实变函数(复习资料,带答案)

1、A) lim AnnAk ; n1knB) lim AnnAk;n 1k nC) lim AnnAk; n1knD) lim AnnAk n1k n( 3 分 5=15分)1、下列各式正确的是()2、设P为 Cantor 集，则下列各式不成立的是(A) P c (B) mP 0 (C) P P (D) P P3、下列说法不正确的是()(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集( D)波雷耳集都可测4、 设fn(x) 是 E上的 a.e.有限的可测函数列, 则下面不成立的是 ()( A)若fn(x)f(x), 则fn(x)f(x) (B)sup

2、fn(x) 是可测函数(C) inf fn(x) 是可测函数; ( D)若nnfn(x)f(x), 则 f(x)可测5、设f(x) 是 a,b上有界变差函数，则下面不成立的是() (A) f(x)在 a,b上有界(B) f(x)在 a,b上几乎处处存在导数b( C) f (x)在 a,b上 L 可积 (D) f(x)dx f(b) f(a) a二 . 填空题 (3 分 5=15 分 )1、 (CsA CsB) (A (A B) 2、设E 是 0,1 上有理点全体，则oE=, E=, E=.3、设E 是Rn 中点集，如果对任一点集T 都， _则称E 是 L 可测的4、 f(x)可测的 条件是它可

3、以表成一列简单函数的极限函数 . (填“充分”， “必要” ， “充要” )5、 设 f(x) 为 a,b 上的有限函数，如果对于a,b 的一切分划，使 则称 , f (x) 为a,b 上的有界变差函数。三、下列命题是否成立若成立, 则证明之 ; 若不成立 , 则举反例说明 . (5 分 4=20 分 )1 、设 ER1 ，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。2、若mE 0，则 E 一定是可数集.3、若| f(x)| 是可测函数，则f(x) 必是可测函数4设f (x)在可测集E 上可积分，若x E, f(x) 0，则E f (x) 0( 8 分 2=16 分) .x2 x为无理数1、( 8分

4、)设 f(x) x , x为无理数， 则 f(x) 在 0,1 上是否 R1,x为有理数可积，是否L 可积，若可积，求出积分值。2、 ( 8分)求lim ln(x n)e x cosxdxn0 n五、证明题( 6 分4+10=34分).1、 ( 6分)证明0,1 上的全体无理数作成的集其势为c.2、 ( 6分) 设 f(x)是 , 上的实值连续函数，则对于任意常数 a, E x| f (x) a 是闭集。3、 ( 6 分)在 a,b 上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。4、 ( 6分)设 mE , f(x)在 E上可积，en E(| f | n)，则lim n men 0

5、. n5、 ( 10分)设f (x) 是 E 上 a.e.有限的函数，若对任意0，存在闭子集F E ，使 f (x)在 F 上连续，且m(E F )，证明：f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理试卷一(参考答案及评分标准)1、 1.C 2 D 3.B 4. A5. D2、 12 、0,1 ；0,1 3 、m*T m*(TE) m*(T CE)n4、充要5 、| f(xi ) f(xi 1) | 成一有界数集。i13、 1 错误 2 分例如： 设 E 是 0,1 上有理点全体，则 E 和 CE都在 0,1 中稠密 5 分2 错误 2 分例如： 设 E 是 Cantor 集， 则 mE 0，

6、 但 E c ， 故其为不可数集5分3错误例如：设E 是 a,b 上的不可测集，x,x E;f (x)x,x a, b E;则 | f(x)| 是 a,b 上的可测函数，但 f(x) 不是 a,b 上的可测函数4错误mE 0时，对E上任意的实函数f ( x)都有f(x)dx 0E4、 1 f(x)在 0,1 上不是 R 可积的， 因为 f(x) 仅在 x 1 处连续， 即不连续点为正测度集.3 分因为 f(x)是有界可测函数， f (x) 在 0,1 上是 L 可积的6分11因为 f (x) 与 x a.e. 相等，进一步，f (x)dx x dx 80,103分2解：设fn (x) ln(

