直线的一般式方程和点的对称问题教师版

1、直线的一般式方程知识点一直线的一般式方程1假设方程Ax+ By+ C= 0表示直线，贝U A、B应满足的条件为()A . A丰0 B. B乒0C. A B乒0 D . A2+ B2乒0答案D解析 要使Ax + By+ C = 0表示直线，需A、B不同时为零(包括一个为0,另一个不为0),显然A、B项均不满足，C项中表示A与B同时不为零，也不满足，只有D项正确.2.直线(2m2 5m+ 2)x- (m2 4)y+ 5m = 0的倾斜角为45，贝U m的值为()A. - 2 B. 2 C. - 3 D. 3答案D-，一o一2m2 5m + 2，、入,解析 由碍m2-4丰0,且-奇_4-= 1,解碍

2、：m= 3或m= 2(舍去).知识点二平行、垂直问题3.直线mx+ 4y 2= 0与直线2x 5y+ n = 0垂直，垂足为(1, p),贝U n的值为()A. - 12 B. 2 C. 0 D. 10答案A解析 由两直线垂直得2m 20=0, m= 10， 将(1, p)代入10 x+ 4y- 2=0得p=- 2,将(1,一2)代入2x 5y+n = 0得2 + 10+ n= 0, n= 12.4.点P(x, y)是直线l: Ax+ By+ C = 0外一点，那么方程Ax+ By + C + (Ax0 + By+ C)=0表示()A.过点P且与l垂直的直线B.过点P且与l平行的直线C.不过点

3、P且与l垂直的直线D.不过点P且与l平行的直线答案D解析 .点P(x, y0)不在直线Ax+ By+ C = 0上，.二Ax+ By+C乒0,.直线Ax+ By+ C+ (Ax0+ By0+ C) = 0不经过点P.又直线Ax+ By + C + (Axo + Byc)+ C) = 0与直线l: Ax+ By + C= 0平行.应选D.知识点三直线一般式方程的应用5.设直线l的方程为(m2 2m 3)x+ (2m2+ m 1)y = 2m 6,根据以下条件分别确定m的值:(1) 1在x轴上的截距是3;(2)斜率是1.m2 2m 3丰0,解(1)由题意，得2m 620=- 3 ,m一2m 3由式

4、，得m乒3且m乒1.由式，得3m2 4m 15= 0,得m = 3或m= |. /. m= - 5.332m2+ m- 1丰0,(2)由题意，得m2 2m 3由式，得m乒一1且m乒.2mrr=T，2由式，得3m2 m-4 = 0,得m= 1或m=4./. m= 4.336.求分别满足以下条件的直线1的一般式方程；3(1)斜率是4,且与两坐标轴围成的二角形的面积是6;(2)经过两点A(1,0), B(m,1);(3)经过点(4, 3),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.3解(1)设直线1的方程为y= 4x+ b.令x= 0,得y= b.令y= 0,得x=- 4b, . . 1 b 4b = 6,

5、解得b =土3.323直线1的方程为y=乎x34化为一般式为3x 4y 1* 0.,-、_y 0 x1当m乒1时，直线1的方程是y； = ,1 -0 m-1即y= 7 x i)；m-1当m= 1时，直线l的方程是x= 1.综上，所求直线l的方程是x m 1y 1 = 0或x 1 = 0.3设l在x轴，y轴上的截距分别为a, b.当a乒0, b乒0时，l的方程为a+b=1.4 3,直线过(4, 3),=a b1.4 3 .一一= 1,a= 1,a= 7,又|a|= |b|,a b解得或a=比.b= 1b= 7当a= b = 0时，直线过原点且过4, 3, l的方程为y= 3x.4综上所述，直线l

