对数函数例题解析

1、百度文库对数函数例题解析例1】 (1)求函数y = log1 23xx 12的定义域(2)求函数y =(a 0，且a 1)的定义域1 log a(x a)(3)已知函数f(x)的定义域是 0，1，求函数y= flog 1 (3x)的定义 3域（1）由3x 2log 1 012 2x 13x 202x 12x 1 03x 212x 1（3x 2）（2x1x21）0x102x 112 x231 x2112x1x 223122x1312 所求定义域为1 338832x| 0， loga（x a）1 时，0xa a，函数的定义域为 (a，0)0a a，函数的定义域为 (0， )解 (3)f(x)的定义

2、域为 0，1，函数 y = flog 1 (3x)有意义， 31 必须满足 0 log 1 （3 x）1，即log 11 log 1 （3x） log 1 3，3 3 3 3 38x1， 2 x 故函数y = flog 1（3x）的定义域为 2， 33，试求它的反函数，以及反函数的定义例2】 已知函数 y = 11010x1 10x域和值域解 已知函数的定义域为10xR，y = 1 1010x10x y 1，由y = 1 1010x 得(1 y)10x = y，10xy1y 0 0yc ba Ba bcdCba dc Dbcad解 选 C，根据同类函数图像的比较， 任取一个 x1 的值，易得

3、ba1 d c故选 C【例 5】 已知 loga3logb3，试确定 a和 b 的大小关系解法一 令 y1=logax，y2=logbx，logaxlogb3，即取 x3 时，y1y2， 所以它们的图像，可能有如下三种情况：（1）当 loga3logb30时，由图像 288，取 x=3 ，可得 ba1（2）当 0loga3logb3时，由图像 289，得 0ab0logb3时，由图像 2810，得 a1 b 0解法二 由换底公式，化成同底的对数当loga3logb30时，函数 y=log 3x 为增函数，当logb3loga30log b3时，即 a 1b 0若 a2 ba1，顺序是：log3

4、aba11log3b0a 0， log 3 b log 3a0，log3alog 3 b log 3a，1 0 1log 3 alog 3 b log 3a 0 log 3b，则 log a abblog b b 、log ba、logab的大小 a2aa2ba1，0 ab1，0，0logba1由 a2ba1得a bab a b 1， loga a bb logba1logab1，故得： loga logb logbalogab ba1，小于 1 分说明 本题解决的思路，是把已知的对数值的正负，或大于组，即借助 0、1 作桥梁这个技巧，使问题得以解决例 7】 设 0x1，且 a 1，试比较 |

5、loga（1a）|与|loga（1x）|的大小解法一 求差比大小|loga（1x）|loga（1x）|=|lg(1 x)| |lg(1 x)|=| lga | | lga |1|lg a|(|lg(1 x)| |lg(1 x)|1= |lga|(lg(1x)lg(1 x) ( 01x10|loga(1x)|loga(1x)| 解法二 求商比较大小 |log a(1 x)| |loga(1 x)|log a(1 x)| |log a (1 x)|=|log (1+x )(1 x)|= log 1+x(1 x) (1x1，而 01xlog (1+x) (1x) = 11 x 1 x|loga(1x

6、)|loga(1x)|【例8】 已知函数 f（x） = log a （x 1 x2 ）（a0，且a1），判断其 奇偶性解法一 已知函数的定义域为 R ，则 xRf(x) = loga( 1+ x2x)= log a( 1 x 2 x)( 1 x21 x2 xx)=log a1 x 2 x21 x 2 x=log a= log a( 1 x2 x)f(x)f(x) 是奇函数 解法二 已知函数的定义域为 R 由f(x)f(x) = loga( 1+ x2 x)log( 1+ x2x)=log a( 1+ x 2 x)( 1+ x 2 x)=log a1=0 f(x)= f(x) ，即 f(x) 为

7、奇函数x【例9】 (1)已知函数 f(x) =log2，那么它在 (0， 1)上是增函数2 1 x还是减函数？并证明(2) 讨论函数 y=loga(ax1)的单调性其中 a 0，且 a 1(1)证明 方法一 f(x) 在(0， 1)上是增函数设任取两个值 x1，x2 (0，1)，且 x1x2x1x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) =log2 1 log2 21 x11 x2x11 =log 2x1x21 x2log2 x1(1 x2)x2 (1 x1)x1 x1x2x2 x1x 2=log 2log2= 0x2 x1x2x2 x1x 2(0x1x21， x1x1x2x2x1x2) f(x

8、1) 0，y = log 2u在（0，x 1 2x ）上是增函数， f（x） log2在（0，1）上是增函数2 1 x（2）解 由对数函数性质，知 ax10，即 ax1，于是，当 0a 1时，定义域为 （0， ）当 0a1 时，uax1 在（0， ）上是增函数，而 y=log au 也是增函数， y loga（ax1）在（0， ）上是增函数综上所述，函数 y=loga（ax 1）在其定义域上是增函数【例 10】 （1）设 0a1，实数 x、y 满足 logax 3logxa logx y=3 ，如果y有最大值 2，求这时 a与x的值4（2） 讨论函数 f（x）= log 21 x 23log 1 x 22的单调性及值域解 （1） 由已知，得log ax3logay=23， logay= log a2xlog a xlogax3log ax3= (log ax323)2242 0 a 0，tR，且t = log 1 x是（0， ）上的 22减函数2 3 3f（