7、x n) e x cos x，则易知当n 时，nfn(x)02 分又因 lnt 1 l2nt 0， (t 3)，所以当n 3,x 0时，t t(1 x) 4 分 n n x n n 333.从而使得| fn(x) | n 3(1 x)e x 6 分ln(x n) n x ln(x n) n x ln3 ln3Q B M (B M ), E A B A M (B M ), 且 (A M) (B M) ,M (B M) ,.5 分E : B, B c. 6 分2x E ,则存在E中的互异点列xn, 使 lim xn x.2n分Q xnE, f (xn ) a .3 分Q f (x)在 x点连续，f

8、 (x) lnim f(xn) ax E 5 分E是闭集. .6 分对 1 ，0 ，使对任意互不相交的有限个(ai,bi)(a,b)n当 (bi ai )时，有i1将 a,b m等分，使nf (b)i f (ai)1i1nxi xi 1 ，对i1kzkxi，有f(zi )i1f(zi 1) 1 ，所以2分T : xi 1z0z1 Lf (x) 在 xi 1, xi 上是有界变差函数.5 分xib所以 V(f) 1,从而 V(f ) m，因此，f(x) 是 a,b上的有界xi 1a变差函数.6 分4 f (x) 在 E 上可积lim mE(| f | n) mE(| f |) 0 2 分n据积分

9、的绝对连续性，0,0, e E,me ，有| f (x) |dx .4 分e对上述0, k, n k,mE(| f | n)，从而n men| f (x) | dx ， 即 lim n men 0 6 分enn15 n N, 存在闭集FnE,m E Fn, f (x) 在 Fn连2n续2 分令 F UI Fn， 则 x F k,xFn, n k,x Fnf (x)nkk 1n k在 F 连续4 分又对任意k, m E F mE ( Fn) m (E Fn)nknk1m(E Fn)k .6 分nk2故 m(E F) 0, f(x)在 F E 连续.8 分又 m(E F) 0, 所以 f(x) 是

10、 E F 上的可测函数，从而是E上的可测函数.10 分实变函数试卷二一 . 单项选择题( 3 分 5=15分)1设 M , N 是两集合，则M (M N )=()(A) M (B) N (C) M N (D)2. 下列说法不正确的是()(A) P0的任一领域内都有E 中无穷多个点，则P0是 E的聚点(B) P0的任一领域内至少有一个E中异于P0的点，则P0是E的聚点(C) 存在 E中点列Pn ，使PnP0，则P0是 E的聚点(D) 内点必是聚点3. 下列断言 ( ) 是正确的。( A)任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集；(C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；4. 下

11、列断言中( ) 是错误的。( A)零测集是可测集；( B)可数个零测集的并是零测集；( C) 任意个零测集的并是零测集；( D)零测集的任意子集是可测集；5. 若 f (x)是可测函数，则下列断言()是正确的(A) f (x) 在 a,b L 可积 | f (x)|在 a,b L 可积；(B) f (x)在a,b R 可积 | f(x)|在 a,b R 可积(C) f(x)在a,b L 可积 | f(x)| 在 a,b R 可积 ;(D) f (x)在a, R 广义可积f (x)在 a,+ L 可积二 . 填空题 (3 分 5=15分 )111、设An ,2, n 1,2,L ，则 lim A

12、n 。nnno2、 设P 为 Cantor 集， 则 P ， mP ， P =。3、设Si 是一列可测集，则mSi mSi1 i1ii1 i4、鲁津定理：5、设F (x) 为 a,b 上的有限函数，如果则称 F (x) 为 a, b 上的绝对连续函数。三 . 下列命题是否成立若成立, 则证明之; 若不成立 , 则说明原因或举出反例. (5 分 4=20 分 )1、 由于 0,10,10,1 ， 故不存在使0,1 和0，1 之间 1 1 对应的映射。2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。3、 a.e.收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是有界变差函数。四 . 解答题 (8 分 2=16分

13、)x, x为无理数1、设f (x)，则 f (x) 在 0,1 上是否 R 可积，1,x为有理数是否 L 可积，若可积，求出积分值。2、求极限1 nx 3lim 2 2 sin nxdx .n 01 n2x2五 . 证明题 (6 分 3+ 8 2 =34 分 )1 .(6 分 ) 1、设 f(x) 是 (,)上的实值连续函数，则对任意常数 c ，E x | f(x) c 是一开集.n| F(bi) F(ai)|i12 .(6 分 ) 设 0, 开集 G E,使 m*(G E) ，则 E是可测1错误 记 (0,1)中有理数全体集。3 . ( 6 分) 在 a, b 上的任一有界变差函数f (x)