6、的方程为x+ y 1 = 0或x y 7= 0或3x + 4y= 0.课堂练习：7.直线V2x+ 46y+ 1 = 0的倾斜角是A. 150 B. 30 C. 60 D. 120答案A解析 直线的斜率k=一半=一*，故其倾斜角为150 .638.直线5x 2y 10= 0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,那么有A . a = 2, b= 5 B . a = 2, b= 5C. a = 2, b= 5 D. a = 2, b= 5答案B解析 直线5x 2y 10= 0可以化为截距式方程* += 1,所以a = 2, b=9.两直线11: mxy+ n = 0和l2： nxy+ m= 0在同

7、一坐标系中，那么正确的图形可能是一5.10.直线mx + ny= 1平行于直线4x+ 3y+ 5= 0且在y轴上的截距为，贝U m、n的值3分别为A . 4和3 B. - 4和3C. 4和一3 D . 4和一3答案C解析 由题意得n乒0,于是直线可化为y=四一-. 由-+得4，n=3.11.直线a+ 2x+ 2ay 1 = 0与直线3ax- y+ 2 = 0垂直，那么实数a的值是412C. 0或一=D.一 或可32 3答案C解析 当a= 0时，两直线分别为2x 1 = 0, y+ 2 = 0,此时两直线显然垂直； 当a乒0时,. a+ 2一a + 2A.两直线的斜率分别为一2，3a,所以一a=

8、 1,解得a=一亲.应选C.二、填空题12.直线l与直线m： 3x- y-2 = 0关于x轴对称，那么这两条直线与y轴围成的三角形的面积为.3解析由题意可得直线l: 3x+ y-2 = 0,那么直线l, m与y轴答案答案B解析 化一般式为斜截式，得li: y= mx+ n, I2： y= nx+ m,可见两条直线的斜 率、截距恰好互换，所以选B.12 4围成的二角形的面积为-X 4X -=-.23 313.如果对任何实数k,直线(3 + k)x+ (1- 2k)y+ 1 + 5k= 0都过一个定点A,那么点A的坐 标是.答案 (一1,2)解析 解法一：取k= 3,方程为7y- 14= 0, y

9、= 2;取k= 0.5,方程为3.5x + 3.5 = 0, x= 1.所以点A的坐标是(一1,2);将点A的坐标代入方程得一(3 + k) + 2(1 - 2k) + 1 + 5k= 0,所以直线恒经过点A.解法二：将k当作未知数，那么方程可写成(x- 2y+ 5)k+ 3x+ y+ 1= 0.因为对于任意k值，等 式成立，所以x 2y+ 5 = 0,3x+ y+ 1 = 0,解得x= 1, y= 2,所以点A的坐标是(一1,2).14.直线l与直线3x+ 4y- 7 = 0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24,那么直线l的方程为.答案3x+ 4y2七0解析设l: 3x+ 4y+ m

10、= 0(m丰一7),令y= 0得x=堂；令x= 0得ym1m m =4. ,直线l与两坐标轴围成的二角形的面积为24, .2X -3 X - = 24,.m=24.直线l的方程为3x+ 4y2伞0.三、解答题15.求满足以下条件的直线方程.(1)经过点A(- 1, -3)，且斜率等于直线3x+ 8y- 1 = 0斜率的2倍；过点M(0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12.31解因为3x+ 8y-1= 0可化为y=一牙+g,. 3所以直线3x+ 8y1= 0的斜率为一38. 33那么所求直线的斜率k= 2X一：=-.84又直线经过点(1 , 3),. 3因此所求直线的方程为y + 3 =

11、3(x+ 1),即3x+ 4y+ 15 = 0.(2)设直线与x轴的交点为(a,0),因为点M(0,4)在y轴上，所以由题意有4 + ,a2+ 42+ |a|= 12,解得a =3所以所求直线的方程为3+y= 1或 土 +4 = 1,即4x+ 3y- 12 = 0或4x 3y+ 12= 0.16.(1)直线11: 2x+ (m+ 1)y+ 4= 0与直线12： mx+ 3y 2= 0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线11： (a+ 2)x+ (1 - a)y- 1 = 0与直线12： (a 1)x + (2a+ 3)y+ 2 =0互相垂直？解由11： 2x+ (m+ 1)y+ 4= 0,

