中考二轮-第04讲-几何综合-教案

1、知识构图第04讲几何综合学好几何图形，一定要从基本元素、图形的性质和判定，两个方面入手思考。i相似三角形对应角相等，对应边成比例.相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比 .相似三角形面积的比等于相似比的平方.2、相似三角形的判定如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.（二）全等三角形1、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应

2、角相等。全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等、面积相等。2、全等三角形的判定三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“ SS6 .两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA' .两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS' .两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS .直角三角形全等条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或 "HL'（三）特殊三角形311、直角三角形

3、:(1)勾股定理：直角三角形两直角边长的平方之和等于斜边长的平方。(2)直角三角形斜边中线性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。(四)等腰三角形1、等腰三角形的性质(1)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(也称三线合一)(2)等腰三角形的两腰相等、两底角相等。炉也典例分析例1 .如图，那BC和 GEF中，AB=DE、/ B= / DEF，添加下列哪一个条件无法证明ABCA DEF()A . AC / DF B . / A= / D C. AC=DF D. / ACB= / F【解析】C例2.如图，已知正方形 ABCD的边长为12, BE=EC,将正方形边 CD沿D

4、E折叠到DF,延长EF交AB于G,连接DG,现在有如下 4个结论:ADGA FDG; GB=2AG ;4 GDEABEF; Szbef =72在以上4个结论中，正确的有(A. 1 B. 2 C. 3 D. 4例3.如图，已知 ABC, AB=AC, / A=90° ,直角/ EPF的顶点P是BC的中点，两边PE, PF分别交AB, AC于点E、F.给出以下四个结论: AE=CF EF=AP* EPF是等腰直角三角形上述结论始终正确的有(A.B.C.D.【解析】C ,提示如图例4.如图所示、 AAOB和ACOD均为等腰直角三角形，/ AOB= / COD=90 , D在AB上.(1)求

5、证：AAOCABOD(2)若 AD=1 , BD=2 ,求 CD 的长【解析】(1)证明：. / DOB=90 - Z AOD , / AOC=90 - Z AOD/ BOD= / AOCX OC=OD , OA=OB(OC=OD在 aaoc 和 abod 中， ZAOOZBCD履二OB .AOC BOD (SAS)(2)解： AOCA BOD.AC=BD=2 , / CAO= Z DBO=45/ CAB= / CAO+ / BAO=90例5.如图，直角梯形ABCD 中，/ DAB=90 , AB/CD, AB=AD, / ABC=60 .以 AD 为边在直角梯形 ABCD外作等边三角形 AD

6、F,点E是直角梯形 ABCD内一点，且/ EAD=/ EDA=15,连接EB、EF.(1)求证：EB=EF(2)若EF=6,求才形 ABCD的面积.【解析】(1)证明：. ADF为等边三角形,AF=AD, / FAD=60 , . /DAB=90, /EAD=15, / FAE4 FAD+Z EAD=75 , / BAE=Z DAB- / EAD=75 , .Z FAE=/ BAE,又 AD=AB,AB=AF,丁柜BA5人£和43人£中，/1?植二/8出=75°:AE=AE . FAE BAE (SAS),EF=EB(2)在 FAE和4FDE中，FE=?AFE 二

7、 FElde=ae.FA® FDE (SSS,DFE=Z AFE=12X 60° =30； / DEF之 AEF=Lx 150° =75；又. / FAE=60 +15° =75；/ AEF=Z FAR又 EF=6,，AF=EF=6 AB=AD=AF=6过C作CM，AB于M ,可得CM=AD=6,. tan/ABC0BMBM=tan60,/ABC=60,63CD=AM=AB- BM=6 - 2启 . S梯形X (6 - 273) +6 X 6=36 - 6M学朝说三角形中的线段长度求值方法:(1)中考热门考点是利用相似三角形的相似比来求线段长度(2)除了

8、利用相似，还可以利用勾股定理、等腰三角形性质、三角形中位线、直角三角形斜边中线性质等。的残酷的掠夺，激起。举一反三ECF=45,过点E、F分另I作上如图，在 ABC中，/ ACB=90, AC=BC=1, E、F为线段AB上两动点，且/E与点B重合时，MHBC、AC的垂线相交于点 M,垂足分别为H、G.有以下Z论：AB之历；当点AF+BE=EFMG?MH=：,其中正确结论的个数是(A. 1 B. 2C. 3 D. 4【解析】C.2.如图， ABC中，AB=AC,延长BC至D,使CD=BC点E在边AC上，以CE,CD为邻边做平行四边形 CDFE过点C作CG/ AB交EF于点G,连接BG, DE.