14、 都可以表示为(0) r1(1) r2R r1,r2,L 1 2(rn) rn 2,n 1,2L(x) x,x为 0， 1中无理数，两个增函数之差。4 .( 8分) 设函数列fn(x) (n 1,2,L )在有界集E上 “基本上”显然 是 0，到(10，1)上的 11映射 。一致收敛于f(x)，证明：fn(x)a.e.收敛于 f(x)。5分E 0 ， 所以，5分5 . ( 8 分)设 f (x) 在 E a,b 上可积，则对任何0，必存2 正确设Ei 为零测度集，0 m (U Ei )mi1i1b在 E上的连续函数(x)，使 | f(x) (x)|dx .am*(UEi) 0因此，i1U Ei

15、 是零测度集。 i1(答案及评分标准) 一、 1， C 2, C 3, B 4, C 5,A3错误。例如：取(0,), 作函数列：二、 1，0,2 2 ， c ； 0 ；3 ，4 ，设 f(x)是 Efn (x)1,x (0, n0,x (n,1,2,L上 a.e. 有限的可测函数，则对任意0 ，存在闭子集E E ，显然fn (x)1, 当 x01时，使得 f (x) 在 E 上是连续函数，且m(E E )。E| fn 1| (n,5，对任意0,0，使对 a,b 中互不相交的任意有限个n且 m(n, ) 这说明fn(x)不测度收敛到1.5分开区间ai ,bi ,i 1,2, L , n, 只要

16、bi ai，就有i1xcos 0 x 14 错误 2 分例如： f (x) xcos2x ,0 x 1,显然是 0,1 的 0,x 0.连续函数。如果对 0,1 取分划 T : 011 L 11 1 ， 则容易证2n 2n 13 22nn 11明|f(xi) f(xi 1) | ，从而得到V(f ) 5 分i1i1i0四、1f(x)在 0,1 上不是 R 可积的， 因为 f(x) 仅在 x 1 处连续，即不连续点为正测度集3 分因为 f (x) 是有界可测函数，所以f (x)在 0,1 上是 L 可积的.6 分11因为 f (x) 与 x a.e.相等, 进一步，f (x)dx xdx 80,

17、102分2 设 fn (x)nx2 2 sin 3 nxdx，则易知当n 时，1 nxfn(x)0 2分又 | fn(x) |nx2 2 4分1 nx但是不等式右边的函数，在0, 上是 L 可积的6 分故有 limfn(x)dxlim fn(x)dx 0 8 分n00n五、 1 x E, f (x) c .1 分Q f(x) 在 x点连续，对 f(x) c 0, U (x, ), 当y U (x, ) 时，有 f (y) f (x)3分f (x) c f (y) f (x) f (x) c f ( y) c ， y E 5 分因此 U (x, ) E ，从而 E 为开集.6 分2对任何正整数n

18、 ，由条件存在开集Gn E, 使*1m (Gn E) 1 分n令 G I Gn ，则 G 是可测集3分n1又因 m*(G E) m* (Gn E) 对一切正整数n 成立，因而nm*(G E) 0，即 M G E 是一零测度集，所以也可测 . 5 分由 E G (G E)知， E可测。6分x3、易知g(x) V(f)是 a,b 上的增函数2 分a令 h(x) g(x) f (x), 则对于 a x1 x2 b有h(x2) h(x1) g(x2) g(x1) f(x2) f (x1)x2V(f) f(x2) f(x1) | f(x2) f(x1)| f(x2) f(x1) 0 x1所以 h(x)是

