示，变量x的取值范围

3、用的取值范围用M表示，那么，表示，那么，( ),xMp x ，全称命题全称命题“对对M中任意一个中任意一个x，有，有p(x)成立成立 ”可用符号简记为：可用符号简记为：读作读作“对任意对任意x属于属于M，有，有p(x)成立成立”。解：解：（1）假命题；）假命题； （2）真命题；）真命题； （3）假命题。）假命题。例例1 判断下列全称命题的真假：判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；所有的素数都是奇数；（2） （3）对每一个无理数）对每一个无理数x，x2也是无理数。也是无理数。2,1 1;xR x 归纳：归纳： 判断全称命题 xM,p(x)是真命题的方法： 判断全称命题 xM,p(x

4、)是假命题的方法：需要对集合需要对集合M中每个元素中每个元素x，证明，证明p(x)成立成立只需在集合只需在集合M中找到一个元素中找到一个元素x0，使得，使得p(x0)不成立即可不成立即可 （举反例）（举反例）强调在某些全称命题中,有时全称量词可以省略.如:末位数字是偶数的整数能被2整除;正方形是矩形;球面是曲面.练习：练习：2 判断下列全称命题的真假：判断下列全称命题的真假：（1）每个指数函数都是单调函数；）每个指数函数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方根；）任何实数都有算术平方根；（3）2 |xx xx 是无理数 ， 是无理数。1 课本课本 P13总结:什么是全称量词?什么是全称命题?

5、如何来判断一全称命题的真假性?在还有一些数学命题中,反映的是对个体或整体一部分的判断.如:(1)有些三角形是直角三角形;(2)如果两个数的和为正数,那么这两个数中至少有一个是正数;(3)在素数中,有一个是偶数;(4)存在实数 ,使得 .x012 xx定义存在量词:在以上命题中,“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词特称命题：这样含有存在量词的命题叫作特称命题例如例如, ,命题命题: :有的有的平行四边形是菱形平行四边形是菱形; ;有一个有一个素数不是奇数素数不是奇数; ;有的有的向量方向不定向量方向不定; ;存在一个存在一个函数函数, ,既是

6、偶函数又是奇函数既是偶函数又是奇函数; ;有一些有一些实数不能取对数实数不能取对数. .例题讲解例，判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题：（）奇数是整数；（）偶数能被整除；（）至少有一个素数不是奇数解：（）“奇数是整数”是指“所有的奇数都是整数”，所以它是全称命题（）“偶数能被整除”是指“每一个偶数都能被整除”，所以它是全称命题（）“至少有一个素数不是奇数”是特称命题，下列命题为特称命题的是（）A 偶函数的图象关于y轴对称 B 正四棱柱都是平行六面体C 不相交的两条直线是平行直线 D 存在实数大于等于3练习，下列特称命题中真命题的个数是（）有的实数是无限不循环小数有些三角形不是等腰三角形

7、有的菱形是正方形A 0 B 1 C 2 D 3，判断下列特称命题的真假，判断下列特称命题的真假有一个实数 ,使x0322 xx存在两个相交平面垂直于同一条直线;有些整数只有两个正因数.什么是存在量词，特称命题全称命题和特称命题有什么区别？判断下列命题是全称命题还是特称命题,并说明命题的真假:(1)所有的奇数都是素数;(2)数列1,2,3,4,5的每一项都是偶数;(3)5个数-2,-1,0,1,2都大于0.均是全称命题,且都为假命题.从另一个角度来看以上问题,可知(1)只需指出“有一个奇数不是素数”就可以说明“所有奇数都是素数”这个全称命题是错误的(2)只需指出“数列1,2,3,4,5中有一项不

8、是偶数”就可以说明“数列1,2,3,4,5的每一项都是偶数”这个全称命题是错误的(3)只需指出“个数-2,-1,0,1,2中有一个数不大于0”就可以说明“5个数-2,-1,0,1,2都大于0”这个全称命题是错误的抽象概括由上述例可知：要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的强调全称命题的否定是特称命题问题判断命题是全称还是特称命题，并指出真假.065)2(;310,10,10,10,10) 1 (25432至少有一个负实根方程整除中有一个能被 xx命题(1)(2)均是特称命题且是假命题上述两命题的判断可由另一个角度来考查:(1)中只需指出 中

9、的每一个数都不能被3整除,就可以说明原命题是错误的.(2)也需只指出“方程的每一个根都不是负的”就可说明原命题是错误的543210,10,10,10,100652 xx抽象概括由上述例可知：要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的强调特称命题的否定是全称命题例题讲解例，写出下列全称命题和特称命题的否定:(1)三个给定产品都是次品;(2)方程 有一个根是偶数.01582 xx分析(1)“三个给定产品都是次品”这是一个全称命题,要否定它,只需说明“在这三个给定产品中，有一个产品不是次品”即可(2)“方程有一个

10、根是偶数”这是一个特称命题，要否定它，只需说明“方程的每一个根都不是偶数”即可01582 xx01582 xx解:(1)命题“三个给定产品都是次品”的否定是：三个给定产品中至少有一个是正品；(2)命题“方程有一个根是偶数”的否定是：方程的每一个根都不是偶数01582 xx01582 xx同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：命题命题 全称命题全称命题特称命题特称命题所有的所有的xM，p(x)成立成立对一切对一切xM，p(x)成立成立对每一个对每一个xM，p(x)成成 立立任选一个任选一个xM，p(x)成成 立立凡凡xM，都有，都有p(x)成立成立存在存在x0M，使，使p(x)成立成立至少有一个至少有一个x0M，使，使 p(x)成立成立对有些对有些x0M，使，使p(x)成成 立立对某个对某个x0M，使，使p(x)成成 立立有一个有一个x0M，使，使p(x)成成 立立, ( )xM p x 0, ( )xM p x表述方法表述方法小结：2 2