9、(1) / ACB与/ GCD有怎样的数量关系？请说明理由;(2)求证： BC8 ADCE【解析】(1)解：/ ACB1 GCD理由如下：: AB=AC/ ABC=Z ACB CG/ ABABC=Z GCDACB=Z GCD(2)证明：二四边形 CDFE是平行四边形EF/ CD/ ACB=Z GEQ / EGC=Z GCD . / ACB=Z GCD/ GEC=Z EGC ,EC=GC / GCD=Z ACB/ GCB=Z ECDfGC=BC在 BCG和DCE中( ZGCEZECD ,BC8 DCEBC=DC3.如图，在四边形ABCD中，/ ABC=90 , AC=AD, M , N 分别为

10、AC, CD的中点，连接 BM, MN , BN.(1)求证：BM=MN ;(2) / BAD=60 , AC平分/ BAD, AC=2,求 BN 的长.【解析】(1)证明：在 CAD中，: M、N分别是AC CD的中点， .MN/AD, MN=yAD,在 RTAABC中， M 是 AC中点，BM=yAC, AC=ADMN=BM(2)解：. / BAD=60 , AC平分/ BAD,/ BAC=Z DAC=30 ,由(1)可知，BM=-TAC=AM=MC,/ BMC=Z BAM+Z ABM=2 / BAM=60 MN / AD,/ NMC=/ DAC=30 , ./ BMN=/BMC+/NMC

11、=9°0 ,BN2=bm2+MN2,(二)特殊的平行四边形1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形(1)菱形的性质：菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直(2)菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形四边相等的四边形2、矩形：有一个角为直角的平行四边形(1)矩形的性质：矩形的四个角都为直角矩形的对角线相等(2)矩形的判定：有一个角为直角的平行四边形对角线相等的平行四边形。有三个角为直角的四边形3、正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形。(1)正方形的性质：正方形四个角都是直角、四条边相等正方形的对角线相等且互相垂直平分(2)正方形的判定：有一组邻边相

12、等的矩形 对角线垂直的矩形 有一个角是直角的菱形对角线相等的菱形典例分析F作FG AC=FG; S FAB： S 四边形 cbfG=1: 2;/ ABC=Z ABF; AD2=FQ?AC,其中正确的结论的个数是（A. 1B. 2C. 3D. 4例2 .如图，在平行四边形ABCD中，对角线 AC BD相交于点 O, E、F是对角线 AC上的两点，给出下列四个条件：AE=CFDE=BF；/ ADE=Z CBF;/ ABE=Z CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有()A. 0个B. 1个 C. 2个 D. 3个【解析】B例 3,已知 BD 垂直平分 AC, / BCD=Z ADF, A

13、F± AC,(1)证明四边形 ABDF是平行四边形；(2)若 AF=DF=5 AD=6,求 AC 的长.【解析】(1)证明：.BD垂直平分AC,.AB=BQ AD=DCfAB=BC在 ADBA CDB中 AD=DC , ADB CDB ( SSSeb=db/ BCD=Z BAD / BCD=Z ADF/ BAD=Z ADF .AB/ FDBD±AC, AF± ACAF/ BD四边形ABDF是平行四边形(2)解：二四边形 ABDF是平行四边形，AF=DF=5. .?ABDF是菱形，AB=BD=5,AD=6,设 BE=x,贝U DE=5- x, .AB2 BE?=AD

14、2 DE2,例1.如图，CB=CA /ACB=90,点D在边BC上（与 B C不重合），四边形ADEF为正方形，过点 ，CA,交CA的延长线于点 G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:即 52 - x2=62 - ( 5 - x) 2,解得：x=-l-,24T4R AC=2AE=.5例4.在等腰梯形 ABCD中，已知AD/ BC, AB=DQ AC与BD交于点O,延长BC至U E,使CE=AD连接DE.(1)求证：BD=DE(2)若 AC± BD, AD=3, &bcd=16,求 AB 的长.【解析】(1)证明：.AD/BC, CE=AD四边形ACED是平行四边形，AC=

