中考数学折叠问题专项突破1--正方形的折叠问题

1、中考数学折叠问题专项突破1-正方形的折叠问模块一正方形的折叠问题1、如图，将一张正方形纸片.438对折，使CD与，曲重合，得到折痕MN后展开，E为CN上一点、,将 二8E沿。E所在的直线折叠，使得点C落在折痕MV上的点尸处，连接AF, BF, 3D则下列结论中：二二山?是等边三角形：二S二E8F=2一逐；二S二,5=3ii-力形abcd :二BF1 =DFEF.其中正确的是（）A.B.D.【解析】二四边形,488 是正方形，二AB=CD=AD, ZC=ZAW=ZJZ）C=90% 二18。=：归=45。,由折卷性质：MV垂直平分41 FD=CD, BN=CN,二FDE=：CDE,二D庄=二。=9

2、0。，DEF=：DEC,二FD=E,二狂）=小正4,即二的是等边三角形，二正确；设一lB=HD=8C=4a,贝lJM=4a, BN=.lM=2a9匚二.ID尸是等边三角形，二二。4产=二,7）=二40尸=60。，E4三但4a, 止心4批2百，二FN=MN-FM=（4-2炳）a,二ta】仁EBF型 =匚邑2-炳,正确： BN 2二二1D尸的而积区=14”26=4於a?,正方形,43CZ）的面积=（4a） 2=16a2=位=里,二错误：二AF=AB, Z5JF=900-60=30, 口二AFB=ABF=75,S 正方NiABCD 164二匚。8产 =75。/5。=30,二幼=360。-90-60。

3、-75。=135。=二。尸3,二匚3石？二180。-75。-75。=30。=二。3尸，匚二BEF二二DBF, L= 匚BF=DFEF,二正确；故选 B. DF BF【小结】本题是相似形综合题目，考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三 角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识：本题综合性强，有一定难度，证明三 角形是等边三角形和证明三角形相似是解决问题的关键.2、如图，已知正方形H3CD的边长为3, E是8。上一点，BE=0。是8上一动点，将二CE。沿直线E。折叠后，点C落在点尸处，连接E4.点。从点C出发，沿线段CD向点。运动，当E4的长度最小 时，C0的

4、长为（）A. 36一3【解析】：如图所示：任Rt二ABE中，妊：=54记+/=+郃y = 2出.二BC=3,密/，二EC=3-相.由翻折的性质可知：PE=CE=3-0二AP-PEAE,二40E-PE .二当点、P、七一条直线上时，HP有最小值.二乂尸=乂尸E=2后-（3-招）=3后-3.故选，4.3、如图，正方形A3CO的边长是16,点石在边A8上，A = 3,点尸是边3c上不与点8、C重合的 一个动点，把/沿EF折叠，点8落在9处，若C03恰为等腰三角形，则OZT的长为.【分析】根据翻折的性质，可得8上的长，根据勾股定理可得CE的长，然后再根据等腰三角形的判定 进行分情况讨论【解析】需分三种

5、情况讨论：（1）若DB, = DC,则。8 = 16 （易知此时点尸在BC上且不与点。、 8重合）：若CB = CD,因为EB = EB, CB = CB1所以点E、。在&T的垂直平分线上，则 EC垂直平分T,由折登可知点尸与点。重合，不符合题意，则这种情况不成立；（3）如图，若 CB = DB,作8G_LA3与A8交于点G ,交CD于点、H .因为AB CD,所以3H_LCZX因为 CB = DB,所以 DH = LcD = 8,所以 AG = W7=8,则 GE = AG AE = 5,因为2BE = BE = 13在RfMEG中,由勾股定理求得8G = 12,所以BH =GH-BG =

6、4.在 RMDH中,由勾般定理求得。3 = 4/.综上，。夕=16或4JT【小结】本题考查折卷性质和勾股定理，本题关键在于能够对等腰三角形的情况进行分类讨论4、如图，将边长为6的正方形纸片对折，使铝与。重合，折痕为EF,展平后，再将点8折到 边CQ上，使边,18经过点折痕为GH,点8的对应点为河，点工的对应点为N(1)若，则。层(用含x的代数式表示)；(2)求折痕GH的长.【解析】(1) ZCM=x, BC=6,二设“但，则8段=冏仁6-y,故科+炉=(6-J，)2,整理得：产:-专必+3,二二EMC+二侬C=90。，二二EMD=：MHC,UZEDMZZMCH,二迎一项,二得：HC= - -x

