决策理论与方法之多属性决策

1、 第九章第九章 多属性决策多属性决策 决策理论与方法决策理论与方法 第九章第九章 多属性决策多属性决策 第二节第二节 确定权的常用方法确定权的常用方法 第三节第三节 加权和法加权和法 第五节第五节 TOPSIS法法 ?第二节第二节 确定权的常用方法确定权的常用方法 一、权的概念一、权的概念二、常用的确定各属性权的方法二、常用的确定各属性权的方法三、最底层目标权重的计算三、最底层目标权重的计算 （一）最小二乘法（一）最小二乘法 （二）本征向量法（二）本征向量法 ? ?简单回顾简单回顾 ?目标间不可公度：各目标没有统一的衡量标准目标间不可公度：各目标没有统一的衡量标准或计量单位，因而难以进行比较。

2、或计量单位，因而难以进行比较。 ?目标间的矛盾性：如果采用一种方案去改进某目标间的矛盾性：如果采用一种方案去改进某一目标的值，很可能会使另一目标的值变坏。一目标的值，很可能会使另一目标的值变坏。 为什么要引入权？为什么要引入权？ ?多目标决策问题的特点也是求解的难点在于目多目标决策问题的特点也是求解的难点在于目标间的矛盾性和各目标的属性值不可公度，求标间的矛盾性和各目标的属性值不可公度，求解多属性决策问题同样需要解决这两个难点。解多属性决策问题同样需要解决这两个难点。其中不可公度性可通过其中不可公度性可通过 属性矩阵的规范化属性矩阵的规范化得到得到部分解决部分解决, 但这些规范化方法无法反映目

3、标的但这些规范化方法无法反映目标的重要性。重要性。因此，引入权的概念，以衡量目标的因此，引入权的概念，以衡量目标的重要性。重要性。 ?属性矩阵的规范化：属性矩阵的规范化：理。主要有理。主要有6种方法，即线性变换、标准种方法，即线性变换、标准就是对决策数据进行预处就是对决策数据进行预处0-1变变换、最优值为给定区间时的变换、向量规范法、换、最优值为给定区间时的变换、向量规范法、原始数据的统计处理、专家打分数据的预处理。原始数据的统计处理、专家打分数据的预处理。 为什么要引入权？为什么要引入权？ 一、权的概念一、权的概念 ?权是目标重要性的度量权是目标重要性的度量 , 即衡量目标重要性的即衡量目标

4、重要性的手段。手段。 权这一概念包含并反映下列几重因素：权这一概念包含并反映下列几重因素： 决策人对目标的重视程度决策人对目标的重视程度 各目标属性值的差异程度各目标属性值的差异程度 各目标属性值的可靠程度各目标属性值的可靠程度 ?权应当综合反映三种因素的作用，而且通过权，权应当综合反映三种因素的作用，而且通过权，可以通过各种方法将多目标决策问题化为单目可以通过各种方法将多目标决策问题化为单目标问题求解。标问题求解。 一、权的概念一、权的概念 ?如前所述，权是目标重要性的如前所述，权是目标重要性的数量化数量化表示；但在目标表示；但在目标 较多时，决策人往往难于直接确定每个目标的权重。较多时，决

5、策人往往难于直接确定每个目标的权重。 因此，通常的做法是让决策人首先把各目标作因此，通常的做法是让决策人首先把各目标作成对比成对比 较较，这种比较可能不准确，也可能不一致。，这种比较可能不准确，也可能不一致。 例如，决例如，决 策人虽然认为第一个目标的重要性是第二个目标重要策人虽然认为第一个目标的重要性是第二个目标重要 性的性的 3 倍，第二个目标的重要性是第三个目标重要性倍，第二个目标的重要性是第三个目标重要性 的的 2 倍，但他并不认为第一个目标的重要性是第三个倍，但他并不认为第一个目标的重要性是第三个 目标重要性的目标重要性的 6 倍。倍。 ?因此，需要用一定的方法把目标间的成对比较结果

