《应用概率统计》综合作业二

1、应用概率统计综合作业应用概率统计综合作业二一、填空题(每小题2分，共20分)1 .某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80,10与10件，现从中随机地抽取一件1 ,抽到i等品，记Xii 1,2,3,则X1，X2的联合分布律为_“入)0, 其他， 一(0.0)(0,1)(1,0)(1.1)0、10、10、8 0kxy,0 x1,0y 1,2.设二维连续型随机变量(X ,Y)的联合密度函数为f(x, y) 八 廿八其0, 其他，中k为常数，则k=8、2 . 23 .设随机变量X与Y相互独立，且XN(0,2 ),YN(1,3 )，则(X ,Y )的联合密度函数为f(y尸？*'(ln

2、y) x (lny)'=Nf2)|x=lny /y 1、3 2 x ,0 x 24.设随机变量X与Y同分布，X的密度函数为f(x) 8若事件0,其他.3 .A X a ,B Y a 相互独立，且 PAUB 一则a4A(1/3)、4 ,5.设相互独立的两个随机变量X与Y具有同一分布律，且X x01P0、50、5则随机变量 Z max(X, Y)的分布律为z=0,p=14 z=1,p=34、6 .设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0、4,则X 2的数学应用概率统计综合作业期望 E(X2)18、47 .设离散型随机变量X服从参数的泊松分布，且已知E(X 1)(X

3、2) 1,则参数 =1、 _1 8 .设随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布N(0q)，则随机变量 X Y的数学期望E ( X Y) 2/( M(2pai)、9 .设随机变量 X1，X2,X3相互独立，其中X1服从正0,6区间上的均匀分布，X2服从正态分布N(0,22),X3服从参数3的泊松分布，记随机变量 Y X1 2X2 3X3，则D(Y)46、10.设随机变量X的数学期望E(X)，方差D(X)2,则由切贝雪夫(Chebyshev)不等式，有 P(X 3 )1/9、二、选择题(每小题2分，共20分)1 .设两个随机变量 X 与 Y 相互独立且同分一11 .布，P(X 1) P(Y 1)

4、 -, P(X 1) P(Y 1)一,则下列各式成立的就是 22(A )1(A)P(X Y) -(B)P(X Y) 111(C)P(X Y 0) -(D)P(X Y 1)-422.设随机变量 Xi(i1,2)的分布律为：Xi k101P0.250.50.25且满足P X1X211,则PX1X2等于(B )应用概率统计综合作业(A)0(B)1(O7(D)1423.设两个随机变量 X与Y相互独立，且都服从(0,1)区间上的均匀分布，则服从相应区间或区域上的均匀分布的随机变量就是(D )2(A)X2(B)X-Y(C)X Y(D)(X, Y)4.设离散型随机变量(X, Y)的联合分布律为Y123111

5、X 169181X 23若X与Y相互独立，则 与 的值为(A )(A)21(B)12 (C) (D)9，99 ,912018，185.设随机变量x的y相互独立，其分布函数分别为Fx(x)与Fy(y),则随机变量Z max(X, Y)的分布函数Fz (z)就是(C )(A)max Fx (z), Fy(z)(B)Fx(z) Fy(z) Fx(z)Fy(z)1 _(C)Fx(z)Fy(z)(D)2Fx(z) Fy(z)6.对任意两个随机变量 X与Y,若E(XY) E(X)E(Y),则下列结论正确的就是(B )(A)D(XY) D(X)D(Y)(B)D(X Y) D(X) D(Y)(C)X与Y相互独

6、立(D) X与Y不相互独立7.设随机变量X服从二项分布，且E(X) 2.4, D(X) 1.44,则参数n, p的值等于(B )应用概率统计综合作业(A)n 4,p 0.6 (B)n 6, p 0.4 (C)n 8,p 0.3 (D)n 24, p 0.18 .设两个随机变量 X与Y的方差存在且不等于零，则D(X Y) D(X) D(Y)就是X与丫的(C )(A)不相关的充分条件，但不就是必要条件(B)独立的必'要条件，但不就是充分条件(C次相关的充分必要条件(D)独立的充分必要条件9 .设随机变量(X ,Y )的方差D(X) 4 , D(Y) 1,相关系数 X 0.6 ,则方差 D(

7、3X 2Y) ( C )(A)40(B)34(C)2s 6(D)17、610 .设随机变量X与Y相互独立，且在(0,)上服从均匀分布，则Emin(X, Y) ( C )(A)(B)-(C)-(D)-234三、(10分)设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且同分布：P Xi 00.6,P Xi 10、4,i=1,2,3,4.一X X1 X2求行列式X的概率分布、X3 X4解答：Y1=X1X4 Y2=X2X3 Z=Y1-Y2PY1=1=PY2=1=X2=1,X3=1=0、16PY1=0PY2=0=1-0、16=0、84Z有三种可能-1,0,1PZ=-1=Y1=0,Y2=1=0 、84X 0、

8、 16=0、1344PZ=1PY1=1,Y2=0=0、16X 0、 84=0、1344PZ=0=1-2X0、1344=0、7312Z -1 0 1P 0、1344 0、7312 0、1344四、(10分)已知随机变量 X的概率密度函数为 f(x) gex，(1)求X的数学期望E(X)与方差D(X)、(2)求X与X的协方差，并问X与X就是否不相关？问X与X就是否相互独立？为什么？<1) E (JO -f *J-y 5)屋"/二窑上； 因汨：了专C-WI为电函畋* 枳沿区间为 Goo. 十 OO), 关于。又同称,因此：E (X>=二工，(工)工二/：;工/£，J