15、DE.四边形 ABCD是等腰梯形，AD/BC, AB=DC,AC=BD, . . BD=DE(2)解：过点 D作DU BC于点F,四边形ACED平行四边形，CE=AD=3 AC/ DE,AC± BD,BD± DE, BD=DESa bde=BD?DE :BE?DF=y(BC+CE)(BC+AD)?DF=S梯形 ABC于16,BD=4 2,BE=. /BD=8,DF=BF=EF=-BE=4,CF=EF- CE=1,，由勾股定理得 AB=CD=JC F 2制F 2 =/Tf.例 5. RtABC中，/BAC=90, D是 BC的中点,E是AD的中点，过点A作AF/ BC交BE的

16、延长线于点 F.(1)求证： AE图 DEB;(2)证明四边形 ADCF是菱形；(3)若AC=4, AB=5,求菱形 ADCF的面积.【解析】(1)证明：: AF/ BC,AFE=Z DBEE是AD的中点，AD是BC边上的中线，AE=DE BD=CDfZAFE=ZDBE在4AFE和4DBE中，J ZFSA=ZBED,ae=de. AFE DBE (AAS)(2)证明：由(1)知， AFE DBE 则 AF=DB ,. DB=DC, .1. AF=CD AF/ BC四边形ADCF是平行四边形/BAC=90, D是BC的中点，E是AD的中点.AD=DC=BC, 四边形ADCF是菱形(3)连接DF.

17、 AF/ BD, AF=BD四边形ABDF是平行四边形DF=AB=5四边形ADCF是菱形.S菱形 ADCF二AC?DF=Lx 4X5=10221 .如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与 AB, CD交于点E, F,连接BF交AC于点M,连接DE, BO.若/ COB=60 , FO=FC则下列结论:FB,OC, OM=CM;EO®ACMB;其中正确结论的个数是()A. 1 B. 2 C. 3 D. 42 .如图，在 RtABC 中，/ ACB=90 , D、四边形 EBFD是菱形；MB: OE=3: 2【解析】CE分别为AB, AC边上的中点，连接 DE,将 ADE

18、绕点E旋转180°得到 CFE连接AF, AC.(1)求证：四边形 ADCF是菱形；(2)若BC=& AC=6,求四边形 ABCF的周长.【解析】(1)证明：将 ADE绕点E旋转180°得至QCFE，AE=CE DE=EE：四边形ADCF是平行四边形，.D、E分别为AB, AC边上的中点， DE是 ABC的中位线，DE/ BC,ACB=90 ,Z AED=90 , DFXAC,，四边形ADCF是菱形；(2)解：在 RtABC 中，BC=8, AC=6,AB=10, D是AB边上的中点,AD=5,.四边形ADCF是菱形,AF=FC=AD=5，四边形ABCF的周长为8+

19、10+5+5=28G在同一直线上，且3.如图，已知四边形 ABCD和四边形DEFG为正方形，点 E在线段DC上，点A, D,AD=3, DE=1,连接 AC, CG, AE,并延长 AE 交 CG于点 H.(1)求 sinZ EAC的值.(2)求线段AH的长.【解析】(1)作EMLAC于M.四边形ABCD是正方形Z ADC=90 , AD=DC=3, Z DCA=45在 RTADE中，/ ADE=90 , AD=3, DE=11- ae=7ad2+de2=，在 RTA EMC 中，. / EMC=90 , / ECM=45 , EC=2, . EM=CM=/ ,在 RTA AEM 中，sin

20、Z EAM=-=-i= 7 0 . 他 710 5DG 二 DE(2)在 GDCA EDA 中,Ngdc=neda,DODA.GD8 EDA,/ GCD=Z EAD, GC=AEV15, / DAE+Z AED=90 , / DEA=Z CEH / DCGZ HEC=90, ./ EHC=90, AHXGC,4 agc=?AG?DC=?GC?AH, 22-'- x 4 x 3=-xah,ah=610.L 25（一）圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。（二）垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条

