中考数学必考考点专题20矩形含解析

1、中考数学必考考点专题20矩形含解析专题20 矩形 专题知识回顾 1矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角； （2）矩形的对角线平分且相等。3矩形判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形。4矩形的面积：s矩形=长×宽=ab专题典型题考法及解析 【例题1】（2019广西桂林）将矩形按如图所示的方式折叠，为折痕，若顶点，都落在点处，且点，在同一条直线上，同时点，在另一条直线上，则的值为abcd【答案】b【解析】由折叠可得，分别为，的中点，设，则，中，即，即，的

2、值为【例题2】（2019贵州省安顺市） 如图，在rtabc中，bac90°，ab3，ac4，点d为斜边bc上的一个动点，过d分别作dmab于点m，作dnac于点n，连接mn，则线段mn的最小值为 .bdmnca【答案】【解析】连接ad，即可证明四边形amdn是矩形；由矩形amdn得出mnad，再由三角形的面积关系求出ad的最小值，即可得出结果连接ad，如图所示：bdmncadmab，dnac，amdand90°，又bac90°，四边形amdn是矩形；mnad，bac90°，ab3，ac4，bc5，当adbc时，ad最短，此时abc的面积bcadabac，

3、ad的最小值，线段mn的最小值为。 专题典型训练题 一、选择题1.（2019广东广州）如图，矩形abcd中，对角线ac的垂直平分线ef分别交bc，ad于点e，f，若be3，af5，则ac的长为（）a4b4c10d8【答案】a 【解析】连接ae，由线段垂直平分线的性质得出oaoc，aece，证明aofcoe得出afce5，得出aece5，bcbe+ce8，由勾股定理求出ab4，再由勾股定理求出ac即可连接ae，如图：ef是ac的垂直平分线，oaoc，aece，四边形abcd是矩形，b90°，adbc，oafoce，在aof和coe中，aofcoe（asa），afce5，aece5，bc

4、be+ce3+58，ab4，ac4；故选：a2.（2019贵州省铜仁市）如图为矩形abcd，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（）a360°b540°c630°d720°【答案】c【解答】一条直线将该矩形abcd分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°3（2019山东泰安）如图，矩形abcd中，ab4，ad2，e为ab的中点，f为ec上一动点，p为df中点，连接pb，则pb的最小值

5、是（）a2b4cd【答案】d 【解析】根据中位线定理可得出点点p的运动轨迹是线段p1p2，再根据垂线段最短可得当bpp1p2时，pb取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知bp1p1p2，故bp的最小值为bp1的长，由勾股定理求解即可如图：当点f与点c重合时，点p在p1处，cp1dp1，当点f与点e重合时，点p在p2处，ep2dp2，p1p2ce且p1p2ce当点f在ec上除点c、e的位置处时，有dpfp由中位线定理可知：p1pce且p1pcf点p的运动轨迹是线段p1p2，当bpp1p2时，pb取得最小值矩形abcd中，ab4，ad2，e为ab的中点，cbe、ade、bcp1为等腰直角三角

6、形，cp12adecdecp1b45°，dec90°dp2p190°dp1p245°p2p1b90°，即bp1p1p2，bp的最小值为bp1的长在等腰直角bcp1中，cp1bc2bp12pb的最小值是24.（2019湖北荆州）如图，矩形abcd的顶点a，b，c分别落在mon的边om，on上，若oaoc，要求只用无刻度的直尺作mon的平分线小明的作法如下：连接ac，bd交于点e，作射线oe，则射线oe平分mon有以下几条几何性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分，等腰三角形的“三线合一”小明的作法依据是（）abcd【答案】c【解析】四边

7、形abcd为矩形，aece，而oaoc，oe为aoc的平分线二、填空题5（2019重庆）如图，在矩形abcd中，以点a为圆心，ad长为半径画弧，交ab于点e，图中阴影部分的面积是_（结果保留）【答案】【解析】6.（2019湖南娄底）如图，要使平行四边形 abcd 是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）【答案】abc=90°或 ac=bd【解析】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形；故添加条件：abc=90°或 ac=bd 故答案为：abc=90°或 ac=bd7.（2019黑龙江省龙东地区）如图，矩形abc

8、d中，ab4，bc6，点p是矩形abcd内一动点，且spab spcd，则pcpd的最小值是_【答案】.【解析】结合已知条件，根据spab spcd可判断出点p在平行于ab，与ab的距离为2、与cd的距离为4的直线上，再根据“将军饮马问题”的解法解之即可.过点p作直线lab，作点d关于直线l的对称点d1，连接cd1，矩形abcd中，ab4，bc6，cd=4,dd1=8,在rtcdd1中，由勾股定理得cd1=，pcpd的最小值是. 8（2019内蒙古通辽）如图，在矩形abcd中，ad8，对角线ac与bd相交于点o，aebd，垂足为点e，且ae平分bac，则ab的长为 【答案】【解答】四边形abc