7、2+2x,答案：-J-X+3 或-上F+2x： MC CH x HC3123(2)方法一：二四边形48为正方形，匚3=匚。=二仄90。，设 C以，由题意可得：ED=3, DM=6 - X,二EMH=：B=90,故二由1C+二屈WD=90。，二二m/C+二AffiT=90,二二EM氏二MHC,二二ED吹二MCH,-ED DM (1|i36-x_7=7Tr* 即一= ,用牟得：xi=2, X2=6,MC CH x _J_ 2 mF” 当 x=2 时，UCM=2, ZDM=4,匚在 RtZDEM 中，由勾股定理得：吆=5,二NE=MN- EN4=6 5=,二二NEG=：DEM,二2二。，二二NEG二

8、二DEM,匚鲤啦,口上解得：NG=, DE DM 3 43由翻折变换的性质，得,4G=NCA*,过点G作G/C3C,垂足为P. 510 BP=AG, GP=AB=6, 33当 x=2 时，CH=-x2+3=, ZPH=BC - HC - BP=6 - - - -=2,1233 3在 Rt 二 GW 中，GH=(g p 2 十p 口 2=, 6 2 + 2 2=2T5当A6时，则。八七6,点H和点。重合，点G和点.4重合，点M在点。处，点N在点X处.MN同样经过点E,折痕GH的长就是的长.所以,GH长为啦.方法二：有上面方法得出CM2,连接可得BMZGH,则可得二PG由二rZHGP=ZCBMAG

9、PHGP=BC , : XGFH/XBCM (SAS), :.GH=BM, ：. GH=BM=2T.ZGPH=ZC5、在正方形池CD中,(1)如图1,若点E, F分别在边8C, CD上.8尸交于点0,且二4。尸=90。.求证：(2)如图2,将正方形H3CQ折叠，使顶点乂与8边上的点M重合，折痕交于E,交8C于巴边，折叠后与3c边交于点G.若DC=5, CA42,【解析】(1)如图1，二四边形工3CQ是正方形，二AB=BC,二ABE=：BCF=90。,匚二dOF=90。，nLBAE+UOBA=9()Q,又二二用C+二。氏4=90。，匚二BAE=：CBF,rZBCF=ZABE在二和二BCF 中二

10、AB二BC, DQABEZZBCF (ASA).二AE=BF.Zbae=Zfbc(2)由折叠的性质得E尸二4M,过点F作FH二AD于H,交以于。，则二1饪=二越花 =90。，二二HAO+二,4OH=90。、二H4O+二WD=90c,匚二POF=：AOH=：AMD,又二EF二AM,二二尸OF+二。m90 二HFE十二FEH=90,匚二POF=：FEH,二二FEH二AMD,匚四边形乂38 是正方形，二4D=CD=FH=5,NAmr/FHE在:皿M 和二/TZE 中，二/AMD =/FEH,二二 ADM 二二 FHE (AAS),AD 二FH匚EFTMR/十回叼52+3 2=倔.6、如图，己知E是正

11、方形的边，上一点，点乂关于。石的对称点为尸，ZBFC=9Q求照的值. AE【解析】如图，延长EF交C8于连接CM,匚四边形.188 是正方形，二AD=DC,二4=二88=90。，二将二IDE沿直线QE对折得到二QEF,二二DFE=：DFM=90。,r)F=r)r在 Rt二。EM与 RtEDCM中，lUL uu,二Rt二。EM二及t二QO/,二MF=MC, LZMFC=ZMCF, DM 二 DM匚二MFC十二BFM=90。, EMCF+ZFBM=90, 3CAdFB=ZMBF,匚MB=MC,MF=MC=BM=a AE=EF=x:BAB吐Eg,即(2-x)斗宗=(x+t?) 2,解得:7、在数学活

12、动课中，小辉将边长为应和3的两个正方形放置在直线1上，如图1,他连结3、CF,经测量发现以0=C尸.（1）他将正方形O。”绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2,试判断.m与C尸还相等 吗？说明你的理由；（2）他将正方形OD”绕O点逆时针旋转，使点石旋转至直线1上，如图3,请你求出C尸 的长.【分析】（1）根据正方形的性质可得上O=CO, OD=OF,匚400000尸 =90。，然后求出QAOD=2COF,再利用“边角边”证明）0。和ICO尸全等，根据全等三角形对应边相等即 可得证；（2）与（1）同理求出CFLD,连接。尸交OE于G,根据正方形的对角线互相垂直平分可得。尸匚OX, DG=OG=-O