19、 a,b 上的增函数4分因此 f(x) g(x) h(x)，其中 g(x) 与 h(x) 均为 a,b 上的有限增函数.6 分4、因为fn(x)在 E 上“基本上”一致收敛于 f(x) ，所以对于任意的 k Z ，存在可测集EkE ， fn(x)在 Ek上一致收敛于1f (x) ，且 m(E Ek)3 分k令E* U Ek，则fn(x)在 E*上处处收敛到f(x) 5 分k11m(E E*)m(E UEk)m(EEk)，k=1,2 Lk1k所以 m(EE*)0 8分5、证明：设enE| f | n, 由于 f(x) 在 E上 a.e. 有限，故men0,(n) .2 分由积分的绝对连续性，对任

20、何0, N ，使N meN| f (x) |dx 4 分eN4令 BNE eN ， 在 BN 上利用鲁津定理，存在闭集FNBN 和在R1上的连续函数(x) 使 ( 1) m(BN FN);( 2) x FN时，4Nf (x)(x) ，且 sup | (x) | sup | f (x) | N 6 分x R1x F N所以b| f(x) (x) |dx | f(x) (x) |dx | f (x)(x) |dxaeNBN| f(x)|dx | (x)|dx | f(x) (x)|dxeNeNBN FNN meN 2N4 N 4N 4 4 2.8 分实变函数试卷三(参考答案及评分标准)一、单项选择

21、题( 3 分 5=15 分)11、设An1 , 2 ( 1)n, n 1,2,L ，则( B )n(A) lim An 0, 1( B) lim An(0, 1nn(C) lim An (0, 3D)lim An(0, 3)2、 设 E 是 0,1 上有理点全体，则下列各式不成立的( D )o( A) E 0,1 (B) E (C)E=0， 1 (D)mE 13、下列说法不正确的是(C )(A) 若 A B， 则 m* A m* B ( B) 有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集(C) 可测集的任何子集都可测( D)凡开集、闭集皆可测4、设En是一列可测集，E1E2En，且mE1，则有(A

22、 )A)m n 1Enlim mEn (B) mEnnn1lim mEn nC)m Enn1lim mEn ; ( D)以上都不对 n5、 设 f(x) 是 a, b上绝对连续函数，则下面不成立的( B )(A) f (x) 在 a,b上的一致连续函数(B) f(x)在 a,b上处处可导(C) f(x)在 a,b上 L可积(D) f(x) 是有界 变差函数 二 . 填空题 (3 分 5=15分 )1、设集合N M ，则 M (M N) N o2、 设 P 为 Cantor 集， 则 P c ， mP _0， P=-_ 。3、设E 是 Rn 中点集，如果对任一点集T 都有_m*T m*(T E)

23、 m*(T CE) ，则称 E是 L 可测的4、叶果洛夫定理：设m(E), fn是 E上一列 a.e.收敛于个a.e.有限的函数f 的可测函数，则对任意0,存在子集E E ，使 fn 在 E 上一致收敛且m(E E )。5、 设 f (x) 在 E上可测，则 f(x)在 E上可积的充要条件是 | f (x) | 在 E 上可积 . (填“充分”， “必要” ， “充要” )三、下列命题是否成立若成立, 则证明之 ; 若不成立 , 则举反例说明 . (5 分 4=20分 )1、任意多个开集之交集仍为开集。解：不成立2 分11反例：设Gn=(1, 1),n=1,2, 每个Gn为开集nn但 Gn 1

24、,1 不是开集. 5 分n12、若mE 0，则 E一定是可数集. 解：不成立反例 : 设 E 是Cantor集，则mE 0， 但 E c ， 故其为不可数集.5 分x2 x为无理数1、 ( 8分)设 f (x) x , x为无理数， 则 f (x) 在 0,1 上是否 R0, x为有理数可积，是否L 可积，若可积，求出积分值。解： f(x) 在 0,1 上不是 R 可积的，因为f(x) 仅在 x 0处连3、a.e. 收敛的函数列必依测度收敛。解：不成立 2 分1 x (0 n例如： 取 E (0,), 作函数列：f (x), n 1,2,Ln 0,x (n,)续，即不连续点为正测度集f(x)

25、是有界可测函数，f (x) 在 0,1 上是 L 可积 6分.3 分f(x) 与x2 a.e.相等，进一步，显然 fn(x)1,当 x E。但当 01时，E| fn 1| (n,)12f (x)dx x dx0,10且 m(n, ) 这说明 fn(x)不测度收敛到1 5分4、连续函数一定是有界变差函数。解：不成立2分2、求极限limn1312nx28分解：记fn (x)221 nx3sin nxdx例如： f(x)xcos 0 x 1xcos2x ,0 x 1,显然是0,1 的连续函数。0,x 0.1111如果对 0,1 取分划 T : 0L1 ， 则容易证2n 2n 13 22nn 11明|