9、d是矩形aocobodo，ae平分baobaeeao，且aeae，aebaeo，abeaoe（asa）aoab，且aoobaoabbodo，bd2ab，ad2+ab2bd2，64+ab24ab2，ab9.（2019湖北省咸宁市）如图，先有一张矩形纸片abcd，ab4，bc8，点m，n分别在矩形的边ad，bc上，将矩形纸片沿直线mn折叠，使点c落在矩形的边ad上，记为点p，点d落在g处，连接pc，交mn于点q，连接cm下列结论：cqcd；四边形cmpn是菱形；p，a重合时，mn2；pqm的面积s的取值范围是3s5其中正确的是 （把正确结论的序号都填上）【答案】【解析】先判断出四边形cfhe是平行

10、四边形，再根据翻折的性质可得cnnp，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出正确；假设cqcd，得rtcmqcmd，进而得dcmqcmbcp30°，这个不一定成立，判断错误；点p与点a重合时，设bnx，表示出annc8x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得mn，判断出正确；当mn过d点时，求得四边形cmpn的最小面积，进而得s的最小值，当p与a重合时，s的值最大，求得最大值便可如图1，pmcn，pmnmnc，mncpnm，pmnpnm，pmpn，ncnp，pmcn，mpcn，四边形cnpm是平行四边形，cnnp，四边形cnpm是菱形，故正确；cpmn，bcp

11、mcp，mqcd90°，cpcp，若cqcd，则rtcmqcmd，dcmqcmbcp30°，这个不一定成立，故错误；点p与点a重合时，如图2，设bnx，则annc8x，在rtabn中，ab2+bn2an2，即42+x2（8x）2，解得x3，cn835，ac，mn2qn2故正确；当mn过点d时，如图3，此时，cn最短，四边形cmpn的面积最小，则s最小为s，当p点与a点重合时，cn最长，四边形cmpn的面积最大，则s最大为s，4s5，故错误故答案为：10.（2019·贵州贵阳）如图，在矩形abcd中，ab4，dca30°，点f是对角线ac上的一个动点，连接

12、df，以df为斜边作dfe30°的直角三角形def，使点e和点a位于df两侧，点f从点a到点c的运动过程中，点e的运动路径长是 【答案】【解析】e的运动路径是ee'的长；ab4，dca30°，bc，当f与a点重合时，在rtade'中，ad，dae'30°，ade'60°，de'，cde'30°，当f与c重合时，edc60°，ede'90°，dee'30°，在rtdee'中，ee'.11（2019山东潍坊）如图，在矩形abcd中，ad2将

13、a向内翻折，点a落在bc上，记为a，折痕为de若将b沿ea向内翻折，点b恰好落在de上，记为b，则ab【答案】【解析】利用矩形的性质，证明adea'dea'dc30°，ca'b'd90°，推出db'a'dca'，cdb'd，设abdcx，在rtade中，通过勾股定理可求出ab的长度四边形abcd为矩形，adccb90°，abdc，由翻折知，aeda'ed，a'bea'b'e，a'b'eba'b'd90°，aeda'ed，

14、a'eba'eb'，beb'e，aeda'eda'eb×180°60°，ade90°aed30°，a'de90°a'eb30°，adea'dea'dc30°，又ca'b'd90°，da'da'，db'a'dca'（aas），dcdb'，在rtaed中，ade30°，ad2，ae，设abdcx，则beb'exae2+ad2de2，（）2+22（x+

15、x）2，解得，x1（负值舍去），x212.（2019北京市）在矩形abcd中，m，n，p，q分别为边ab，bc，cd，da上的点（不与端点重合）对于任意矩形abcd，下面四个结论中，存在无数个四边形mnpq是平行四边形；存在无数个四边形mnpq是矩形；存在无数个四边形mnpq是菱形；至少存在一个四边形mnpq是正方形所有正确结论的序号是_【答案】【解析】如图，o为矩形abcd对角线的交点， 图中任过点o的两条线段pm，qn，则四边形mnpq是平行四边形；显然有无数个.本结论正确.图中任过点o的两条相等的线段pm，qn，则四边形mnpq是矩形；显然有无数个.本结论正确.图中任过点o的两条垂直的线

16、段pm，qn，则四边形mnpq是菱形；显然有无数个.本结论正确.图中过点o的两条相等且垂直的线段pm，qn，则四边形mnpq是正方形；显然有一个.本结论错误.故填： .13.（2019辽宁本溪）如图，bd是矩形abcd的对角线，在ba和bd上分别截取be，bf，使be=bf；分别以e，f为圆心，以大于ef的长为半径作弧，两弧在abd内交于点g，作射线bg交ad于点p，若ap=3，则点p到bd的距离为 .【答案】3.【解析】过点p作pqbd，垂足为q，根据题意可得bp平分abd.四边形abcd为矩形，a=90°，pa=pq.pa=3，pq=3，故答案为3.14（2019辽宁抚顺）在矩形