12、12： mx + 3y 2 = 0知：1当m= 0时，显然11与12不平行.2当m乒0时，11II 12,需一=乒 .， m 3 2解得m= 2或m= 3,m的值为2或3.由题意知，直线11 12.1假设1一a= 0,即a= 1时，直线11： 3x 1 = 0与直线12: 5y+ 2= 0显然垂直.3一2右2a+ 3 = 0,即a=一时，直线11 ： x+ 5y 2 = 0与直线12： 5x 4= 0不垂直.一.，a + 2 a 13右1 a乒0,且2a+ 3乒0,那么直线11 12的斜率k1, k2都存在，k=, k2=-.1 a 2a + 3当11 12时，k1k2= 1,综上可知，当a=

13、 1或a= 1时，直线11X12.对称|可题点关于点对称17.假设直线11：y =k(x- 4)与直线12关于点(2,1)对称，那么直线12恒过定点()a+ 21-aa 12a+ 3=T,A. (0,4) B. (0,2)C. ( 2,4) D . (4, -2)答案B解析 直线li： y = k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2).又直线li： y= k(x一4)与直线12关于点(2,1)对称，故直线12恒过定点(0,2).18.点A(x,5)关于点C(1, y)的对称点是B(-2, - 3)，那么点P(x, y)到原点的距离是()A. 4 B/13C. ,1

14、5D. . 17点关于线对称19.点P(2,5)关于直线x+ y= 0的对称点的坐标是()A. (5,2) B. (2, 5)C. ( 5, 2) D . (-2, 5)答案C解析解法一：设P(2,5)和Q(m, n)关于直线y =一x对称，那么PQ的中点Rmy,咛5在直线y= x上，且kPQX(- 1) = 1.20.求点P( 4,2)关于直线l : 2x y+ 1 = 0的对称点P的坐标.解法二：设点P (x, y), PP l于M,x 2答案D解析由题意知25 3 V=x= 4,.-解得 d=寸42+ 12=寸17.=0,n 5x-1 = 1,m= 5,解得n=_ 2.*Q的坐标是(-5

15、，-2)解法设点P (x , y),由PP l及PP的中点在l上得方程组V 2I.乒1，x+ 42瑚-守 +1 = 0,x+ 2y= 0,即2x-y- 8= 0,解得8 v= 5.c， 16. . Px+ 2y= 0,.PP 的方程为(x + 4) + 2(y- 2) = 0，即x+ 2y= 0, z.解方程组2x- y+ 1 = 0,距离最短问题21.A(1,6), B(5,2)，点P在x轴上，那么使|AP|+ |BP|取得最小值时点P的坐标为 .答案(4.0)解析A(1,6)关于x轴的对称点为A (1, -6)，那么|PA|= |PA |,当P点为A B与x轴的交点时，|PA|+ |PB|

16、取得最小值，又A B的方程为另|，即2x- v 8= 0,令y= 0,得x= 4, .(4,0).22.某地A, B两村在一直角坐标系下的位置分别为A(1,2), B(4,0),一条河所在直线的方程为l: x+ 2y 10= 0.假设在河边l上建一座供水站P,使分别到A, B两镇的管道之和最省，问供水站P应建在什么地方？解如图，作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于P,因为假设P(异于P)在直 线l上，那么：AP |+|BP |=|A P |+|BP |A B|,因此供水站只能建在P处，才能使 得所用管道最省.设A (a, b),贝U AA的中点在l上，A (3,6).所以直线A B的方程为6x+ v 24= 0.故P165，的交点M2 5 54 + x21.-7 ,由中点坐标公式得5Ml,2516x=亨8 v= 5.且AA l,即吐1+2 X心一10=0,22b 2a- 11/2= 1.解之得反射问题23.如下图，A(4,0), B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线解析 由题意知，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(- 2,0),那么 光线所经过的路程为|CD|=2而.应选A.最值问题24.M(1,0), N( 1,0)，点P为直线2x- y- 1 = 0上的动点,