9、cLr = ll ；工_f +'">工空/(工)d;r =：* f 工三工厂一 上 <£ir J - OO *一 <302=3广片才士畀.一|山/丁(佣函敞性厮; U金=r + 00，:1:£产73*J o= f + 00 -：N/fLH1 o=_工2e=+8_1+8/“d(_*>)=+8-y心产 .口 J 口J O=1+于4工厂-工4=*(-27)必产+-r + oo<'工-二工)1 o J <>=之+ 8 u-,r 4工1o=一士 广-*1 + 81 Q =2-国止匕: D(X) =E (JVa>

10、 后 <h) 2=2；<2) H=j1二划工1/ O) da?=J* 二 *E91Hle仆.f布函敞性隔)根午居协方笄定立:6, (J7, |) 二日 £X|JVD -E X) E £|*|=0-0 =口；西止匕，*目关拿缴：门* 1*|二0-故内与|X|不相关.<：G X与|K|不斗虫立.因为:5r寸于给定的仆VcuV+8；有 <|-Y|C«) U 5VQ所以尸 UK|Vm, KVG =门 <|J<|C«).由于二 户大 V”) V 1尸 C|JV|C<i> *Jr (KVu) V 尸 <|-V|

11、c<f) *1<厂 (|-VVg国止匕：J'XVs)=户 ""IV")A XV斤似K(|X|不才型立.综合以上妗析，可知，X的春攵孚期望为。* 力差为2, K与|K|不本目关在1不号由立. cxey, 0五、(10分)设二维随机变量(X, Y)的联合密度函数为f(x y) ce0,其他,(1)常数C；(2)fx(x), fY(y); fxy(xy), fY|x(yx)；IX(4)P(X Y 1)、解答:(1)由概率密度函数的性质/+00-00/ +oo-oof (x, y)d xdy=1,得+ +8 0dy / y0cxe-ydx=c2 / +

12、oo0y2e-ydy=c=1, 即c=1(2)由于为判断X与Y的相互独立性，先要计算边缘密度fX(x)与fY(y)、fX(x)=/+°°-°°f (x, y)dy=xe-x0amp x>0amp, x? 0类似地,有 fY(y)= ?12y2e-y0amp, y>0amp, y? 0由于在 0<x<y<+°°上，f (x, y) wfX(x)fY(y)因此随机变量X与Y不就是相互独立的。(3)当 y>0时，fX| Y(x|y)=f (x, y)fY(y)=?2xy20amp,0< x<y

13、<+8amp,其它，当 x>0 时，fY| X(y| x尸f (x, y)fX(x)= ex-y0amp,0< x<y<+ooamp,其它;(4) PX<1| Y<2= P(X<1, Y<2) P( Y<2)= f1-f 2-oof (x,y)d xdy / 2-8fY( y)d y=/ 10dx/ 2xxe-ydy f 2012y2e-ydy=1- 2e-1- 12e-21- 5e-2,由条件密度的性质知PX<1|y=2= f 1-oofx|y(x|2)d x,而 fx | y( x|2)= ?x20amp;,0< x&

14、lt;2amp;, 其它、，PX<1| y=2= / 10x2dx=14、六、 (10 分)两台同样的自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5 的指数分布;首先开动其中的一台 , 当其发生故障时停用而另一台自行开动、试求两台自动记录仪无故障工作的总时间T的概率密度函数f(t)及数学期望E(T)与方差D(T)、解答 :用 X1, X2 表示两台机器先后开动的记录仪无故障工作的时间 ,则: T=X1+X2、由已知条件, X1 与 X2 相互独立 , 且 Xi (i =1,2) 的概率密度为 :p(x)=5e -5x, x>00, x ? 0,利用两个独立随机变量与的密度公式可得:对

15、于任意t>0,T 的概率分布:f(t)=-oopi(x)p2(t -x)dx=25 / t0e -5xe-5(t -x)dx=25e -5t / t0dx=25te - 5t当 t ? 0 时 , 显然有 :f(t)=0 、于就是 ,f(t)=25te-5t, t>00, t ? 0、由于Xi(i=1,2)服从参数为入=5的指数分布，所以 :EXi=15,DXi=125 、因此 ,ET=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=25因为 X1 与 X2 相互独立 ,所以 :DT=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=225七、(10分)设随机变量 X与Y相互独立，X服从0,1上

16、的均匀分布，Y的密度函数为f(y) e ' y 0'试求随机变量Z X Y的密度函数fZ(z)、0, y 0.解答:解七TX与y都服从o, 1上的均匀分布”3 0 < x < 10,其他fy(y) = P;随机变量犬与？相II独3 ，方=e7Kxm (" x)dr当。< z < 1 时，f式z) = J： 1 x Id# = 5 当 1 三 z 三 2时，f式z) - J：11 X Irfx = 2 当z <。或a > 2时，fz(z) = U.Z, 0 s z < 12 T, 1 £ Z 5 40,其他八、(10分

17、)某箱装有100件产品 淇中一、二与三等品分别为80、10与10件,现在从中随机抽取一件，记X i1,若抽到i等品,i0,其他， 1,2,3、试求:(1)随机变量X1与X2的联合分布律(2)随机变量X1与X2的相关系数解答:设¥件4表示“抽到第。等品” 5=1, 2, 3),由题意知人士、At两两互不相容，旦户(Xj) =0.8,"(A?) =o, 1 ,尸 C4+) =0.1,R：- 。 若抽到，等品(-2, 3), 1 03其他贝IjKl和X?的可能取值为：(<),O)、<O, 1)、(1, 0) %(1, 1)，并且有：a=。，AT2 = O = Z>13 = <), 1 , FX A7t =O, Xn = 1=产M2)=o.i,7X1 = 1, x士=C=R4=<L8, rxi = i, 2=1>=/0)=o,于是，得到X】和内义的联合概率分布列："4 W；"黑;I