专题22,推理与证明、数系扩充与复数引入专项练习（理）（解析版）

1、专题22,推理与证明、数系扩充与复数引入专项练习（理）（解析版） 1 题 专题 22 推理与证明、数系的扩充与复数的引入专项练习 一、巩固基础知识 1已知复数ii az4 3+= ( r aÎ )的实部是257，则 a 的值为( )。 a、 3 - b、 1 - c、 1 d、 3 【答案】c 【解析】 ia a i a ai ii i aii az254 3254 325) 4 3 ( ) 4 3 () 4 3 )( 4 3 () 4 3 )( (4 3-+=- + +=- +- +=+= ， 由题意可知257254 3=+ a，解得 1 = a ，故选 c。 2若复数aiiz-=

2、213为纯实数，则实数 a 的值为( )。 a、 2 - b、 1 - c、 1 d、 2 【答案】a 【解析】由234) 2 ( ) 2 () 2 )( 2 () 2 )( 1 (2121ai a aai aiai iaiiaiiz+ + -=+ -+ +=-+=-= 为纯实数， 可得 0 2 = +a ，解得 2 - = a ，故选 a。 3在复平面内，复数2111 iiiz-+-+= 对应的点位于( )。 a、第一象限 b、第二象限 c、第三象限 d、第四象限 【答案】a 【解析】 ii i ii iiz2121212221) 1 )( 1 () 1 (2+ =-+ =-+ -+= ，

3、则 z 在复平面内对应的点为 )2121( ， ，在第一象限，故选 a。 4已知复数 z 满足 ) 2 1 ( ) 1 ( 42i z i - = - - ，则 = | | z ( )。 2 a、 1 b、 2 c、 5 d、 10 【答案】b 【解析】iiiiz2 1) 2 ( 22 1) 1 ( 42-+=- -= ， 2| 2 1 | 2 | 2| | =-+=iiz ，故选 b。 5已知 bi i a + - = + 2 5 ( r b a Î 、 )，则复数 =+=ibi az2 5( )。 a、 i 5 2+ - b、 i - c、 i d、 1 【答案】c 【解析】 b

4、i i a + - = + 2 5 且 r b a Î 、 ，则 2 - = a ， 5 = b ， iii ii iiiz = =- +- + -=+ -=99) 2 5 )( 2 5 () 2 5 )( 5 2 (2 55 2，故选 c。 6已知复数 z 满足 i iz - =1 2 ，则 = | | z ( )。 a、32 b、22 c、 2 d、 3 【答案】b 【解析】由题意可知 iii iiiz21212) 1 (212- - =× -=-= ， i z2121+ - = ，则22| | = z ，故选 b。 7新冠肺炎肆虐全，疫情波及 200 多个国家和地区；

5、一些国家宣布进入"紧急状态'，全球股市剧烈震荡新冠肺炎疫情严重挑战公共卫生安全，全面冲击世界经济运行，深刻影响.生活运转。这场全球公共卫生危机，需要国际.的通力合作，在一次国际医学学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌就座，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为( )。 a、甲丙丁戊乙 3 b、甲丁丙乙戊 c、甲乙丙丁戊 d、甲丙戊乙丁 【答案】d 【解析】戊是法国人，还会说德语，只能用法语交流， 则两侧只能是乙

6、和丙，乙旁边是丁，丙旁边是甲，故选 d。 二、扩展思维视野 8已知复数iiz-+=11，给出以下三个结论：2021z 是纯虚数： 2 | | = +i z ：在复平面内，复数 i z z × + 对应的点位于第三象限，其中正确结论的个数为( )。 a、 0 b、 1 c、 2 d、 3 【答案】d 【解析】 ii iiiiz =+ -+=-+=) 1 )( 1 () 1 (112， i i z = =2021 2021，正确， 2 | 2 | | | = = + i i z ，正确， i i i i i z z - - = × + - = × + 1 ，其在复平面

7、内对应的点位于第三象限，正确，故选 d。 9已知 yi x i 2 1 ) 6 2 ( + = + ，其中 x 、 y 是实数，则 = + | | yi x ( )。 a、21 b、23 c、210 d、 2 【答案】c 【解析】 yi xi x 2 1 6 2 + = + ， 1 2 = x ， y x 2 6 = ，则21= x ，233 = = x y ， 则210)23( )21( | |2 2= + = + yi x ，故选 c。 10若复数iiz-+=12 1( i 为虚数单位)，则 z 在复平面对应的点所在象限为( )。 a、第一象限 b、第二象限 4 c、第三象限 d、第四象限