6、聚因此，需要用一定的方法把目标间的成对比较结果聚 合起来确定一组权，常用的有合起来确定一组权，常用的有法法。 最小二乘法、本征向量最小二乘法、本征向量 二、常用的确定各属性权的方法二、常用的确定各属性权的方法 最小二乘法最小二乘法 ?首先由决策人把目标的重要性作成对比较，设有首先由决策人把目标的重要性作成对比较，设有 n 个目标，则需比较个目标，则需比较C 2?1n?次。把第次。把第 个目标对第个目标对第 n2?n?1?i j个目标的相对重要性记为个目标的相对重要性记为 a，并认为，这就是属性，并认为，这就是属性 ij i的权的权 ?i和属性和属性 j的权的权 ?之比的近似值之比的近似值 ai

7、j?i?j，n j 个目标成对比较的结果为矩阵个目标成对比较的结果为矩阵A。 ? ?a?11a12?a1?1? A?aa?an?11 21 2?n?2122 ?2?n?2 1222?an 1an2?a?nn?n?1?n?2?n?n?（9.8）? 二、常用的确定各属性权的方法二、常用的确定各属性权的方法 最小二乘法最小二乘法 ?若决策人能够若决策人能够准确准确估计估计 aij?i, j?J? aij?1ajia ij?i?jaij?aik?akj?i, j,k?J? aii?1n且且 ?n?i ai?1ij?ni?1j当 ? 1时?1ij?i?1?naiji? 1 （9.9）（9.10）（9.1

8、1），则有：，则有： 二、常用的确定各属性权的方法二、常用的确定各属性权的方法 最小二乘法最小二乘法 ?若决策人对若决策人对 aij的估计的估计不准确不准确，则上列各式中，则上列各式中的等号应为近似号。这时可用最小二乘法求的等号应为近似号。这时可用最小二乘法求w 即解：即解： nn min? ?a2?ij?j?i?（9.12） i?1 j?1? 受约束于：受约束于： ?n ?i?1 i?1?i?0?i?1 ,2 ,?,n?二、常用的确定各属性权的方法二、常用的确定各属性权的方法 最小二乘法最小二乘法 ?用拉格朗日乘法解这一有约束纯量优化问题，则拉格朗日函数为用拉格朗日乘法解这一有约束纯量优化问

9、题，则拉格朗日函数为 ?nn L?a?2?ijj?i?2?i?1? ?i?1 j?1?i? L对对 ?ll?1 ,2 ,? ,n求偏导数，并令其为求偏导数，并令其为0，得，得 n个代数方程：个代数方程：? n?n ail?l?iail?alj?j?l?0 ,l?1 ,2 ,?,ni ?1j?1（9.13） ?n由式（由式（9.13）及）及 ?i? 1共共 n?1个方程，其中有个方程，其中有? 1,?2,?,?n i?1及及 ?共共 n?1个变量，因此可以求得个变量，因此可以求得 w? ?T1,2,?,?n? 二、常用的确定各属性权的方法二、常用的确定各属性权的方法 最小二乘法最小二乘法 ?L?

10、i?1 j?1式式9.13的推导：的推导： nna?ijji ?2 找出含找出含? 的项：的项： li ?2?i?对对? ?l?1 ,2 ,?,n?求偏导求偏导 ?i?1 ?l?l, j?l时，L1?j?1 ,j?l?a?ljnilnj?l?22i?l, j?l时，L2?all?l?l?i?l, j?l时，L3?li?1 ,i?l?a?i2Ll?L1?L2?L3?2?l?j?l,j?1?a?ljnj?l,j?1nj?l?all?l?l?22i?l,i?1?a?2?2illini?l,i?1nnlLl?n?2?a?ljljjj?l?1?2?all?l?l?all?1?2?a?ailliiilil

11、?2?0j?l,j?1n?a?ljj?l?1?all?l?l?1?i?l,i?1?a?aill?all?l?l?all?0?a?j?1?l?a?0illii?1n二、常用的确定各属性权的方法二、常用的确定各属性权的方法 本征向量法本征向量法 ?由式（由式（9.8），得），得 ? ?1?1? ? ?1? ?1 21 2?Aw?1? ?2?12?2?2?n?2 ? ?n?2? ? ? ?1?nn?2?n?n? ?nn?即即 ?A?nI?w? 0式中式中 I 是单位矩阵，如果目标重要性判断矩阵是单位矩阵，如果目标重要性判断矩阵A中的值估计准确，中的值估计准确， 上式严格等于上式严格等于 0( n维维