21、弦，并且平分这条弦所对的弧。2、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。（三）圆周角定理1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。2、推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。直径所对的圆周角是90。，90。的圆周角所对的弦是直径。3、圆内接四边形的对角互补（四）切线的性质及判定1、性质：圆的切线垂直于过切点的半径推论：经过圆心且垂直于切线的直线必过圆心；经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。2、判定：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。3、三角形的内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角

22、平分线的交点，叫做三角形的内心。（五）弧长及扇形的面积n R 1、弧长公式：l （R表小半径，n表不弧长的圆心角）180 n _21 ,一， «,2、扇形面积公式：s R2 lgR （R表小半径，n表小扇形的圆心角，l表小扇形的弧长） 3602典例分析x 爻、1 .如图，AB为。直径，已知/ DCB=20,则/ DBA为（）/卜J TA. 50°B. 20°C. 60° D, 70°【解析】D2 .如图，在扇形 AOB中/AOB=90,正方形CDEF的顶点C是虚的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形 CDEF的边长为2&时

23、,则阴影部分的面积为（）A. 2 兀4 B. 4 兀-8C. 2 兀-8 D. 4 兀4【解析】A3 .如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形EF上时，弧BC的长度等于（）7rlA. B.6【解析】C4.如图1,已知在。中，点C为劣弧AB上的中点，连接 AC并延长至交。于点E,连接AE.（1）求证：AE是。的直径；（2）如图2,连接EG。半径为5, AC长为4,求阴影部分的面积之和【解析】（1）证明：连接CB, AB, CE,点C为劣弧AB上的中点，AEF的弧D,使CD=CA连接DB并延长DBCB=CA又CD=CAAC=CD=BC/ ABC=Z BAG, / DBC之

24、 D, Rt斜边上的中线等于斜边的一半， ./ ABD=90 , . ABE=90,即弧AE的度数是180°,，AE是。的直径;(2)解：.AE是。O的直径，/ ACE=90, AE=10, AC=4,根据勾股定理得：CE=2 :,4X2/21=12.5 l 4/211 .如图，AB是。的直径，弦 CD垂直平分OB,垂足为点则扇形OBD的面积为2 .如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形 ABCO是平行四边形，OF, OC交圆O于点F,则/ BAF等于（A. 12.5B. 15C. 20°D. 22.5C£E,连接 OD、BC,若 BC=1, " S

25、 阴影=S半圆一Saace=12.5 兀一X 23.如图，在 ABC中，以AB为直径的。O分别与BC, AC相交于点D,作。O的切线交边 AC于点F.（1）求证：DF± AC;（2）若。O的半径为5, / CDF=30,求谢的长（结果保留 兀）【解析】（1）证明：连接 OD,如图所示 .DF是。O的切线，D为切点 ODXDF/ ODF=90 BD=CD, OA=OB .OD是 ABC的中位线 .OD/AC,/ CFD=Z ODF=90 ,DF±AC.(2)解：. / CDF=30由(1)得/ ODF=90/ ODB=180 / CDF / ODF=60 OB=OD ， OB

26、D是等边三角形/ BOD=60BD的长=180180初出茅庐课堂闯关1.如图, ABC内接于。O, AHLBC于点 H,若 AC=24, AH=18,。的半径 OC=13,则 AB=【解析】392BF的垂直平分线交对角线AC于点E,连接BE, FE,则2 .如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E,D两点，EC=4,4ABC的周长为23,则4ABD的周长为（）A. 13B. 15 C. 17 D. 19【解析】B3 .如图，F是正方形 ABCD的边CD上的一个动点,/EBF的度数是（）A. 45° B. 50°C. 60°D,不确定【解析】A.提示：

27、过 E作HI/BC,分另I交AB、CD于点H、I,证明RtA BHE RtAEIF,可得/ IEF+/HEB=90,再根据 BE=EF即可解题4.如图，平行四边形 ABCD中，BD± AD, / A=45 , E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DR连接EF交BD于O.(1)求证：BO=DO;(2)若EF± AB,延长EF交AD的延长线于 G,当FG=1时，求AE的长n / F【解析】(1)证明：二四边形 ABCD是平行四边形DC/ AB/ OBE=Z ODF rZ0BE=Z0DF 在 OBEA ODF 中，ZBOE=ZDOFL BE=DF.OB三AODF (AAS).B

