从函角度看某些方程、不等式的解(安庆怀宁).

1、从函角度看某些方程、不等式的解(安 庆怀宁)2008-01-20从函角度看某些方程、不等式的解(安庆怀宇)许季龙3月20日中学数学里的 方程、不等式与函数间的联系是双向的：一方面函数的整体性认识要得到议 程、不等式以指导。但就目前教材的安排以及其中的例题与习题的配备来看， 这后一方面的联系，显得不足。下面就本人对高一教材所做过的补充和延伸， 举例谈谈关于某些方程、不等式的解，可以从六个方面考虑。一从函数定义域考虑例 1 解方程(x2+2x-3) 1/2+ (x+3) 1/2-(1-x) l/2=x+l解 设 f (x)=) (x2+2x-3) 1/2+(x+3) 1/2-(1-x) 1/2,则

2、 f (x)的定义域取决于下面不等式组的解：二从函数值域考虑例2解方程(x2-2x+5)1/2+ (x6-2x+10) 1/2= 4-2x2+x4.解 设 f(x)=(x2-2x+5)1/2+ (x6-2x+10) 1/2g(x)= 4-2x2+x4因为 f (x) = (x-1)2+4) 1/2+ (x3-l) 2+9)11/25；g(x)= 5- (x2-l) 2+x4W5。仅当x-l=x3-l=x2-l=O时,f (x)= + g(x),从而推出原方程的解为x=L例3解方x+l/x=sinx+31/33cosx.解令=x+1/x,g(x)=sinx+31/3cosx 易证：| f (x)

3、 |= I x+l/x| = |x|+1/|x| 22;g(x) 1 = 1 2sina(x+/31 W2但是当|f(±l)l=2时,但是当I g (±1) W2时.所以原方程没有解.三结合函数定义域、值域考虑例4解方程(3x2-10x+8)l/2+ (2x2-x-6) l/2=2x-4解 令 f(x)二(3x2-10x+8)1/2+ (2x2-x-6) 1/2,g(x)= 2x-4.Vf (x) 0, .*.g(x)= 2x-420.于是 x力2.乂 3x2-10x+8=(x-2) (3x-4) NO;2x2-x-6= (x-2) (2x+3) 20所以，f(x)、g(x

4、)的定义域是x22。在此条件下原方程乂可化为：(x-2) l/2(3x-4) l/2+(2x+3) 1/2=2(x-2) 2 1/2.它的解为下列方二程之礼x-2=0；(1)(3x-4)l/2+(2x+3)1/2=2(x-2)1/2(2)解(1)得x=2；而(2)没有解，事实上，将(2)式移项得(3x-4) 1/2-(x-2) 1/2= (x-2) l/2-(2x+3) 1/2,再采用分子有理化的方法，得到(2x-2)/(3x-4)1/2+(x-2)l/2=-(x+5)/(x-2)l/2+(2x+3)1/2当x22时，上式左边函数值为正，右边的函数值为负。得出矛盾。经检验原方程仅有一解卡2。四结合函数性质考虑例 5 解方程(2x+7) 1/2- (2-x) 1/2= (5-x) 1/2解 设 f(x)=(2x+7) 1/2； g(x) = (5-x)l/2-(2-x)l/2.在它们共同的定义域里，f(x)严格递增，g(x)严格递减且原方程与方程f(x)=- g(x)同 解.显然 f (l)=g(l),并且 x>/时，时,f (x) >f (l)=g(l)>g(x);X<1时,f(x)这就是说f (x)=g(x)仅有一解'x=l.例 6 解不等式 1-(1-4x2) l/2/x<3.解 设不等式左边为f(x),不难确定其定义域是-