17、abcd中，ab6，ad3，e是ab边上一点，ae2，f是直线cd上一动点，将aef沿直线ef折叠，点a的对应点为点a'，当点e、a'、c三点在一条直线上时，df的长度为 【答案】1或11；【解析】在旋转过程中a有两次和e，c在一条直线上，第一次在ec线段上，第二次在ce线段的延长线上，利用平行的性质证出cfce，即可求解；如图1：将aef沿直线ef折叠，点a的对应点为点a'，aefea'f，aea'e，abcd，aefcfe，cfce，ab6，ad3，ae2，cfce6df，a'e2，be4，bc3，ec5，6df5，df1；如图2：由折叠fe

18、a'fea，abcd，cfecef，cfce，cf5，df11；故答案为1或11；三、解答题15（2019湖南怀化）已知：如图，在abcd中，aebc，cfad，e，f分别为垂足（1）求证：abecdf；（2）求证：四边形aecf是矩形【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）证明：四边形abcd是平行四边形，bd，abcd，adbc，aebc，cfad，aebaeccfdafc90°，在abe和cdf中，abecdf（aas）；（2）证明：adbc，eafaeb90°，eafaecafc90°，四边形aecf是矩形16（2019湖南郴州）如图1，矩

19、形abcd中，点e为ab边上的动点（不与a，b重合），把ade沿de翻折，点a的对应点为a1，延长ea1交直线dc于点f，再把bef折叠，使点b的对应点b1落在ef上，折痕eh交直线bc于点h（1）求证：a1deb1eh；（2）如图2，直线mn是矩形abcd的对称轴，若点a1恰好落在直线mn上，试判断def的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点g为def内一点，且dgf150°，试探究dg，eg，fg的数量关系【答案】（1）见解析；（2）def是等边三角形，理由见解析；（3）dg2+gf2ge2【解析】解：（1）证明：由折叠的性质可知：daeda1e90°，

20、ebheb1h90°，aeda1ed，behb1eh，dea1+heb190°又heb1+ehb190°，dea1ehb1，a1deb1eh；（2）结论：def是等边三角形；理由如下：直线mn是矩形abcd的对称轴，点a1是ef的中点，即a1ea1f，a1dea1df（sas），dedf，fda1eda1，又adea1de，adf90°adeeda1fda130°，edf60°，def是等边三角形；（3）dg，eg，fg的数量关系是dg2+gf2ge2，理由如下：由（2）可知def是等边三角形；将dge逆时针旋转60°到dg

21、'f位置，如解图（1），g'fge，dg'dg，gdg'60°，dgg'是等边三角形，gg'dg，dgg'60°，dgf150°，g'gf90°，g'g2+gf2g'f2，dg2+gf2ge2，17（2019湖南益阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形abcd的边ab4，bc6若不改变矩形abcd的形状和大小，当矩形顶点a在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点d始终在y轴的正半轴上随之上下移动（1）当oad30°时，求点c的坐标；（2）设ad的中点为m，连接

22、om、mc，当四边形omcd的面积为时，求oa的长；（3）当点a移动到某一位置时，点c到点o的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cosoad的值【答案】（1）（2，3+2）；（2）oa3；（3）当o、m、c三点在同一直线时，oc有最大值8，cosoad【解析】解：（1）如图1，过点c作cey轴于点e，矩形abcd中，cdad，cde+ado90°，又oad+ado90°，cdeoad30°，在rtced中，cecd2，de2，在rtoad中，oad30°，odad3，点c的坐标为（2，3+2）；（2）m为ad的中点，dm3，sdcm6，又s四边形o

23、mcd，sodm，soad9，设oax、ody，则x2+y236，xy9，x2+y22xy，即xy，将xy代入x2+y236得x218，解得x3（负值舍去），oa3；（3）oc的最大值为8，如图2，m为ad的中点，om3，cm5，ocom+cm8，当o、m、c三点在同一直线时，oc有最大值8，连接oc，则此时oc与ad的交点为m，过点o作onad，垂足为n，cdmonm90°，cmdomn，cmdomn，即，解得mn，on，anammn，在rtoan中，oa，cosoad18.（2019湖北省鄂州市）如图，矩形abcd中，ab8，ad6，点o是对角线bd的中点，过点o的直线分别交ab、cd边于点e、f（1）求证：四边形debf是平行四边形；（2）当dedf时，求ef的长【答案】见解析。【解析】根据矩形的性质得到abcd，由平行线的性质得到dfobeo，根据全等三角形的性质得