12、 0 向量向量)，如果，如果A的估计不够准确，则的估计不够准确，则的小的摄动意味着的小的摄动意味着 ?本征值本征值的小的摄动，从而有的小的摄动，从而有 Aw?A中元素中元素 A 的最大本征值。由（的最大本征值。由（9.14）式可以求得本征向量即）式可以求得本征向量即maxw（9.14）权向量权向量max是矩阵是矩阵w ?T1,?2,?,?n?这种方法称为本征向量法。这种方法称为本征向量法。 二、常用的确定各属性权的方法二、常用的确定各属性权的方法 本征向量法本征向量法 ?与最小二乘法类似，使用这种方法同样需要求得矩阵与最小二乘法类似，使用这种方法同样需要求得矩阵 A，为了便于比较第，为了便于比

13、较第 i 个目标对第个目标对第 j 个目标的相对重要个目标的相对重要性，即给出性，即给出 aij的值，的值，Saaty根据一般人的认知习惯和根据一般人的认知习惯和判断能力给出了属性间相对重要性等级表，见表判断能力给出了属性间相对重要性等级表，见表 9.9，利用该表取利用该表取aij 的值，方法虽粗略，但有一定的实用价的值，方法虽粗略，但有一定的实用价值。值。 二、常用的确定各属性权的方法二、常用的确定各属性权的方法 本征向量法本征向量法 ?在用该法确定权时，可以用在用该法确定权时，可以用? max?n来度量来度量 A 中各元素中各元素 aij的估计的一致性。为此引入一致性指标的估计的一致性。为

14、此引入一致性指标CI： ?max?n（9.15） CI? n?1CI与与表与与表 9.10 所给同阶矩阵的随机指标所给同阶矩阵的随机指标 RI之比称为一致之比称为一致 性比率性比率 CR，即，即 CR=CI/RI （9.16） ?比率比率 CR可用来判定矩阵可用来判定矩阵 A 能否被接受。能否被接受。 若若 CR0.1，说明说明 A 中各元素的估计一致性太差中各元素的估计一致性太差,应重新估计。若应重新估计。若 CR0.1，则可认为，则可认为 A 中各元素的估计基本一致中各元素的估计基本一致,这时可以这时可以用用(9.14)式求得式求得w ,作为作为 n 个目标的权。个目标的权。 二、常用的确

15、定各属性权的方法二、常用的确定各属性权的方法 本征向量法本征向量法 ?由由 CR=0.1 和表和表 9.10 中的中的 RI值值,用式用式(9.15)和式和式(9.16)可以求得与可以求得与 n 相应的临界本征值：相应的临界本征值： ? max?CI?n?1?n?CR?RI?n?1?n?0 .1?RI?n?1?n 由上式算得的由上式算得的? 见表见表 9.10。一旦从矩阵。一旦从矩阵 A 求得求得max?max，说明决策人所给出的矩阵，说明决策人所给出的矩阵 A最大本征值最大本征值 max大于大于中各元素中各元素a ij的一致性太差，不能通过一致性检验，需的一致性太差，不能通过一致性检验，需a

16、要决策人仔细斟酌，调整矩阵要决策人仔细斟酌，调整矩阵 A 中元素中元素 ij的值后重新的值后重新?计算计算? ，直到，直到 小于小于 为止。为止。 ?maxmaxmax 三、最底层目标权重的计算三、最底层目标权重的计算 ?比较复杂的多属性决策问题的目标往往具有层次结构。比较复杂的多属性决策问题的目标往往具有层次结构。根据不同层次的目标间的关系，可以把多层次的目标根据不同层次的目标间的关系，可以把多层次的目标体系分成两类。一种是树状结构，如图体系分成两类。一种是树状结构，如图 9.2(a)所示，所示，另一种是网状结构，如图另一种是网状结构，如图 9.2(b)所示。所示。 下面分别介绍这两种结构的