8、 【答案】c 【解析】 ii i iz232123 12) 1 )( 2 1 (+ - =+ -=+ += ， i z2321- - = ， 则 z 点为 )2321( - - ， ，第三象限，故选 c。 11某抽奖活动：将写有"一等奖'、"二等奖'、"三等奖'、"谢谢参与'的纸条随机放在编号为 1 、 2 、 3 、 4的四个纸盒中，由顾客根据甲、乙、丙、丁四位同学的提示选择"一等奖'所在纸盒。甲说： 1 号盒中为"二等奖'， 3 号盒中为"三等奖'；乙说： 2 号盒

9、中为"二等奖'， 3 号盒中为"谢谢参与'；丙说： 4 号盒中为"二等奖'， 2 号盒中为"三等奖'；丁说： 4 号盒中是"一等奖'， 3 号盒中是"三等奖'，若甲、乙、丙、丁四人均说对了一半，则可判断一等奖所在盒的编号为( )。 a、 1 b、 2 c、 3 d、 4 【答案】d 【解析】 甲 1 号盒中为二等奖 3 号盒中为三等奖 甲 1 号盒中为二等奖 3 号盒中为三等奖 乙 2 号盒中为二等奖 3 号盒中为谢谢参与 乙 2 号盒中为二等奖 3 号盒中为谢谢参与 丙 4 号盒中为二

10、等奖 2 号盒中为三等奖 丙 4 号盒中为二等奖 2 号盒中为三等奖 丁 4 号盒中是一等奖 3 号盒中是三等奖 丁 4 号盒中是一等奖 3 号盒中是三等奖 1 号 2 号 3 号 4 号 1 号 2 号 3 号 4 号 二等奖 三等奖 谢谢参与 一等奖 冲突 12用数学归纳法证明不等式" nn<-+ × + + +1 2131211 (+În n ， 2 ³ n )'时，由 k n= ( 2 ³ k )不等式成立，推证 1 + =k n 时，左边应增加的项数是( )。 a、12- k b、 1 2 -k c、k2 d、 1 2

11、+k 【答案】c 【解析】当 k n= 时，左边1 2131211-+ × + + + =k， 5 当 1 + =k n 时，左边1 211 21211 21312111-+ × + +-+ × + + + =+ k k k k， 左边增加的项数为k k k k k2 2 2 ) 1 2 ( ) 1 2 (1 1= - = - - -+ +，故选 c。 三、提升综合素质 13设有下面四个命题： 若复数 z 满足 r z Î2，则 r zÎ ； 若复数 z 满足 02< z ，则 z 是虚数； 若复数 z 满足 rzÎ1，则 r

12、zÎ ； 若复数1z 、2z 满足 r z z Î ×2 1，则2 1z z = ； 其中是真命题的有 (填写所有真命题的编号)。 【答案】 【解析】 i z = ， r z Î - = 12， r zÏ ，则是假命题， 具体做：设 bi a z + = ( r b a Î 、 )，则 i ab b a z ) 2 (2 2 2+ - = ，则 0 = a 或 0 = b ， 当 0 = a 、 0 ¹ b 时 z 为纯虚数，当 0 = b 、 r aÎ 时 z 为纯实数， 一个数的平方小于 0 ，则这个数一定是虚

13、数，而且还是纯虚数，则是真命题， 具体做：设 bi a z + = ( r b a Î 、 )，则 0 ) 2 (2 2 2< + - = i ab b a z ，则 02 2< -b a 且 0 2 = ab ， 则 0 = a 时 02< -b 可取，则 0 = b 时 02< a 不可取， 则 0 = a ， 0 ¹ b ， bi z = ， z 为纯虚数， rzÎ1，则 rz zzÎ×，又 r z z Î × 恒成立， r zÎ ， r zÎ ，则是真命题， 具体做：设 b

14、i a z + = ( r b a Î 、 )，则 rb abi abi a bi abi abi a zÎ+-=- +-=+=2 2) )( (1 1， 则 0 ¹ a 且 0 = b ，则 r a z Î = ， 11 =z 、 22= z ， r z z Î = × 22 1，2 1z z ¹ ，则是假命题， 具体做：设 i b a z1 1 1+ = ( r b a Î1 1 、)， i b a z2 2 2+ = ( r b a Î2 2 、)， 则 r b b i b a b a a a i b a i b a z z Î × -