28、O=DO.(2)解：- EF±AB, AB/ DC ./ GEA=Z GFD=90 / A=45/ G=Z A=45°.1. AE=GEBD± AD, ./ ADB=/GDO=9°0 ./ GOD=Z G=45 .DG=DO, .1. OF=FG=1,由(1)可知，OE=OF=1,GE=O®OF+FG=3AE=31 .在矩形ABCD中，AD=2AB=4, E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交 AB, BC(或它们的延长线)于点M, N,设/ AEM= (0°< “V

29、900) 给出下列四个结论： AM=CN;/ AME=/BNE;BN - AM=2 ;&emn=co s 2 Cl上述结论中正确的个数是()A. 1B. 2 C. 3 D. 4【解析】C2 .如图1, 一张矩形纸片 ABCD,其中AD=8cm, AB=6cm,先沿对角线 BD对折，点C落在点C'的位置,D与点A重合，得折痕 EN, ENBD对折，点C落在点C'的位置,BC交AD于点G.(1)求证:AG=C G;(2)如图2,再折叠一次，使点交AD于点M ,求EM的长.【解析】(1)证明：二.沿对角线A=/C', AB=C D.， GABA GC D中ZAfZC

30、zagb=zczgd 仲=C，D . GAB AGC DAG=C G;解：二点D与点A重合，得折痕EN,1. DM=4cm , AD=8cm, AB=6cm,在RtABD中，BD可70醇壮了/即EN±AD, AB±AD,EN/ AB,MN是 ABD的中位线，DN-BD=5cm,2在 RtA MND 中，MN=/T1=3 (cm),由折叠的性质可知/ NDE=Z NDC, EN/ CD, .END=Z NDC, ./ END=Z NDE,EN=EQ 设 EM=x,贝U ED=EN=xh3,由勾股定理得 ED2=EM2+DM2,即(x+3) 2=x2+42,解得x=-,即EMn

31、cm下考场直播1 .12016深圳中考】如图，已知。O的半径为2, AB为直径,CD为弦.AB与CD交于点M,将CD沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长 OA至P,使AP=OA,连接PC(1)求CD的长；(2)求证：PC是。的切线；(3)点G为嬴的中点，在PC延长线上有一动点 Q,连接QG交AB于点E.交BC于点F (F与日C不重合).问GE?GF是否为定值？如果是，求出该定值;如果不是，请说明理由.【解析】(1)解：如图，连接 OC,近沿CD翻折后，点A与圆心O重合,OM=-OA=X 2=1 , CD± OA,22 OC=2,CD=2cM=2/、( 22=» 2-1 2=

32、2 ；(2)证明： PA=OA=Z AM=OM=1 , CMCD=/5, / CMP=/OMC=90 , PC拈语鹏巾百如如孤 OC=2, PO=2+2=4,PC?+OC2= (2格)2+22=16=PO2,/ PCO=90，.二 PC是。O 的切线；(3)解：GE?GF是定值，证明如下，连接GO并延长，交。O于点H,连接HF点 G 为 ADB的中点，GOE=90, / HFG=90 ,且/ OGE=Z FGH.OG& FGH0)题图OG GE =GF GH'GE?GF=OG?GH=2< 4=8.自我挑战1 .如图，AB/ CD, BP和CP分别平分/ ABC和/ DCB

33、, AD过点 巳 且与AB垂直.若AD=8,则点P至ij BC的距离是()A. 8B. 6C. 4 D. 2【解析】C2 .如图，G, E分别是正方形 ABCD的边AB, BC的点，且 AG=CE AE± EF, AE=ER现有如下结论： BE=GE; AG-ECB / FCD=45;GB& ECH2其中，正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】BA作BC的平行线交 CE的延长线于F,3 .如图所示， ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点且AF=BD,连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB=AC,试判断四边形 AFBD的形状，并证明你的结论.【解析】(1)证明：.AF/ BC, / AFE=Z DCE， 点E为AD的中点，AE=DE，ZAFE=ZDCE Zaef=Zdec, AE=DE .AEF DEC (AAS), . AF=CQ AF=BD, .1. CD=BD, . D是BC的中点；(2)解：若AB=AC,则四边形 AFBD是矩形.理由如下: AEF DEQ 1- AF=CQ ,. AF=BD, .1. CD=BD;.AF/ BD, AF=BD, .四边