17、最低层权重的设定方法。下面分别介绍这两种结构的最低层权重的设定方法。 三、最底层目标权重计算三、最底层目标权重计算树状结构树状结构 ?对于树状结构的目标体系，只要自上而下，即由树干对于树状结构的目标体系，只要自上而下，即由树干 向树梢，求树杈各枝相对于树杈的权，如图向树梢，求树杈各枝相对于树杈的权，如图 9.2(a)所示所示 的系统，首先用第二分节介绍的方法确定第二层中的三的系统，首先用第二分节介绍的方法确定第二层中的三 个目标个目标 B 、C 、D 相对总目标相对总目标 A 的权的权? ?1,?2,?3?且使且使 ? 1?2?3? 1；其次确定与第二层各目标相关联的第三层；其次确定与第二层各

18、目标相关联的第三层目标的权，共三组，使目标的权，共三组，使 ?j?ij?1?i ?1 ,2 ,3?直到最低层目标直到最低层目标 相对上一层次目标的各组权全部设定为止。相对上一层次目标的各组权全部设定为止。 ?在求出上述各组权后，只要将上一层次目标的权与该在求出上述各组权后，只要将上一层次目标的权与该 目标相关的下一层目标的权相乘即得下一层目标关于总目标相关的下一层目标的权相乘即得下一层目标关于总 目标的权。例如目标目标的权。例如目标 H 关于总目标的权关于总目标的权 ?H?2?21， 这样依次进行即可获得最低层各目标相对于总目标的权。这样依次进行即可获得最低层各目标相对于总目标的权。 三、最底

19、层目标权重计算三、最底层目标权重计算网状结构网状结构 ?对网状结构目标体系，可用下述递推方法求最对网状结构目标体系，可用下述递推方法求最低层次各目标的权。低层次各目标的权。 ?设多目标决策问题的目标共有设多目标决策问题的目标共有 k+1 级，其中级，其中第第 k-1、 k 和和 k+1 级如图级如图 9.3 所示，所示， 造一个造一个 “第第k+1 级的某个元素级的某个元素x我们构我们构 z 的优先函数的优先函数”i对对 k-1 级的级的某个元素某个元素k+1 级中各元素级中各元素x x ,? ,x ,（优先函数表示第（优先函数表示第? ,x 1,对第对第1 级中的元素级中的元素2is k-?

20、 z 的相对的重要即优先性），我的相对的重要即优先性），我们将此函数记作们将此函数记作 ，则，则 三、最底层目标权重计算三、最底层目标权重计算网状结构网状结构 ? ?xi? ?r?yj?xi?z?yj?,i?1 ,?,s（9.17） j?1 ?显然，这就是用显然，这就是用 yj对对z的总要性的总要性 ?zyjy yj?xi?x? ?乘以乘以 x去衡量去衡量 i对对 j的重要性的重要性 i对于对于z的优先性。的优先性。 三、最底层目标权重计算三、最底层目标权重计算网状结构网状结构 ?如果令如果令 则则 bij?ryxi?,?k?1i?xi?,?kj?z?yj（?9.18） j ?k?1?ki?b

21、ij?j,i?1 ,? ,s（9.19） j?1即即 ?k?11?b11b12?b1j?b1 r?k ?1? ?k?1?2?b21b22?b2j?b?2r?k?2? ? ? ? ? ? ? ?k?1? ?k?（9.20） ?i?bi1bi2?bij?bir?j? ? ? ?k?1?s?bs1bs2?bsj?b?sr?k?r?可以记作：可以记作： wk?1?Bkk?w（9.21） 三、最底层目标权重计算三、最底层目标权重计算网状结构网状结构 一、一般加权和法一、一般加权和法二、字典序法二、字典序法三、层次分析法（三、层次分析法（ 第三节第三节 加权和法加权和法 AHP） ? 一、一般加权和法一、

22、一般加权和法 ?加权和法的求解步骤很简单：加权和法的求解步骤很简单： 属性表规范化，得属性表规范化，得 zij,i?1 ,? ,m ; j?1 ,? ,n。 确定各指标的权系数，确定各指标的权系数，? j, j?1 ,?,n。 令令 n（ C?9.239.23）i?jzij根据指标根据指标 Cj?1i的大小排出方案的大小排出方案 i?i?1 ,?,m?的优劣。的优劣。 ?示例示例 用加权和法求解例用加权和法求解例 9.2 9.2 研究生院试评估。研究生院试评估。 为了取得经验，先选为了取得经验，先选5 5所研究生院收集有关数据资所研究生院收集有关数据资料进行了试评估。表料进行了试评估。表9.3