26、f(xi) f(xi 1) |1 ，从而得到V(f )5 分0i1i1( 8 分2=16分)12nx23sin nx122 nx则fn(x)在 0,1 上连续 , 因而在 0,1积. 又.2 分lim fn (x) 0,x 0,1 n1122nx23 nx2| fn (x) | |2 2sin nx| |2 21 nx1 nx上(R)可积和(L)可4分1x2x 0,1, n 1,2,.6 分f ( x)连续，故且12 x12 在 0, 1 上非负可积, 故由 Lebesgue控制收敛定理得lim( R) n1fn(x)dx lim0n0112nx232 2 sin nxdx nx10dx 00

27、.8分五、证明题( 6 分 4+10=34分) .1、 ( 6分)试证(0,1) 0,1证明：记(0,1)中有理数全体Q r1考,r2,L , 令(0) r1(1) r2(x)(rn) rn 2,n 1,2L(x) x, x为 0，1中无理数，显然 是0，到(10，1)上的1答1映射5分所以 (0,1) 0,16分2、 ( 6 分)设 f(x) 是 (题) 上的实值连续函数，则对任意常数 c ， E x | f(x) c是一开集不.证明 :x0E,即 f(x0)c.1 分0, x(x0 , )时，有f (x)c .4 分即(x0 )E . 所以x0 是 E 的内点.由 x0的任意性,E 的每一

28、个点都是内点, 从而 E为开集 .6分3、 ( 6 分)设 f(x) 是可测集E的非负可积函数，g(x)是 E的可测函数，且|g(x) | f (x)，则 g(x)也是 E上的可积函数。证明： Q | g(x) | f (x) ，g (x) f (x), g (x) f (x) 1 分g (x) ndx f (x) ndx f (x)dxEnEnEQ f (x) 是可测集E 的非负可积函数lim g (x) dx f (x)dxnEnEg (x) 是 E 上的可积函数. . 4 分g (x) 也是 E 上的可积函数.g (x) 是 E 上的可积函数。6 分8分lim m(E| fn f |)

29、0n010分故在 E上有 gn(x) f (x)4、 ( 6分)设 f(x)在 E上积分确定，且f(x) g(x)a.e于 E ，则 g(x)在 E上也积分确定，且f (x)dx g(x)dx证明： Q f (x) g(x)a.e于 EmEf g 0f(x)dx g(x)dx 0Ef gEf gE f(x)dx Ef g f(x)dx Ef g f (x)dxEf gg(x)dx Ef gg(x)dx Eg(x)dxQ f(x)在 E上积分确定，g(x) 在 E上也积分确定，且E f(x)dx Eg(x)dx5、 ( 10分)设在E上fn(x)f(x), 而 fn(x) gn(x) a.e.成

30、立 , n 1,2, 则有 gn (x) f(x)证明 : 记 En Efngn , 由题意知mEn0由 m( En) mEn 0知 m( En) 0 2分n1n10,由于 E|gnf |( En)E| fnf|n1mE| gn f | m(En)m(E|fnf|)m(E| fnf| )n1E上 fn(x) f(x), 故lnim m(E| f n f |) 0所以 0 lim m(E| gnf |)n于是 : lnim m(E| g n f |)实变函数试卷四(参考答案及评分标准)一 . 单项选择题( 3 分5=15分)1设P 为 Cantor 集，则 C( A) P 0(B) mP 1(C

31、) P P (D) P P2. 下列说法不正确的是( C )(A) P0的任一领域内都有E 中无穷多个点，则P0是E的聚点(B) P0的任一领域内至少有一个E中异于P0的点，则P0是 E的聚点 (C) 存在 E中点列Pn ， 使 PnP0， 则 P0是 E的聚 (D)内点必是聚点3. 设 f (x) 在 E 上 L 可积 , 则下面不成立的是( C )(A) f (x)在E上可测(B)(C) f (x)在E上有界(D)4. 设 En 是一列可测集，E1( A) m En lim mEn (B) n1nf (x) 在 E 上 . 有限f (x) 在 E 上 L 可积E2 L En L ，则有(B