13、E,再求出4G,然后利用勾股定理列式计算即可求出, 2【解析】（1） AD=CF.理由如下：在正方形A8CO和正方形OQ石尸中，3O=CO, 00=0尸，月OC=二。O尸 =90。， 口40。+口。0。=二。0厂+LCOZ）,即UAOD=JCOFfAO = CO在CL4O。和口。0尸中， ZAOD = ZCOF , nnjOZ）JLCOF （SAS）, 口AD=CF；OD = OF（2）与（1）同理求出C产=D,如图，连。尸交OE于G, WO DFJOE, DG=OG=-OE9 2口正方形ODE尸的边长为点，口 OE=&x显=2,匚。G=OG=LoX= 1x2=1, 22匚 KG=KO+OG=

14、3+1=4,在 Rt匚40G 中，.1D=JaG2+DG2 =V42+f=Vn , UCF=AD=RI .点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（1）熟练 掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关 键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.8、在一个边长为。(单位：的正方形88中，点石、河分别是线段KC, CD上的动 点，连结OE并延长交正方形的边于点凡 过点河作肱忆。尸于H,交AD于N.(1)如图1,当点河与点C重合，求证：DF=MN；(2)如图2,假设点可从点C出发，以lo/s的速度沿8向点。运动，点石同时从点上出发

15、，以位速度沿1C向点C运动，运动时间为t (t0)；判断命题“当点尸是边,43中点时，则点河是边8的三等分点”的真假，并说明理由.匚连结HU、FN, DMA下能否为等腰三角形？若能，请写出a, t之间的关系；若不能，请说 明理由.【分析】(1)证明匚月。尸口匚。NC,即可得到。尸=MN： (2) 首先证明二4FE口匚CDE, 利用比例式求出时间t=I，进而得到。汨!。=；8,所以该命题为真命题： 若匚AA户为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论.【解析】门)证明：匚DVC+L4D尸=90, DDNC+二DCN=90。, 匚WDF=：DCN.4DAF = 4CDN = 90。在匚ADF 与

16、匚DNC 中， A。= CO, 匚.10尸匚匚DNC (ASA),匚DF=MN.ZADF = ADCN(2)解：二该命题是真命题.理由如下：当点尸是边15中点时，则=LCD 22AE AF 1 叵:AB/CD, :.QiFEsACDE, :. EC = CD = 2 , :.AE=2 EC,则乂七=33。=3 0,1 1 1匚点河为边CD的三等分点.Ap t= = a.则 CAf=lt=3 q=3 CD, y/2匚能.理由如下：生 厂易证WFKirc。石，n=EC ,即 V = ,得且尸 =CDa y/2a - j2t。-/易证口跖口匚。巨4, C =,即生=,得AZM. AF AD at a

17、a-t匚ND=CM=t, AN=DM=a-X.若匚MAF为等腰三角形，则可能有三种情形：(I)若FN=MN,则由4拜=。八夕知二E4N二匚AZbM,LAF=DM,即/L=t,得t=0,不合题意.匚此种情形不存在； aT(II)若FN=FM,由二D尸，HA三田人 匚DN=DM=MC, Qt=-a,此时点尸与点B重 2合；(in)若尸aaiw,显然此时点尸在Be边上，如下图所示:易得匚MFCn匚NMD, LFC=DM=aA；乂由二NDk二DCF,二需嘿，即喂，二9丝.竺二。=如3 口仁必此时点尸与点C重合.综上所述，当t或时，二跖它能够成为等腰三角形.【小结】本题是运动型几何综合题，考查了相似三角

18、形、全等三角形、正方形、等腰三角 形、命题证明等知识点.解题要点是：(1)明确动点的运动过程；(2)明确运动过程中，各 组成线段、三角形之间的关系；(3)运用分类讨论的数学思想，避免漏解.9、如图所示，在正方形.08中，点G是边上任意一点，DELAG,垂足为E延长QE 交48于点H 在线段月G上取点H,使得,4G=OX+HG,连接BH.求证：ZABH=ZCDE.证明：如图，在正方形438 中，3三)，匚ASG=二。4尸 =90。，CDEUAG, UU2+CEAD=90, 乂口 1+口石月。=90, 1=02, 1= 2在匚H8G 和匚。4尸中， AB = AD, UUABG3UDAF (ASA),ZABG = ZDAF= 90CAF=BG, AG=DF, UAFD=lBGA, DAG=DE+HG, AG=DE+EF,匚EF=HG, AF = BG在匚尸和匚BHG 中， ZAFD = ZBGA ,(SAS),