23、9.3中所给出的是为了介绍各种中所给出的是为了介绍各种数据预处理方法的需要而选的几种典型属性和经过调数据预处理方法的需要而选的几种典型属性和经过调整了数据。整了数据。 一、一般加权和法一、一般加权和法 n Ci?jzijj?1 ?对例对例 9.2 中的属性值表中的属性值表 9.3，其中属性，其中属性 2 用式（用式（9.5） 进行数据预处理进行数据预处理 ，其他属性用线性变换作数据预处理；，其他属性用线性变换作数据预处理； 设决策人设定各属性权重分别为设决策人设定各属性权重分别为0.2,0.3,0.4,0.1，则可得，则可得各属性的处理结果及加权和各属性的处理结果及加权和 n，如表，如表9.1

24、1-1所所示。示。 C? i?jzij j?1 一、一般加权和法一、一般加权和法 x1? x2? x4? x5? x3由上表知，方案集由上表知，方案集 X 中的各方案排序为中的各方案排序为 x5之所以能比之所以能比xx 3优，是优，是 1? x2? x4? x5? x3。而方案。而方案 x3优；若用式优；若用式(9.7)对属性对属性 1 作处作处 因为属性因为属性 1 远比方案远比方案 x3比比 x5优。优。 理，所得结果见表理，所得结果见表 9.11-2，这时方案，这时方案 ?一、一般加权和法一、一般加权和法 一、一般加权和法一、一般加权和法 ?加权和法，包括评分打点，由于其简单、明了、加权

25、和法，包括评分打点，由于其简单、明了、直观，是人们最经常使用的多目标评价方法。直观，是人们最经常使用的多目标评价方法。采用加权和法的关键在于确定指标体系并设定采用加权和法的关键在于确定指标体系并设定各最低层指标的权系数：有了指标体系就可以各最低层指标的权系数：有了指标体系就可以设法利用统计数据或专家打分给出属性值表，设法利用统计数据或专家打分给出属性值表，有了权系数，具体的计算和排序就十分简单了。有了权系数，具体的计算和排序就十分简单了。正因为此，以往的各种实际评估过程中总要把正因为此，以往的各种实际评估过程中总要把相当大的精力和时间用在确定指标体系和设定相当大的精力和时间用在确定指标体系和设

26、定权上。权上。 一、一般加权和法一、一般加权和法 ?使用加权和法意味着承认如下假设：使用加权和法意味着承认如下假设： 指标体系为树状结构，即每个下级指标只与一个上指标体系为树状结构，即每个下级指标只与一个上 级指标相关联级指标相关联 每个属性的边际价值是线性的每个属性的边际价值是线性的(优劣与属性值大小成比例优劣与属性值大小成比例)每两个每两个 属性都是相互价值独立的；属性都是相互价值独立的； 属性间的完全可补偿性：一个方案的某属性无论多差都可用其他属性间的完全可补偿性：一个方案的某属性无论多差都可用其他 属性来补偿。属性来补偿。 ?事实上，这些假设往往都不成立。事实上，这些假设往往都不成立。

27、首先首先，指标体系通常是网状，指标体系通常是网状 的，即至少有一个下级指标同时与二个或二个以上的上级指标相的，即至少有一个下级指标同时与二个或二个以上的上级指标相 关联。关联。其次其次，属性的边际价值的线性常常是局部的，甚至有最优，属性的边际价值的线性常常是局部的，甚至有最优 值为给定区间或点的情况存在，属性间的价值独立性条件也极难值为给定区间或点的情况存在，属性间的价值独立性条件也极难 满足，至少是极难验证其满足。满足，至少是极难验证其满足。至于属性间的可补偿性通常只是至于属性间的可补偿性通常只是 部分的、有条件的。部分的、有条件的。因此，使用加权和法要认识到加权和法本身因此，使用加权和法要