32、 )mEnlim mEnn1nC) m Enlim mEn ; ( D)以上都不对n1 nnn5. 设 f (x) 为 a,b上的有界变差函数, 则下面不成立的( D )(A) f (x)在a,b上L可积(B)f(x) 在a,b上R可积(C) f(x)在a,b上 L可积(D)f(x) 在a,b上绝对连续二 .填空题(3 分5=15分)111、 设 An ,2, n 1,2,L ， 则 lim An _( 0， 2) 。nnn02、设E R, 若 E E,则 E 是 闭 集；若 E E，则 E是 开 _集；若E E ，则E 是 _完备 集 .3、设Si 是一列可测集，则mSi _ _mSii1i

33、14、鲁津定理：_设f (x) 是 E 上 a.e.有限的可测函数，则对任意 0 ，存在闭子集E E ，使得 f (x) 在 E 上是连续函数，且 m(E E )，则称 f(x)为 a,b 上的有界变差函数。5、 设 f(x) 为 a,b 上的有限函数，如果对于a,b 的一切划分，n使| f(xi) f(xi 1)| 成一有界数集，则称f(x)为 a,b 上的i1有界变差函数。三 . 下列命题是否成立若成立, 则证明之; 若不成立 , 则说明原因或举出反例. (5 分 4=20 分 )1、 A 为可数集，B 为至多可数集，则A B 是可数集 .解：成立2分因 A可数, 所以可设A=a1,a2,

34、 ,a n, ,又 B至多可数, 设 B=b1,b 2, ,b n( 当B有限时 ), 或B=b1,b2,bn, ( 当 B可数时)当B 有限时,A Bb1,b2, ,bn;a1,a2, ,an,B可数时 , A Bb1,a1,b2,a2 ,bn ;an,所以 A B 可数 .5分(注 : 可分 A B 和 A B 讨论 , 没讨论不扣分, 主要考察排序方法).2、若mE 0，则 mE 0.解：不成立.2 分反例： E为 0, 1中的全体有理点集，则有mE 0，而mE 15 分注：其余例只要正确即可。3、若| f (x) |是可测函数，则f(x)必是可测函数解：不成立. 2 分x,x E;例如

35、：设E 是 a, b 上的不可测集，f (x)x, x a,b E;则 | f(x) | 是 a,b 上的可测函数，但f(x)不是 a,b 上的可测函数5 分4设f (x)在可测集E 上可积分，若x E, f(x) 0，则解：不成立. 2分mE 0时，对E上任意的实函数f(x)都有f(x)dx 0 5 分E四 . 解答题 (8 分 2=16分 )x x为无理数1、( 8分)设 f (x)x,x为无理数， 则 f (x) 在 0,1 上是否 R1,x为有理数可积，是否L 可积，若可积，求出积分值。解： f(x) 在 0,1 上不是 R 可积的，因为f(x) 仅在 x 1 处连续，即不连续点为正测

36、度集.3 分因为 f(x) 是 0,1 上的有界可测函数，f(x) 在 0,1 上是 L 可 积的 6 分11因为 f (x) 与 x a.e. 相等，进一步，f (x)dx xdx 80,102分2、 ( 8分)求 lim ln( x n)e x cos xdx n0 n解： 设fn(x) ln( x n) e x cosx， 则易知当n 时， fn(x)0n.2 分f (x)ln(x n)n xln(x n)xnn x ln3 ln3(133x)4分又因 lnt 1 l2nt 0， (t 3)，所以当n 3,x 0时，从而使得| fn(x) | n 3(1 x)e x 6 分但是不等式右边的函数，在0, 上是 L 可积的，故有lim fn(x)dx lim fn(x)dx 0 8 分五 . 证明题 (6 分 3+ 8 2 =34 分 )1、 ( 6分) 设 f(x)是 , 上的实值连续函数，则对于任意常数 a, E x| f (x) a 是闭集。证明： x E , 则存在E中的互异点列xn, 使lim