28、认识到加权和法本身 存在的种种局限性并采取相应的补救措施，这样加权和法才不失存在的种种局限性并采取相应的补救措施，这样加权和法才不失 为一种简明而有效的多目标评价方法。为一种简明而有效的多目标评价方法。 二、字典序法二、字典序法 ?字典序法是在字典序法是在 ?1?2?3?大于）时的加权和法，即某个目标大于）时的加权和法，即某个目标 ? ?n（符号（符号? ? 表示远远表示远远1特别重要特别重要,它与重要性处于它与重要性处于第二位的目标相比重要得多，重要性处于第二位的目标又比重要第二位的目标相比重要得多，重要性处于第二位的目标又比重要性处于第三位的目标重要得多性处于第三位的目标重要得多。 ?实质

29、上，字典序法是单目标决策实质上，字典序法是单目标决策, 首先只根据最重要目标的属性首先只根据最重要目标的属性值的优劣来判断方案集值的优劣来判断方案集X 中各方案的优劣；只有当两个或多个方中各方案的优劣；只有当两个或多个方案的最重要目标的属性值相同时，再比较它们的第二重要的目标案的最重要目标的属性值相同时，再比较它们的第二重要的目标的属性值；如此继续，直到排定所有方案的优劣次序为止。的属性值；如此继续，直到排定所有方案的优劣次序为止。 ?这种决策方法虽然看起来并无道理，但是它与实际生活中某些人这种决策方法虽然看起来并无道理，但是它与实际生活中某些人的决策方式很接近，因为有些人倾向于在最重要的目标

30、得到满足的决策方式很接近，因为有些人倾向于在最重要的目标得到满足之后再去考虑重要性较差的目标。例如许多家庭主妇在选购家用之后再去考虑重要性较差的目标。例如许多家庭主妇在选购家用电器时用的就是字典序法。电器时用的就是字典序法。 ?显然，这种方法不适于重大问题的决策。显然，这种方法不适于重大问题的决策。 二、字典序法二、字典序法 ?例例 属性属性 不粘性不粘性 价格价格 重量重量 方案方案 （权重）（权重） （0.6） （0.3） （0.1） A 0.6 0.7 0.3 B 0.6 0.5 0.4 C 0.3 0.2 0.7 三、层次分析法三、层次分析法 ?层次分析法的求解步骤如下：层次分析法的求

31、解步骤如下： 第一步第一步 由决策人利用表由决策人利用表 9.9 构造矩阵构造矩阵 A。 第二步第二步 用本征向量法求用本征向量法求 和和 。 ?maxw 第三步第三步 矩阵矩阵 A 的一致性检验。若最大本征值的一致性检验。若最大本征值? 大于表大于表 9.10 中给中给 max 出的同阶矩阵相应的出的同阶矩阵相应的? max时不能通过一致性检验时不能通过一致性检验,应重新估计应重新估计 矩阵矩阵A直到直到? 小于小于 方案排序。方案排序。 ? max通过一致性检验时，求的通过一致性检验时，求的 w有效。有效。 第四步第四步max 各备选方案在各目标下属性值已知时各备选方案在各目标下属性值已知

32、时, 可以根据指标的大可以根据指标的大 小排出方案小排出方案 i ( i =1, m)的优劣。的优劣。 各备选方案在各目标下属性值难以量化时各备选方案在各目标下属性值难以量化时, 可以通过在各可以通过在各 目标下优劣的两两比较目标下优劣的两两比较(仍利用表仍利用表 9.9)求得每个目标下各方求得每个目标下各方 案的优先性（亦即权重），再计算各方案的总体优先性案的优先性（亦即权重），再计算各方案的总体优先性 （即总权重）（即总权重）, 根据总体优先性的大小排出方案的优劣。根据总体优先性的大小排出方案的优劣。 三、层次分析法三、层次分析法 ?例例 9.3 设某高校拟从三个候选人中选一人担设某高校拟

33、从三个候选人中选一人担任中层领导，候选人的优劣用六个属性去衡量，任中层领导，候选人的优劣用六个属性去衡量，这六个属性是：健康状况业务知识书面这六个属性是：健康状况业务知识书面表达能力口才道德水平和工作作风。关表达能力口才道德水平和工作作风。关于这六个属性的重要性，有关部门设定的属性于这六个属性的重要性，有关部门设定的属性重要性矩阵重要性矩阵 A 为为 三、层次分析法三、层次分析法 ? ?1?1 ? ?1?14? ?1 ?2S25j4 1112214 15113222398415 41415312?2?2?3?1?1?236?i?i620 .1685640 .18916

34、1540 .1871617200 .050110 .15016240 .2550?6?i?6 .6612i?1 111111三、层次分析法三、层次分析法 ?用本征向量法可以求得矩阵用本征向量法可以求得矩阵 A 的最大本征值的最大本征值? ?要解要解 n 次方程，当次方程，当 n?3时计算比较麻烦，可时计算比较麻烦，可max。但。但是，求是，求以用近似算法。以用近似算法。 例如例如 Saaty 给出了求给出了求? max近似值的方近似值的方法，法， 这种近似算法的精度相当高，误差在这种近似算法的精度相当高，误差在 10?3数量级。数量级。Saaty 给出的求给出的求? max的近似算法如下：的近

35、似算法如下： A 中每行元素连乘并开中每行元素连乘并开 n 次方：次方： n ?i?n?aij,i?1 ,2 ,? ,n 求权重：求权重： j?1（9.24） n ?i?i?i,i?1 ,2 ,?,ni?1（9.259.25） 三、层次分析法三、层次分析法 A中每列元素求和中每列元素求和： ?n Sj?aij, j?1 ,2 ,?,n计算计算? i?1max的值：的值： ?n ?（9.269.26） maxiSi用上述近似算法求得例用上述近似算法求得例 9.3 i?1中矩阵中矩阵 A 的的 ?max?6 .453?6 .444?小于小于 6 阶矩阵的临界值阶矩阵的临界值 ?max?6 .62

36、，可以通过一致性检，可以通过一致性检 验，这时的本征向量为验，这时的本征向量为 B2?0 .1685,0 .1891,0 .1871,0 .0501,0 .1501,0 .2550?T三、层次分析法三、层次分析法 三、层次分析法三、层次分析法 ?三阶矩阵的三阶矩阵的? =3.116max，由表，由表 9.12 可知书面表达能力可知书面表达能力和工作作风这两个属性的比较矩阵不能通过一致性检和工作作风这两个属性的比较矩阵不能通过一致性检验。由决策部门讨论后调整如下：验。由决策部门讨论后调整如下： 书面表达能力书面表达能力 工作作风工作作风 三、层次分析法三、层次分析法 ?这两个新的比较矩阵的最大本

37、征值这两个新的比较矩阵的最大本征值? max分别为分别为 3.0328 与与 3.0213，均小于，均小于 3.116，通过一致性检验。六个属性，通过一致性检验。六个属性的本征向量构成如下的决策矩阵：的本征向量构成如下的决策矩阵： 健康状况健康状况 业务知识业务知识 书面表达书面表达 口才口才 道德水平道德水平 工作作风工作作风 ?X?0 .13650 .09740 .25830 .27900 .46670 .7928 ?B3?Y?0 .62500 .33310 .10470 .64910 .46670 .1312 ?Z? ?0 .23850 .56950 .63700 .07190 .066

38、70 .0760? w?B3B2?0 .3771,0 .3148,0 .3081知，知，X 由由 应选择候选人应选择候选人X担任该职务。担任该职务。 3?T? Y ? Z一、一、二、二、三、示例三、示例第五节第五节 TOPSIS法法 TOPSIS法的求解思路法的求解思路 TOPSIS法的算法步骤法的算法步骤 ?一、一、TOPSIS法的求解思路法的求解思路 ?TOPSIS 是逼近理想解的排序方法的英文缩略。它借是逼近理想解的排序方法的英文缩略。它借助多属性问题的助多属性问题的理想解理想解和和负理想解负理想解给方案集给方案集 X 中各方中各方案排序。案排序。 ?设一个多属性决策问题备选方案集为设一个多属性决策问题备选方案集为xi X?x1,x?2,? ,xm? 衡量方案优劣的属性向量为衡量方案优劣的属性向量为 Y?y1,y2,? ,yn?；这时；这时 方案集方案集X中的每个方案中的每个方案 xi?i?1 ,?,m?的的n个属性值构成个属性值构成 的向量是的向量是 Yi?yi1,yi2,? ,yin?，它作为，它作为n维空间中的一维空间中的一 个点，能惟一地表征方案个点，能惟一地表征方